Wskaźnik Lorenza
Wskaźnik Lorenza jest stanem, który można wprowadzić do elektromagnetyzmu ; warunek ten bierze swoją nazwę od duńskiego fizyka Ludviga Lorenza (często przypisuje się go fizykowi Hendrikowi Lorentzowi , prawdopodobnie ze względu na jego niezmienność podczas transformacji Lorentza ). Wprowadzenie warunku narzuca powiązanie potencjału skalarnego z potencjałem wektorowym związanym z polami elektrycznymi i magnetycznymi; składowe potencjału wektora i potencjału skalarnego tworzą następnie czterowektor potencjału . Ten konkretny miernik okazał się praktyczny, pozwalając na całkowicie relatywistyczny opis elektrodynamiki.
Forma ogólna
Relacja definiująca ten wybór miernika jest następująca:
∇⋅W→+μ0ϵ0∂V∂t=0{\ Displaystyle \ nabla \ cdot {\ vec {A}} + \ mu _ {0} \ epsilon _ {0} {\ frac {\ częściowe V} {\ częściowe t}} = 0}
Jej pochodzenie wywodzi się z faktu, że posiadanie Równania Maxwella, wykazano, że propagacja pól i w próżniowych spełnia d'Alemberta jest równaniem (patrz ustanowienie równania propagacji z równaniami Maxwella ).
mi→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {E}}}
b→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {B}}}![{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50c158c6f55f83d74d171c6bb2548b9640f794f5)
Przy takim wyborze miernika możemy pokazać, że potencjał skalarny również spełnia równanie d'Alemberta :
V{\ displaystyle V}![V](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845)
Najpierw zapisujemy równanie Maxwella-Faradaya:
∇∧mi→=-∂b→∂t=-∂∂t(∇∧W→){\ displaystyle \ nabla \ wedge {\ vec {E}} = - {\ frac {\ częściowe {\ vec {B}}} {\ częściowe t}} = - {\ frac {\ częściowe} {\ częściowe t} } (\ nabla \ wedge {\ vec {A}})}
skąd ; dlatego jest gradientem i aby zachować spójność z wyrażeniem statycznym , konieczne jest:
∇∧(mi→+∂W→∂t)=0→{\ displaystyle \ scriptstyle \ nabla \ wedge ({\ vec {E}} + {\ frac {\ częściowy {\ vec {A}}} {\ częściowy t}}) = {\ vec {0}}}
mi→+∂W→∂t{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {E}} + {\ frac {\ częściowy {\ vec {A}}} {\ częściowy t}}}
mi→=-∇V{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {E}} = - \ nabla V}![{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {E}} = - \ nabla V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cde6ccc6cb92acbeb07ee95c5f19f9526c6eaa2f)
mi→=-∇V-∂W→∂t{\ Displaystyle {\ vec {E}} = - \ nabla V - {\ frac {\ częściowe {\ vec {A}}} {\ częściowe t}}}
Równanie Maxwella-Gaussa (przy zerowej gęstości ładunku ) staje się wtedy:
ρ{\ displaystyle \ rho}![\ rho](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7d439671d1289b6a816e6af7a304be40608d64)
∇⋅(-∇V-∂W→∂t)=0{\ Displaystyle \ nabla \ cdot (- \ nabla V - {\ Frac {\ częściowe {\ vec {A}}} {\ częściowe t}}) = 0}
w związku z tym -∂∂t(∇⋅W→)-∇⋅(∇V)=0{\ Displaystyle \ scriptstyle - {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe t}} (\ nabla \ cdot {\ vec {A}}) - \ nabla \ cdot (\ nabla V) = 0}
Dlatego musimy poprosić (to jest miernik Lorenza ), aby:
