Reguła d'Alemberta

Zasada d'Alemberta (lub kryterium d'Alemberta ), jest nazwany po matematyk francuski Jean Le Rond d'Alembert . Jest to test zbieżności dla szeregu z dodatnimi warunkami.

W niektórych przypadkach umożliwia ustalenie absolutnej zbieżności szeregu z elementami złożonymi lub wektorowymi lub wręcz przeciwnie - jego rozbieżności.

Stany

Niech $( U n ) będzie$ sekwencja ściśle dodatnich liczb rzeczywistych. Zauważamy, a te dolne i górne granice z kolejnych ilorazów: $\Łokieć$ $L$

{\ Displaystyle 0 \ równoważnik \ ell: = \ liminf {\ Frac {u_ {n + 1}} {u_ {n}}} \ równoważnik L: = \ limsup {\ Frac {u_ {n + 1}} {u_ {n}}} \ leq + \ infty}

Jeśli , to ogólny termin szereg $u$ $n jest$ zbieżny . ${\ displaystyle L <1}$
Jeśli , to sekwencja nie zmierza do 0 (dlatego szereg rozbiega się w przybliżeniu ). ${\ displaystyle \ ell> 1}$

Tak , nie możemy niczego wywnioskować: to jest niepewny przypadek reguły d'Alemberta. ${\ Displaystyle \ ell \ równoważnik 1 \ równoważnik L}$

Uwagi

Regułę D'Alemberta można wykazać bezpośrednio, ale można ją również wydedukować z reguły Cauchy'ego , dzięki lematowi Cesàro .
W przypadku niepewności możemy wypróbować regułę Cauchy'ego , która jest bardziej precyzyjna. ${\ Displaystyle \ ell \ równoważnik 1 \ równoważnik L}$
Kiedy sekwencja dopuszcza granicę , stwierdzenie jest uproszczone, ponieważ . W niepewnym przypadku możemy wypróbować regułę Raabe-Duhamel . ${\ Displaystyle \ lewo ({\ tfrac {u_ {n + 1}} {u_ {n}}} \ prawo)}$ $\ lambda$ ${\ Displaystyle \ ell = \ lambda = L}$ $\ lambda = 1$
Reguła D'Alemberta może być użyta do badania zbieżności szeregu terminów w znormalizowanej przestrzeni wektorowej E poprzez analizę szeregu $\sum u n$ norm. Jeśli $L <1$ i jeśli E jest kompletne (na przykład jeśli E = ℝ lub ℂ), szereg wektorów jest absolutnie zbieżny, a jeśli $ℓ > 1$ , jest rażąco rozbieżny.

Uwaga

Aby zapoznać się z demonstracją, zobacz na przykład „Reguła D'Alemberta” w lekcji na temat serii liczbowych na Wikiwersytecie .