Proces Lévy

W teorii prawdopodobieństwa , wykorzystując proces Lévy , nazwany na cześć francuskiego matematyka Paul Lévy , to stochastyczny proces w czasie ciągłym , ciągłe ograniczone prawo do lewej ( cadlag ), zaczynając od 0, te przyrosty są stacjonarne i niezależne (pojęcie to jest wyjaśnione poniżej) . Najbardziej znanymi przykładami są proces Wienera i proces Poissona .

Definicja

Stochastyczny proces nazywany jest proces Levy, jeśli X={Xt:t≥0}{\ Displaystyle X = \ {X_ {t}: t \ geq 0 \}}

1. X0=0{\ Displaystyle X_ {0} = 0 \,} prawie na pewno
2. Niezależne wzrosty  : wszyscy są niezależni0≤t1<t2<⋯<tnie<∞,{\ Displaystyle 0 \ leq t_ {1} <t_ {2} <\ cdots <t_ {n} <\ infty,} Xt2-Xt1,Xt3-Xt2,...,Xtnie-Xtnie-1{\ Displaystyle X_ {t_ {2}} - X_ {t_ {1}}, X_ {t_ {3}} - X_ {t_ {2}}, \ kropki, X_ {t_ {n}} - X_ {t_ { n-1}}}
3. Stacjonarne wzrosty  : Dla wszystkich , jest równe prawo dos<t{\ Displaystyle s <t \,}Xt-Xs{\ Displaystyle X_ {t} -X_ {s} \,}Xt-s{\ displaystyle X_ {ts} \,}
4. t↦Xt{\ displaystyle t \ mapsto X_ {t}}jest prawie na pewno ciągły w prawo i ograniczony do lewej ( Càdlàg ).

Nieruchomości

Niezależne wzrosty

Proces stochastyczny w czasie ciągłym wiąże zmienną losową X t w dowolnym momencie t ≥ 0. Jest to zatem funkcja losowa t . Przyrostami takiego procesu są różnice X s - X t między jego wartościami w różnych momentach t < s . Stwierdzenie, że przyrosty procesu są niezależne, oznacza, że ​​wzrosty X s - X t i X u - X v są niezależnymi zmiennymi losowymi od momentu, gdy przedziały czasowe się nie nakładają, a bardziej ogólnie, dowolna liczba skończonych przyrostów nad nie nakładające się przedziały czasowe są wzajemnie niezależne (a nie tylko niezależne dwa na dwa).

Stacjonarne wzrosty

Powiedzenie, że wzrosty są stacjonarne, oznacza, że ​​prawo każdego wzrostu X s - X t zależy tylko od długości s  -  t przedziału czasu.

Na przykład dla procesu Wienera , prawo X s  -  X t jest normalnym prawem z oczekiwaniem 0 i wariancją s  -  t .

Dla jednorodnego procesu Poissona , prawo X s  -  X t jest prawem oczekiwania Poissona λ ( s  -  t ), gdzie λ> 0 jest „intensywnością” lub „szybkością” tego procesu.

Podzielność

Proces Lévy jest powiązany z nieskończenie podzielnymi prawami  :

• Prawa wzrostu procesu Lévy'ego są nieskończenie podzielne, przy czym przyrosty długości t są sumą n przyrostów długości t / n, które są iid (niezależne identycznie rozłożone) na podstawie hipotezy.
• Odwrotnie, każdemu nieskończenie podzielnemu prawu odpowiada proces Lévy'ego: mając takie prawo D , definiujemy proces stochastyczny dla dowolnego pozytywnego czasu racjonalnego poprzez jego mnożenie i dzielenie, definiujemy jego prawo na 0 z rozkładu Diraca w 0, na koniec idź do granic dowolnego pozytywnego czasu rzeczywistego. Niezależność przyrostów i stacjonarność wywodzą się z własności podzielności, choć trzeba zweryfikować ciągłość i fakt, że przejście do granicy daje dobrze zdefiniowaną funkcję w czasie nieracjonalnym.