∇⋅W→=-μ0ϵ0∂V∂t{\ Displaystyle \ scriptstyle \ nabla \ cdot {\ vec {A}} = - \ mu _ {0} \ epsilon _ {0} {\ frac {\ częściowe V} {\ częściowe t}}}![{\ Displaystyle \ scriptstyle \ nabla \ cdot {\ vec {A}} = - \ mu _ {0} \ epsilon _ {0} {\ frac {\ częściowe V} {\ częściowe t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0220d4a8c3221ff4e7a62313727249cbc96fce8)
◻V=ϵ0μ0∂2V∂t2-∇2V=0{\ Displaystyle \ Box V = \ epsilon _ {0} \ mu _ {0} {\ Frac {\ częściowy ^ {2} V} {\ częściowy t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} V = 0}
Ponadto zauważamy, że ten miernik pozwala również potencjałowi wektora zweryfikować równanie d'Alemberta . Po prostu napisz:
W→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {A}}}![{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e5b04260fb296664ef0652a3a601511e19b9bd6)
rot→(rot→W→)=solrwre→(divW→)-∇2W→{\ Displaystyle {\ vec {\ mathrm {rot}}} ({\ vec {\ mathrm {rot}}} {\ vec {A}}) = {\ vec {\ mathrm {grad}}} (\ operatorname { div} {\ vec {A}}) - \ nabla ^ {2} {\ vec {A}}}
ale potem z Maxwell-Ampere w próżni (dlatego wektor gęstości prądu wynosi zero):
rot→W→=b→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {rot}}} {\ vec {A}} = {\ vec {B}}}
jot→{\ displaystyle {\ vec {j}}}![{\ displaystyle {\ vec {j}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ce1ed1de8493f7cc7d856ca5427cf311b1597f1)
μ0ϵ0∂mi→∂t=solrwre→(divW→)-∇2W→{\ Displaystyle \ mu _ {0} \ epsilon _ {0} {\ frac {\ częściowy {\ vec {E}}} {\ częściowy t}} = {\ vec {\ mathrm {grad}}} (\ nazwa operatora {div} {\ vec {A}}) - \ nabla ^ {2} {\ vec {A}}}
ale zawsze mamy: dlatego
mi→=-∇V-∂W→∂t{\ Displaystyle {\ vec {E}} = - \ nabla V - {\ frac {\ częściowe {\ vec {A}}} {\ częściowe t}}}![{\ Displaystyle {\ vec {E}} = - \ nabla V - {\ frac {\ częściowe {\ vec {A}}} {\ częściowe t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72f99fedbc09c19c17de7f6181d8b848c7a462ae)
∇2W→-μ0ϵ0∂2W→∂t2=solrwre→(∇⋅W→+μ0ϵ0∂V∂t){\ Displaystyle \ nabla ^ {2} {\ vec {A}} - \ mu _ {0} \ epsilon _ {0} {\ frac {\ częściowy ^ {2} {\ vec {A}}} {\ częściowy t ^ {2}}} = {\ vec {\ mathrm {grad}}} (\ nabla \ cdot {\ vec {A}} + \ mu _ {0} \ epsilon _ {0} {\ frac {\ part V} {\ częściowe t}})}
Dlatego ze wskaźnikiem Lorenz , spełnia równanie d'Alemberta:
∇⋅W→+μ0ϵ0∂V∂t=0{\ Displaystyle \ nabla \ cdot {\ vec {A}} + \ mu _ {0} \ epsilon _ {0} {\ frac {\ częściowe V} {\ częściowe t}} = 0}
W→{\ displaystyle {\ vec {A}}}![\ vec {A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/391292ffadc65b0cde3e96f23afcdb811619dd95)
◻W→=ϵ0μ0∂2W→∂t2-∇2W→=0→{\ Displaystyle \ Box {\ vec {A}} = \ epsilon _ {0} \ mu _ {0} {\ frac {\ częściowy ^ {2} {\ vec {A}}} {\ częściowy t ^ {2 }}} - \ nabla ^ {2} {\ vec {A}} = {\ vec {0}}}
Miernik Lorenza jest zatem warunkiem na potencjały (wektor i skalar), aby poruszały się w taki sam sposób, jak pola i . W ogólnym przypadku, gdy rozkłady ładunku i prądu niekoniecznie są już identyczne zerem, potencjały skalarne i wektorowe spełniają niejednorodne równanie d'Alemberta:
