Magnetostatyczne jest badanie magnetyzmu w sytuacjach, w których pole magnetyczne jest niezależne od czasu.
Mówiąc dokładniej, magnetostatyka zajmuje się obliczaniem pól magnetycznych, gdy znane są źródła tych pól. Istnieją dwa możliwe źródła pól magnetycznych:
Podstawowe zależności magnetostatyki są wyprowadzane z równań Maxwella w materii poprzez usunięcie pochodnych względem czasu. Po usunięciu tych czasowych zmian równania elektryczności i magnetyzmu zostają odłączone, co pozwala na oddzielne badanie elektrostatyki i magnetostatyki. Podstawowymi relacjami magnetostatyki, zapisanymi w ich lokalnej formie, są:
lub
Zwrócić uwagę niejednoznaczność ekspresji pola magnetycznego , które mogą, w zależności od kontekstu oznaczają B i H . W dalszej części artykułu będziemy oznaczać pola wyraźnie za pomocą B lub H, ilekroć jest to ważne, aby dokonać rozróżnienia.
Do powyższych relacji musimy dodać ten, który łączy B i H :
lub
Widzimy, że rozróżnienie między B i H jest naprawdę przydatne tylko w namagnesowanych mediach (gdzie M ≠ 0 ). Zakładając, że namagnesowanie jest znane, powyższa zależność pozwala w bardzo prosty sposób obliczyć B jako funkcję H i odwrotnie. W związku z tym za każdym razem, gdy chcemy obliczyć pole magnetyczne, możemy wybrać obliczenie B lub H obojętnie , podczas gdy drugie zostanie natychmiast wydedukowane. Te dwie opcje odpowiadają dwóm podejściom do obliczeń magnetostatycznych:
Podejście ampérienne dąży do obliczania B . Obecnie jest preferowany w edukacji, ponieważ jest bliski elektromagnetyzmu w próżni. Równania do rozwiązania to:
.Można zauważyć, że człon ∇ × M w drugim równaniu działa jako prąd dodatkowy, co spowodowało, że został on zinterpretowany jako mikroskopijna gęstość prądu (zwana prądem związanym ) wynikająca z ruchu elektronów na ich orbitach atomowych. Ta klasyczna interpretacja zjawiska kwantowego ma jednak swoje ograniczenia: chociaż wystarczająco dobrze opisuje magnetyzm wynikający z orbitalnego momentu pędu , nie oddaje w pełni tego, co jest związane ze spinem elektronów.
W praktyce podejście amperyczne jest preferowane w sytuacjach, gdy nie ma namagnesowanej materii, a pole jest spowodowane wyłącznie prądem. Następnie umieścimy się w tym przypadku, w którym mamy wtedy ∇ × B = μ 0 j . Znaleźć przypadek ogólny (w obecności materiału magnetycznego), tak wymienić j przez j + ∇ x M .
Często zdarza się, że mamy do czynienia z układami o powierzchniach, na których namagnesowanie jest nieciągłe. Na przykład, jeśli magnes o równomiernym namagnesowaniu jest zanurzony w próżni, namagnesowanie na powierzchni magnesu zmienia się w sposób nieciągły od wartości skończonej (wewnątrz) do zera (na zewnątrz). W tym przypadku związana gęstość prądu ∇ × M może być nieskończona. W takim przypadku zastępuje się na powierzchni gęstość objętościową prądu związanego gęstością powierzchniową :
gdzie M 1 i M 2 są magnetyzacjami po obu stronach powierzchni nieciągłości, an 12 jest wektorem jednostkowym normalnym do tej powierzchni, zorientowanym od 1 do 2. Efektem na pole tego prądu powierzchniowego jest wywołanie nieciągłości B :
lub
Ta nieciągłość dotyczy tylko części B równoległej do powierzchni. Normalna część B pozostaje ciągła.
Dwie interesujące zależności można uzyskać, stosując twierdzenie Stokesa do relacji lokalnych. Relacja ∇⋅ B = 0 daje nam:
gdzie integralna, która rozciąga się na zamkniętej powierzchni S jest wypływać B . To jest twierdzenie o rozbieżności przepływu . Drugą zależność uzyskuje się przez całkowanie ∇ × B = μ 0 j na otwartej powierzchni S:
gdzie lewa całka jest obiegiem B na konturze S. Ta relacja jest znana jako twierdzenie Ampera . Prawa strona jest interpretowana po prostu jako prąd przepływający przez powierzchnię.
Te całkowe relacje często umożliwiają obliczenie B po prostu w sytuacjach o dużej symetrii.
PrzykładAlbo obliczyć pole utworzone przez nieskończony prostoliniowy przewodnik. Rozważania dotyczące symetrii dają orientację pola: obraca się ono w płaszczyznach prostopadłych do przewodu przewodzącego. Jego moduł można obliczyć, stosując twierdzenie Ampère'a do powierzchni S ograniczonej linią pola o promieniu a :
gdzie ja jest prądem niesionym przez drut. Wyprowadzamy moduł B :
.Widzimy, że pole maleje odwrotnie proporcjonalnie do odległości do drutu.