Chwile

N -tej chwili procesu wyrównawczej, gdy jest skończony, to funkcja wielomianowa na T , która sprawdza tożsamość dwumianowego Typ: μnie(t)=mi(Xtnie){\ Displaystyle \ mu _ {n} (t) = E (X_ {t} ^ {n})}

μnie(t+s)=∑k=0nie(niek)μk(t)μnie-k(s).{\ Displaystyle \ mu _ {n} (t + s) = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {n \ wybierz k} \ mu _ {k} (t) \ mu _ {nk} (s ).}

Przykłady

Oto niewyczerpująca lista przykładów procesów Lévy'ego.

W poniższych przykładach X to proces Lévy. Zauważ, że deterministyczny dryf ( ) jest procesem Lévy'ego. Xt=bt{\ displaystyle X_ {t} = bt}

Proces Wienera

Definicja

X jest procesem Wienera (lub standardowym ruchem Browna) wtedy i tylko wtedy, gdy

1. dla wszystkiego zmienna losowa ma rozkład normalny ,t≥0{\ displaystyle t \ geq 0}Xt{\ displaystyle X_ {t}} NIE(0,t){\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (0, t)}
2. jego trajektorie są prawie na pewno ciągłe; oznacza to, że dla prawie wszystkiego aplikacja jest ciągła.ω{\ displaystyle \ omega}t↦Xt(ω){\ displaystyle t \ mapsto X_ {t} (\ omega)}

Nieruchomości

• Jego transformata Fouriera jest określona wzorem:

mi[mijaθXt]=exp⁡(-12tθ2){\ Displaystyle \ mathbb {E} {\ Big [} e ^ {i \ theta X_ {t}} {\ Big]} = \ exp \ left (- {\ frac {1} {2}} t \ theta ^ {2} \ right)}

zobacz stronę dotyczącą ruchów Browna .

Złożony proces Poissona

Definicja

X jest Proces Poissona składa parametrów prawdziwy i do środka na tylko wtedy, gdy jego transformaty Fouriera jest dany przez vs≥0{\ displaystyle c \ geq 0} ν{\ displaystyle \ nu}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

mi[mijaθXt]=exp⁡(vst(∫Rmijaθxν(rex)-1)){\ Displaystyle \ mathbb {E} {\ Big [} e ^ {i \ theta X_ {t}} {\ Big]} = \ exp \ left (ct \ left (\ int _ {\ mathbb {R}} e ^ {i \ theta x} \ nu (dx) -1 \ right) \ right)}.

Nieruchomości

• Proces Poissona złożony z parametrów i miary Diraca w 1 ( ) jest procesem Poissona .vs≥0{\ displaystyle c \ geq 0}ν=δ1{\ displaystyle \ nu = \ delta _ {1}}
• Niech N będzie proces Poissona parametr i jest losowo odległości którego prawo etapów jest (prawo ), to proces określa się związek proces Poissona.vs≥0{\ displaystyle c \ geq 0}Snie=∑k=0nieYk{\ Displaystyle S_ {n} = \ suma _ {k = 0} ^ {n} Y_ {k}}ν{\ displaystyle \ nu}Y1{\ displaystyle Y_ {1}}Xt=SNIEt{\ Displaystyle X_ {t} = S_ {N_ {t}}}

Podkomputery

Definicja

X jest komputerem podrzędnym wtedy i tylko wtedy, gdy X jest procesem wzrostu.

Nieruchomości

• X ma ograniczone wariacje .
• X jest przejściowy.
• Jego transformata Fouriera ma postać:

mi[mijaθXt]=exp⁡(-jatθ+t∫0∞(1-mijaθx)ν(rex)){\ Displaystyle \ mathbb {E} {\ Big [} e ^ {i \ theta X_ {t}} {\ Big]} = \ exp \ left (-it \ theta + t \ int _ {0} ^ {\ infty} (1-e ^ {i \ theta x}) \ nu (dx) \ right)}.

