Pomiar produktu

W matematyce, a dokładniej w teorii pomiarów , biorąc pod uwagę dwie mierzone przestrzenie i określamy wymiar iloczynu μ 1 × μ 2 na mierzalnej przestrzeni . (Ω1,S1,μ1){\ Displaystyle (\ Omega _ {1}, {\ mathcal {S}} _ {1}, \ mu _ {1})}(Ω2,S2,μ2),{\ Displaystyle (\ Omega _ {2}, {\ mathcal {S}} _ {2}, \ mu _ {2}),} (Ω1×Ω2,S1×S2){\ Displaystyle (\ Omega _ {1} \ times \ Omega _ {2}, {\ mathcal {S}} _ {1} \ times {\ mathcal {S}} _ {2})}

Szczep produkt jest szczep z produktu kartezjańskiego generowanego przez części w postaci , w której należy do i z  : S1×S2{\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {1} \ times {\ mathcal {S}} _ {2}} Ω1×Ω2{\ displaystyle \ Omega _ {1} \ times \ Omega _ {2}} W1×W2{\ Displaystyle A_ {1} \ razy A_ {2}}W1{\ displaystyle A_ {1}}S1{\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {1}}W2{\ displaystyle A_ {2}}S2{\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {2}}

S1×S2 = σ({W1×W2 | W1∈S1, W2∈S2}).{\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {1} \ times {\ mathcal {S}} _ {2} \ = \ \ sigma \ left (\ left \ {A_ {1} \ times A_ {2} \ | \ A_ {1} \ in {\ mathcal {S}} _ {1}, \ A_ {2} \ in {\ mathcal {S}} _ {2} \ right \} \ right).}

Miara produktu μ 1 × μ 2 jest miarą , która: (Ω1×Ω2,S1×S2){\ Displaystyle (\ Omega _ {1} \ times \ Omega _ {2}, {\ mathcal {S}} _ {1} \ times {\ mathcal {S}} _ {2})}

∀W1∈S1, ∀W2∈S2(μ1×μ2)(W1×W2)=μ1(W1)μ2(W2).{\ displaystyle \ forall A_ {1} \ in {\ mathcal {S}} _ {1}, ~ \ forall A_ {2} \ in {\ mathcal {S}} _ {2} \ qquad (\ mu _ { 1} \ times \ mu _ {2}) (A_ {1} \ times A_ {2}) = \ mu _ {1} (A_ {1}) \ mu _ {2} (A_ {2}).}

Zgodnie z twierdzeniem o rozszerzeniu Carathéodory'ego taka miara μ 1 × μ 2 istnieje, a jeśli μ 1 i μ 2 są σ-skończone, to jest ona unikalna.

W rzeczywistości, gdy μ 1 i μ 2 są σ-skończone, dla każdego mierzalnego zbioru E ,

(μ1×μ2)(mi)=∫Ω2μ1(miy) reμ2(y)=∫Ω1μ2(mix) reμ1(x),{\ Displaystyle (\ mu _ {1} \ razy \ mu _ {2}) (E) = \ int _ {\ Omega _ {2}} \ mu _ {1} (E ^ {y}) ~ \ mathrm {d} \ mu _ {2} (y) = \ int _ {\ Omega _ {1}} \ mu _ {2} (E_ {x}) ~ \ mathrm {d} \ mu _ {1} (x ),}

gdzie E x = { y ∈ Ω 2 | ( x , y ) ∊ E } i E y = { x ∈ Ω 1 | ( x , y ) ∊ E }, z których oba są mierzalnymi zbiorami.

Borel-Lebesgue'a w przestrzeni euklidesowej ℝ n można otrzymać jako produkt n kopii jeden na prostej ℝ.

Nawet jeśli μ 1 i μ 2 są kompletne , μ 1 × μ 2 niekoniecznie jest kompletne. Na przykład, aby otrzymać miarę Lebesgue'a na ℝ 2 , konieczne jest uzupełnienie iloczynu dwóch kopii miary Lebesgue'a na ℝ.

Bibliografia

• (fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu w angielskiej Wikipedii zatytułowanego „  Miara produktu  ” ( zobacz listę autorów ) .
• (en) Michael E. Taylor  (en) , Measure Theory and Integration , AMS ,2006
• (en) Michel Loève , Teoria prawdopodobieństwa , t.  I, Nowy Jork / Heidelberg / Berlin, Springer ,1977, 4 th  ed. , 425  pkt. ( ISBN  0-387-90210-4 ) , rozdz.  8.2 („Miary iloczynu i całki iterowane”) , s.  135-137
• (en) Paul Halmos , teoria miary , Nowy Jork / Heidelberg / Berlin, Springer,1974, 304  s. ( ISBN  0-387-90088-8 ) , rozdz.  35 („Miary produktu”) , s.  143-145

Powiązane artykuły

• Dezintegracja twierdzenia  (w)
• Twierdzenie Fubiniego