Generowanie części grupy

W grupie teorii , A element generujący z grupy to część tej grupy, tak że każdy element z grupy, zapisuje się jako produkt o skończonej liczbie elementów A i jej odwrotności.

Mówi się, że grupa jest typu skończonego, gdy dopuszcza skończoną część generującą . Grupa wygenerowana przez pojedynczy element jest izomorficzna albo z addytywną grupą względnych liczb całkowitych (ℤ, +), albo z addytywną grupą klas modulo n (ℤ / n ℤ, +); mówi się, że jest to grupa monogeniczna . Do podgrupy skończonych typu grup przemiennych są również skończony typ, ale nie jest to prawdą bez założenia przemienności.

Podgrupa utworzona przez stronę

Niech G będzie grupą. Każdy przecięcia podgrup G jest podgrupą G . Dla części S z G , istnieje podgrupa G minimum dla włączenia ich podgrup zawierających S , a mianowicie przekrój wszystkich podgrup zawierających S . Nazywa się to podgrupa generowane przez S , i należy zauważyć, ⟨ S ⟩.

Opis: Mamy wyraźny opis elementów grupy ⟨ S ⟩. Oto dokładnie iloczyn elementów lub odwrotności S :

{\ Displaystyle \ lewo \ langle S \ prawo \ rangle = \ lewo \ {x_ {1} ^ {\ varepsilon _ {1}} x_ {2} ^ {\ varepsilon _ {2}} \ cdots x_ {n} ^ {\ varepsilon _ {n}} \ mid n \ in \ mathbb {N} \; {\ mbox {et}} \; \ forall i, x_ {i} \ in S, \ varepsilon _ {i} = \ pm 1 \ right \}.}

Przykłady:

W cyklicznej grupy ℤ / n ℤ podgrupa wytwarzane przez grupy liczb całkowitych k jest podgrupa ℤ / ( n / d ) ℤ gdzie d oznacza GCD z k i n .
W przypadku ograniczonej grupy G , odwrotne pierwiastka X jest siła x (bardziej dokładnie, mamy x -1 = x d -1 , gdzie d oznacza kolejność o X ). W rezultacie, podgrupa generowane przez zestaw-sous S skończonej grupy G , jest zestaw elementów G , które są wytworzone elementy S .

Generowanie części grupy

Mówimy, że S jest generującą częścią grupy G lub że G jest generowane przez S , gdy podgrupa generowana przez S to G :

{\ displaystyle G = \ langle S \ rangle}

Innymi słowy, każdy element G jest iloczynem elementów S lub ich odwrotności.

Przykłady:

Każda grupa G jest części przynajmniej dwa generatory: G sama i G \ { e }, gdzie e oznacza neutralne elementu o G .
Dla każdej podgrupy H z G różnej od G , dopełnienie S = G \ H jest generującą częścią G (w rzeczywistości każdy element G należy do S lub do H , aw drugim przypadku jest zapisany jako iloczyn dwóch elementów S , z których jeden jest wybierany arbitralnie, a drugi jest określany przez ten wybór).

Każda skończona grupa rzędu $n$ ma generującą część rzędu , gdzie jest rozkład $n$ na czynniki pierwsze . ${\ displaystyle \ leq \ sum _ {p \ in {\ mathcal {P}}} \ alpha _ {p} \ leq \ lfloor \ log _ {2} n \ rfloor}$ ${\ Displaystyle n = \ prod _ {p \ in {\ mathcal {P}}} p ^ {\ alfa _ {p}}}$

Grupy typu skończonego

Grupa monogeniczna i grupa cykliczna

O grupie mówi się , że jest monogeniczna , jeśli jest generowana tylko przez jeden z jej elementów:

G jest monogeniczne, jeśli istnieje element a z G taki, że G = ⟨{ a }⟩.

Jeśli ponadto jest zakończony, mówi się, że jest cykliczny .

Klasyfikacja grup monogenicznych nie jest trudne. Jeśli generuje G , z morfizm grup ℤ → G , n ↦ n jest suriekcją . Przez twierdzenia izomorfizmu , indukuje Homomorfizm Izomorfizm: G ≃ ℤ / ker ( f ) . Jednak ker ( f ) jest podgrupą ℤ, a te podgrupy są dobrze znane: są to grupy n ℤ z n naturalną liczbą całkowitą. Powyższy izomorfizm jest wówczas zapisywany: G ≃ ℤ / n ℤ.