• Podkomputer umożliwia zmianę pogody, nazywa się to podporządkowaniem. Jeśli Z jest procesem Lévy'ego, a X jest niezależnym podkomputerem, to proces jest procesem Lévy'ego.(ZXt)t≥0{\ Displaystyle (Z_ {X_ {t}}) _ {t \ geq 0}}

Stabilne procesy Lévy

Definicja

X jest stabilnym procesem parametru Lévy'ego (lub procesem stabilnym Lévy'ego ) wtedy i tylko wtedy, gdy oba procesy i mają to samo prawo dla wszystkich liczb rzeczywistych . α∈]0,2]{\ displaystyle \ alpha \ in \,] 0,2]}α{\ displaystyle \ alpha}(Xvsαt)t≥0{\ Displaystyle (X_ {C ^ {\ alpha} t}) _ {t \ geq 0}}(vsXt)t≥0{\ displaystyle (cX_ {t}) _ {t \ geq 0}}vs>0{\ displaystyle c> 0}

Ta właściwość nazywana jest właściwością stabilności (lub skalowaniem).

Nieruchomości

• Tak , proces Lévy'ego jest deterministycznym dryfem lub procesem Cauchy'ego .α=1{\ displaystyle \ alpha = 1}
• Jeśli proces Levy'ego jest ruchem Browna.α=2{\ displaystyle \ alpha = 2}
• Ponieważ jego transformata Fouriera ma postać:α∈]0,1[∪]1,2[{\ Displaystyle \ alpha \ in] 0,1 [\ cup] 1,2 [}

mi[mijaθXt]=exp⁡(vs|θ|α(1-jaksgn⁡(θ)dębnik⁡(πα2))){\ Displaystyle \ mathbb {E} {\ duży [} e ^ {i \ teta X_ {t}} {\ duży]} = \ exp \ lewo (c | \ teta | ^ {\ alfa} \ lewo (1- ik \, \ nazwa operatora {sgn} (\ theta) \ tan \ left ({\ frac {\ pi \ alpha} {2}} \ right) \ right) \ right)}.

Reprezentacja Lévy - Khintchine

Dowolną zmienną losową można scharakteryzować za pomocą jej charakterystycznej funkcji . W przypadku procesu Lévy'ego ta charakterystyka przez cały czas t daje reprezentację Lévy-Khintchine (nazwanego na cześć rosyjskiego matematyka Alexandre'a Khintchine'a ): Xt{\ displaystyle X_ {t}}

mi[mijaθXt]=exp⁡(wjatθ-12σ2tθ2+t∫R∖{0}(mijaθx-1-jaθxja|x|<1)W(rex)){\ displaystyle \ mathbb {E} {\ Big [} e ^ {i \ theta X_ {t}} {\ Big]} = \ exp {\ Bigg (} ait \ theta - {\ frac {1} {2} } \ sigma ^ {2} t \ theta ^ {2} + t \ int _ {\ mathbb {R} \ backslash \ {0 \}} {\ big (} e ^ {i \ theta x} -1-i \ theta x \ mathbf {I} _ {| x | <1} {\ big)} \, W (dx) {\ Bigg)}}

gdzie , a jest funkcja wskaźnik . Środek Lévy musi zweryfikować w∈R{\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}σ≥0{\ displaystyle \ sigma \ geq 0}ja{\ displaystyle \ mathbf {I}}W{\ displaystyle W}

∫R∖{0}min{x2,1}W(rex)<∞.{\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} \ backslash \ {0 \}} \ min \ {x ^ {2}, 1 \} W (dx) <\ infty.}