Rozbieżność od B jest zeru, możemy czerpać B od potencjalnego wektor A :
.Aby zapewnić wyjątkowość A , generalnie jest on zmuszony przestrzegać wskaźnika Coulomba :
.Gdzie A jest rozwiązaniem równania Poissona :
.Możemy pokazać, że A jest dane przez całkę
gdzie całka rozciąga się na całą przestrzeń (lub przynajmniej do stref, w których j ≠ 0 ) i:
Podobnie, B jest określone przez:
lub:
Ta ostatnia relacja znana jest pod nazwą prawa Biota i Savarta .
Jeśli nie jest namagnesowany sprawa, musimy oczywiście brać pod uwagę prądy związanych zastąpienie j przez j + ∇ × M . W przypadku obecności związanych prądów powierzchniowych konieczne jest dodanie do całek objętościowych całek powierzchniowych, które są wyprowadzane z poprzednich przez podstawienie
Powszechnie spotykaną sytuacją jest sytuacja, w której prąd płynie w obwodzie nitkowym, a sekcja drutu jest zaniedbana. W tym przypadku całki objętościowe dla A i B są zastępowane całkami liniowymi wzdłuż przewodu za pomocą podstawienia
gdzie I jest obecny w przewodzie i w długości elementu zorientowane wzdłuż I .
PrzykładyNieskończony wątek :
Możemy wziąć poprzedni przykład i obliczyć pole utworzone przez nieskończony drut zgodnie z prawem Biota i Savarta :
.Inne przykłady :
W podejściu kulombowskim przywiązuje się do obliczania H . To podejście ma swoje korzenie w pracy Coulomba nad siłami generowanymi przez bieguny magnesów. Nadal jest powszechnie używany przez magnetycy. Chodzi o rozwiązanie równań na H :
gdzie zdefiniowaliśmy
.Analogicznie do elektrostatyki ρ m nazywamy gęstością ładunku magnetycznego . Należy pamiętać, że w przeciwieństwie do ładunków elektrycznych, ładunków magnetycznych nie można izolować. Twierdzenie dywergencja strumienia rzeczywiście pokazuje, że całkowity ładunek magnetycznej próbki substancji wynosi zero. Dlatego magnes ma zawsze tyle samo ładunku dodatniego (biegun północny), co ujemnego (biegun południowy).
W praktyce ładunek magnetyczny często występuje w postaci zlokalizowanego ładunku powierzchniowego na powierzchni magnesu. To obciążenie powierzchniowe wynika z nieciągłości składowej M normalnej do powierzchni, gdzie -∇⋅ M jest lokalnie nieskończone. Powierzchnie tak naładowane nazywane są biegunami magnesu. Dodatnio naładowana powierzchnia to biegun północny, ujemnie naładowana to biegun południowy. Na tych powierzchniach gęstość objętościową ładunku zastępuje się gęstością powierzchniową:
.To obciążenie powierzchniowe powoduje nieciągłość H :
gdzie Δ M ⟂ jest częścią Δ M, która jest prostopadła do powierzchni. Ta nieciągłość dotyczy tylko części H normalnej do powierzchni. Równoległa część H pozostaje ciągła.
Podobnie jak w przypadku B , relacje te wynikają z zastosowania twierdzenia Stokesa do relacji lokalnych. Umożliwiają również obliczenie H w przypadku dużej symetrii. Całkowanie ∇⋅ H = ρ m na skończonej objętości V daje:
gdzie lewe koła, który jest przenoszony na powierzchnię wyznaczającą V jest strumień opuszczający H . Członek prawej ręki to nic innego jak całkowity ładunek zawarty w objętości. Drugą zależność uzyskuje się przez całkowanie ∇ × H = j na otwartej powierzchni S:
gdzie po lewej stronie jest pełen ruchu H na konturze S. Jest to wersja Ampere napisany dla H .
W praktyce podejście Coulomba jest preferowane w sytuacjach, gdy pole jest generowane wyłącznie przez namagnesowaną materię (magnesy), przy braku prądów elektrycznych. Następnie umieścimy się w tym przypadku, w którym mamy ∇ × H = 0 . W ogólnym przypadku, w którym byłyby zarówno prądy, jak i magnesy, oddzielnie obliczylibyśmy wkład w H pochodzący z prądów (metodą amperialną) i pochodzący z magnesów (metodą Coulomba).
Ponieważ założyliśmy ∇ × H = 0 (brak prądów), możemy wyprowadzić H ze skalarnego potencjału φ przez:
gdzie φ jest rozwiązaniem równania Poissona :
.Fakt, że H wywodzi się z potencjału skalarnego, podczas gdy B pochodzi z potencjału wektora, jest często warty Coulomba, co jest korzystne dla liczników.
Pokazujemy, podobnie jak w elektrostatyce, że φ i H są podane przez całki:
.W częstym przypadku, gdy występują ładunki powierzchniowe, konieczne jest dodanie do tych całek wkładów powierzchniowych, które są otrzymywane przez podstawienie:
.