Kwadratu , którego bok długość jest liczbą naturalną nazywamy cały plac . Problem kwadratu polega na ułożeniu całego placu całymi kwadratami.
Podniesienie kwadratu do kwadratu jest prostym zadaniem bez określonych dodatkowych warunków. Najbardziej badanym ograniczeniem jest „idealna” kwadratura kwadratu, w której wszystkie zawarte w nim kwadraty mają różne rozmiary (patrz poniżej).
Inne warunki mogą prowadzić do interesujących wyników. Jednym z nich jest wyrównanie kwadratu bez łączenia krawędzi (tj. Całkowite połączenie krawędzi o tej samej wielkości jest niedozwolone) i wyrównanie kwadratu bezkontaktowego (tj. - zakaz stykania się dwóch kawałków tego samego rozmiaru) (patrz bruk ).
„Idealne” kwadraty kwadratu to takie, że kwadrat składa się z mniejszych kwadratów, z których każdy ma inny rozmiar. Nazwę nadano humorystycznej analogii do kwadratu koła .
Po raz pierwszy odnotowano, że była studiowana przez RL Brooks , CAB Smith (de) , AH Stone i WT Tutte , pod wspólnym pseudonimem Blanche Descartes , na Uniwersytecie w Cambridge .
Aby to zrobić, przekształcili kafelkowanie kwadratu w równoważny obwód elektryczny , tworząc diagram Smitha kwadratu i rozważając krawędzie diagramu jako opory . Następnie zastosowali do tego obwodu prawa Kirchhoffa dotyczące obwodów elektrycznych i technik rozkładu obwodów.
Pierwszy kwadrat kwadraturowy został znaleziony przez Rolanda Sprague (w) w 1939 roku .
Jeśli weźmiemy kawałek teselacji i poszerzymy go, aż najmniejszy kwadrat będzie miał teraz rozmiar kwadratu S, od którego zaczęliśmy, to otrzymamy z tego teselację płaszczyzny z całymi kwadratami, każdy o innym rozmiarze.
Nadal pozostaje nierozwiązanym problemem, czy samolot można utwardzić zestawem całych kwadratów, tak aby każdy z nich miał inny rozmiar przy użyciu liczby naturalnej i był użyty tylko raz.
Martin Gardner opublikował długi artykuł Tutte na temat historii kwadratu.
„Prosta” kwadratura kwadratu to taka, w której żaden podzbiór kwadratów nie tworzy prostokąta. Najmniejszą prostą idealną kwadraturę kwadratu odkrył AJW Duijvestin za pomocą wyszukiwania komputerowego . Jego kafelkowanie składa się z 21 kwadratów i okazało się, że jest minimalne i wyjątkowe.
Kiedy wymóg, że wszystkie boki kwadratu mają różne długości, zostaje zastąpiony przez te długości, jest względnie pierwszy , problem kwadratu powstałego kwadratu jest często nazywany problemem „ kołdry dla pani Perkins”.