Dlatego proces Lévy'ego charakteryzuje się trzema składnikami: dryfem, współczynnikiem dyfuzji i składową przeskoku. Te trzy składniki, a zatem reprezentacja procesu przez Lévy-Khintchine, są całkowicie zdeterminowane przez tryplet . W szczególności ciągły proces Levy'ego to ruchy Browna z dryfem. (w,σ2,W){\ Displaystyle (a, \ sigma ^ {2}, W)}

Lévy - rozkład Itō

I odwrotnie, można skonstruować proces Lévy'ego z charakterystycznej funkcji podanej w jego reprezentacji Lévy-Khintchine. Konstrukcja ta odpowiada rozkładowi miary zgodnie z twierdzeniem Lebesgue'a o rozkładzie  : dryft i dyfuzja stanowią część absolutnie ciągłą, a miara W jest częścią osobliwą.

Biorąc pod uwagę Lévy triplet istnieją trzy niezależne procesy Levy , na tej samej przestrzeni probabilistycznej, takie jak: (w,σ2,W){\ Displaystyle (a, \ sigma ^ {2}, W)}X(1){\ Displaystyle X ^ {(1)}} X(2){\ Displaystyle X ^ {(2)}}X(3){\ Displaystyle X ^ {(3)}}

• X(1){\ Displaystyle X ^ {(1)}}jest ruchem Browna z dryfem, odpowiadającym absolutnie ciągłej części pomiaru, którego współczynniki są a dla dryftu i dla dyfuzji;σ2{\ displaystyle \ sigma ^ {2}}
• X(2){\ Displaystyle X ^ {(2)}}jest złożonym procesem Poissona , odpowiadającym czystej części punktowej miary osobliwości W  ;
• X(3){\ Displaystyle X ^ {(3)}}Jest to proces, skok, martyngał do zabudowy, która prawie na pewno ilość policzalny skoków w każdym przedziale skończonym, odpowiadającej ciągłej części pojedynczej pomiaru kwadratowy W .

Proces zdefiniowany przez jest procesem Lévy'ego trypletowym . X=X(1)+X(2)+X(3){\ Displaystyle X = X ^ {(1)} + X ^ {(2)} + X ^ {(3)}}(w,σ2,W){\ Displaystyle (a, \ sigma ^ {2}, W)}

Korespondencja w świecie żywym

W żywym świecie (i w innych dziedzinach nauki) obserwuje się kilka wzorców fraktalnych związanych z procesami Levy'ego . Wydaje się na przykład, że są obecne na polach tak różnych, jak ruchy oczu ludzi (przynajmniej w pewnych okolicznościach) i ruch zwierząt.

Ich pochodzenie jest nadal słabo poznane w systemach ekologicznych . Zostały one zinterpretowane jako wyłaniająca się własność, która może wywodzić się z różnych uniwersalnych zasad złożonych systemów lub która może mieć wartość adaptacyjną.

Na przykład procesy Lévy'ego zostały odkryte w ruchach eksplorujących inteligentnych agentów, gdy działają one w heterogenicznym środowisku i wydają się organizować podróż i ruch zwierząt (w tym ptaków morskich) na „dużą skalę” ( „Levy Flight”  ; „Lévy Idź ” ). Według Alexa Jamesa, Michaela J. Planka i Andrew M. Edwardsa obserwacja tych procesów Lévy'ego byłaby spowodowana czynnikami zewnętrznymi (takimi jak dystrybucja zasobów, metoda doboru próby wybrana do obserwacji, czy też nadal współistnienie kilku ruchów) strategie) zamiast wyraźnego wyboru strategicznego. Innymi słowy, pozorny proces Levy'ego może wynikać z wielu czynników innych niż strategia eksploracji agentów.

Niektórzy autorzy przypuszczają, że mogą być również związane z mechanizmami optymalizacji stochastycznej  (in) , procesami takimi jak żerowanie lub poszukiwanie partnera seksualnego czy przeloty migracyjne zwierząt (jednostek lub grup) w oceanie , na przykład ptaków lub w rozległym lesie , gdy zdolności percepcyjne nie są wystarczające, aby zwierzę mogło łatwo znaleźć to, czego szuka (pożywienie, zdobycz, grzęda, partner seksualny itp.).