Aż do izomorfizmu istnieje niepowtarzalna nieskończona grupa monogeniczna (odpowiadająca n = 0), a dla każdej liczby całkowitej n > 0, unikalna cykliczna grupa kardynalna n .

Generatory ℤ / n ℤ są dokładnie klasami liczb całkowitych k pierwszych z n . Liczba tych klas jest oznaczona jako φ ( n ). Funkcja φ jest wskaźnikiem Eulera , odgrywa dużą rolę w arytmetyce .

Grupa typu skończonego

Mówi się, że grupa jest typu skończonego, jeśli ma skończoną część generującą.

Sprowadza się to do stwierdzenia, że grupa jest ilorazem wolnej grupy przez skończoną liczbę generatorów.

Dla nieokreślonych grup typu skończonego można poczynić kilka ogólnych uwag:

Dowolna grupa typu skończonego jest co najwyżej policzalna , ale sytuacja odwrotna jest fałszywa: na przykład addytywna grupa wymiernych nie jest typu skończonego.
Niech G jest grupą a H odróżnić podgrupy . Jeśli G jest skończoną typu następnie z grupy iloraz g / h również. Jeśli H i G / H są typu skończonego, to również G.
Wszystkie podgrupy indeksu zakończone skończoną generacją grupy są generowane skończenie ( patrz Twierdzenie Nielsena-Schreiera lub lemat Schreiera ).
Podgrupa, nawet wyodrębniona, grupy typu skończonego nie zawsze jest typu skończonego: na przykład grupa wyprowadzona z grupy swobodnej F { a , b } na dwóch generatorach a i b jest grupą wolną na policzalnej nieskończoności generatory: komutatory [ a m , b n ] dla wszystkich niezerowych liczb całkowitych m, n .
O grupie mówi się, że jest Noetherian, jeśli wszystkie jej podgrupy są typu skończonego lub jeśli zbiór jej podgrup (uporządkowanych przez włączenie) spełnia warunek łańcucha wznoszącego . Każda grupa policykliczna (in) (w szczególności każda grupa super-rozdzielcza ) jest Noetherian: jej podgrupy mają nawet skończoną prezentację .
O grupie mówi się, że jest artynianem, jeśli wszystkie jej podgrupy spełniają warunek łańcucha zstępującego . Każde rozszerzenie grupy artyńskiej abelowej przez grupę skończoną jest grupą artyńską.

Dla grupy abelowej te dwa pojęcia są odpowiednio równoważne z modułami Noetherian i Artinian modulus ( on ( ). W Noetherian grupa przemienna są zatem abelowe grupy skończonej typu , a Artinian grupa przemienna są bezpośrednie produkty z a grupa przemienna skończoności przez skończoną liczbę grup Prüfer .

Każda grupa abelowa typu skończonego jest bezpośrednim iloczynem skończonej liczby grup monogenicznych: istnieje nawet unikalna liczba całkowita r i unikalna skończona sekwencja naturalnych liczb całkowitych, z których każda dzieli następną, tak że G jest izomorficzna . Szczególnym przypadkiem skończonych grup abelowych ( r = 0) jest twierdzenie Kroneckera . $n_1 | n_2 | \ dots | n_s$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {r} \ razy \ mathbb {Z} / n_ {1} \ mathbb {Z} \ razy \ kropki \ razy \ mathbb {Z} / n_ {s} \ mathbb {Z} }$

Przykład części generatora

Niech K będzie przemienne pole The specjalny liniową grupę SL n ( K ) jest generowany przez matryce transvection .

Bibliografia

Patrz np. Daniel Guin i Thomas Hausberger, Algebra 1 (L3M1) , EDP Sciences ,2008( czytaj online ) , s. 136.
Jean Vuillemin (en) , „ Jak zweryfikować asocjatywność tabeli grupowej ”, Theoretical Computer Science , vol. 4, N O 1,1977, s. 77-82 ( czytaj online ).

Powiązany artykuł

Podgrupa wygenerowana normalnie (w)