Gdyby proces Lévy'ego działał w ten sposób na poziomie indywidualnym, te mechanizmy adaptacyjne mogłyby wtedy oddziaływać również na wyższych poziomach organizacji i dynamiki, nawet w skali ekosystemów czy nawet biosfery, dlatego Frederic Bartumeus, jeden ze specjalistów w tych pytaniach sugeruje - w kontekście badania ruchów zwierząt - rozważenie odtąd wspólnie, a nie osobno, niezmienności skali, zjawiska nieciągłości i przypadku, które być może mogłyby nabrać nowego znaczenia w spójnych ramach ekologicznych i ewolucyjnych.

Załączniki

Bibliografia

• D. Applebaum, Lévy Processes and Stochastic Calculus , wydanie drugie, Cambridge University Press, 2009
• J. Bertoin, Lévy Processes , Cambridge University Press, Cambridge, 1996. ( ISBN  0-52164-632-4 )
• AE Kyprianou, Wykłady wprowadzające na temat fluktuacji procesów Lévy'ego z aplikacjami , Springer, Berlin, 2006.
• KI Sato, Lévy Processes and Infinitely divisible distributions , Cambridge Univsersity Press, 1999. ( ISBN  0-521-55302-4 )

Uwagi i odniesienia

1. Bartumeus F (2007) Procesy Lévy'ego w ruchu zwierząt: hipoteza ewolucyjna , Fractals, 15, 151 (2007). DOI: 10.1142 / S0218348X07003460 ( podsumowanie )
2. Damian Stephen, Daniel Mirman, James Magnuson, James Dixon. (2009) Lévy-like dyfuzja w ruchach oczu podczas rozumienia języka mówionego . Physical Review E 79: 5, na żywo na 1 st maja 2009 ( podsumowanie )
3. F. Bartumeus. (2009) Zachowanie przerywane, wzorce Lévy'ego i losowość w ruchu zwierząt . Oikos 118: 4, 488-494, opublikowane w dniu 1 st kwietnia 2009 ( skróconej )
4. Nicolas E. Humphries, Nuno Queiroz, Jennifer RM Dyer, Nicolas G. Pade, Michael K. Musyl, Kurt M. Schaefer, Daniel W. Fuller, Juerg M. Brunnschweiler, Thomas K. Doyle, Jonathan DR Houghton, Graeme C. Hays, Catherine S. Jones, Leslie R. Noble, Victoria J. Wearmouth, Emily J. Southall, David W. Sims. (2010) Kontekst środowiskowy wyjaśnia wzorce ruchów Lévy'ego i Browna u morskich drapieżników . Naturę 465: 7301,1066-1069. opublikowano 24 czerwca 2010 r. ( podsumowanie )
5. Andrew JJ MacIntosh, Laure Pelletier, Andre Chiaradia, Akiko Kato, Yan Ropert-Coudert. (2013) Czasowe fraktale w zachowaniach żerujących ptaków morskich: nurkowanie w skali czasu. 3. Raporty naukowe . Opublikowano 24 maja 2013 r. ( Podsumowanie )
6. Frederic Bartumeus, Luca Giuggioli, Maite Louzao, Vincent Bretagnolle, Daniel Oro, Simon A. Levin. (2010) Wpływ odrzutów na rybołówstwo na wzorce przemieszczania się ptaków morskich w skali regionalnej. Current Biology 20: 3, 215-222, opublikowano 9 lutego 2010 ( streszczenie )
7. L. Seuront, HE Stanley. (2014) Anomalna dyfuzja i wieloczynnikowość sprzyjają spotkaniom godowym w oceanie. Proceedings of the National Academy of Sciences 111: 6, 2206-2211. Data publikacji online: 11 lutego 2014 r. ( Podsumowanie )
8. Dong Wang, Qian Zhuang, Ying Fan, Zeng-Ru Di. (2013) Różnorodność gatunkowa w połączeniu gry kamień - papier - nożyce z lotem Levy'ego. Chiński Fizyka B 22:12, 128702. Online na 1 st grudnia 2013 ( skróconej )
9. Deepika Janakiraman, K. Sebastian. (2012) Formuła całkowa ścieżki dla lotów Lévy: Ocena propagatora dla wolnych, liniowych i harmonicznych potencjałów w nadmiernie i niedotłumionych granicach . Przegląd fizyczny E 86: 6. poszedł na żywo 1 st grudnia 2012. ( skróconej )
10. Sam Baron. (2014) Optymalizacja i wyjaśnienie matematyczne: robienie Lévy Walk. Synthesis 191: 3, 459-479. Online na 1 st lutego 2014 ( skróconej )
11. Andy M. Reynolds, Patrick Schultheiss, Ken Cheng. (2013) Czy wzorce lotu Lévy'ego pochodzą z prawa Webera-Fechnera w szacowaniu odległości? . Behavioral Ecology and Sociobiology 67: 8, 1219-1226. . Data publikacji online: 1-sie-2013 Czytaj więcej: http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0218348X07003460
12. AM Reynolds. (2012) Zbieracze maksymalizujący sprawność fizyczną mogą wykorzystać informacje o jakości łat, aby zdecydować, jak szukać i w obrębie łat: optymalne wzorce poszukiwania chodu Levy'ego z teorii optymalnego żerowania . Journal of The Royal Society Interface 9:72, 1568-1575, opublikowano 7 lipca 2012 ( streszczenie )
13. Reynolds AM (2009) Wolne od skali wzorce ruchów zwierząt: Lévy przewyższa ułamkowe ruchy Browna i ułamkowe ruchy Lévy'ego w przypadkowych scenariuszach wyszukiwania . Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 42:43, 434006 .. Data publikacji online: 30 października 2009 ( podsumowanie )
14. AM Reynolds. (2012) Oczekuje się, że spacery obcięte Levy wykraczają poza skalę gromadzenia danych, gdy skorelowane spacery losowe odzwierciedlają obserwowane wzorce ruchu . Journal of The Royal Society Interface 9:68, 528-534, opublikowane 7 marca 2012 ( streszczenie )
15. James Alex , Plank Michael J. i Edwards Andrew M. , „  Oceniając spacery Lévy'ego jako modele żerowania zwierząt  ”, Journal of The Royal Society Interface , vol.  8, N O  62,7 września 2011, s.  1233-1247 ( PMID  21632609 , PMCID  PMC3140726 , DOI  10.1098 / rsif.2011.0200 , czytaj online , dostęp: 29 lipca 2019 )
16. MA Lomholt, K. Tal, R. Metzler, K. Joseph. (2008) Strategie Levy'ego w przerywanych procesach wyszukiwania są korzystne. Proceedings of the National Academy of Sciences 105: 32, 11055-11059, opublikowane 12 sierpnia 2008 ( streszczenie )
17. Reynolds AM (2013) Skuteczne przywództwo w grupach zwierząt, gdy żadna osoba nie ma odpowiednich informacji na temat lokalizacji zasobów: Jak interakcje między liderami a wyznawcami mogą skutkować wzorcami ruchu Lévy'ego . EPL (Europhysics Letters) 102: 1, 18001, online od 1 st kwietnia 2013 ( skróconej )
18. Gleb Oshanin, Katja Lindenberg, Horacio S Wio, Sergei Burlatsky. (2009) Efektywne wyszukiwanie dzięki zoptymalizowanym przerywanym spacerom losowym . Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 42:43, 434008, opublikowany 30 października 2009 ( streszczenie )

• (fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w języku angielskim zatytułowanego „  Proces Lévy  ” ( zobacz listę autorów ) .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">