mi→{\ displaystyle {\ vec {E}}}
b→{\ displaystyle {\ vec {B}}}![{\ displaystyle {\ vec {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83ae7d80cab55b606de217162280b2279142bbb4)
◻V=1vs2∂2V∂t2-∇2V=1ϵ0ρ,◻W→=1vs2∂2W→∂t2-∇2W→=μ0jot→{\ Displaystyle \ Box V = {\ dfrac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ częściowy ^ {2} V} {\ częściowy t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} V = {\ dfrac {1} {\ epsilon _ {0}}} \ rho, \, \, \, \, \ Box {\ vec {A}} = {\ dfrac {1} {c ^ {2} }} {\ frac {\ Partial ^ {2} {\ vec {A}}} {\ Part t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} {\ vec {A}} = \ mu _ {0 } {\ vec {J}}}
Z równań tych wyraźnie wynika, że według miernika Lorenza potencjały elektromagnetyczne są ściśle powiązane poprzez formalizm szczególnej teorii względności . Rzeczywiście, są one traktowane, w odniesieniu do czasu i przestrzeni, dokładnie tak, jak w przypadku metryki Minkowskiego (d'Alembertian jest iloczynem skalarnym Minkowskiego gradientu kwadriwektora z samym sobą).
◻{\ displaystyle \ Box}![\Pudełko](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Jawne rozwiązania potencjałów skalarnych i wektorowych są następujące (weryfikują niejednorodne równania d'Alemberta i równanie warunku cechowania Lorenza i dlatego są unikalne dzięki twierdzeniu o niepowtarzalności ):
V(r→,t)=14πϵ0∫wszechświatρ(r→′,t-||r→-r→′||vs)||r→-r→′||re3r→′,W→(r→,t)=μ04π∫wszechświatjot→(r→′,t-||r→-r→′||vs)||r→-r→′||re3r→′{\ Displaystyle V ({\ vec {r}}, t) = {\ dfrac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ int \ limity _ {\ tekst {wszechświat}} {\ dfrac { \ rho \ left ({\ vec {r}} ', t - {\ dfrac {|| {\ vec {r}} - {\ vec {r}}' ||} {c}} \ right)} { || {\ vec {r}} - {\ vec {r}} '||}} \, d ^ {3} {\ vec {r}}', \, \, \, \, {\ vec { A}} ({\ vec {r}}, t) = {\ dfrac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int \ limits _ {\ text {wszechświat}} {\ dfrac {{\ vec {J}} \ left ({\ vec {r}} ', t - {\ dfrac {|| {\ vec {r}} - {\ vec {r}}' ||} {c}} \ right )} {|| {\ vec {r}} - {\ vec {r}} '||}} \, d ^ {3} {\ vec {r}}'}
Te potencjały są wyraźnie zależne od czasu. W ich ocenie konieczne jest całkowanie w każdym punkcie przestrzeni z opóźnieniem czasowym , w porównaniu z czasem, w którym oceniane są potencjały, czasu, w którym sygnał świetlny pokonuje odległość między punktem a punktem, w którym oceniła potencjały. Z tego powodu potencjały elektromagnetyczne, sformułowane w mierniku Lorenza, nazywane są potencjałami opóźnionymi . Trudno się im dziwić, biorąc pod uwagę, że szczególna teoria względności, która sugeruje, że żadna informacja nie może rozprzestrzeniać się szybciej niż światło w próżni, jest zbudowana na elektromagnetyzmie.
r→′{\ displaystyle {\ vec {r}} '}
t′{\ displaystyle t '}
t{\ displaystyle {\ ce {t}}}
r→′{\ displaystyle {\ vec {r}} '}
r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}![\ vec {r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aec3c9ce13b53e9e24c98e7cce4212627884c91)
Wskaźnik Coulomba
Wydaje się, że możliwy jest inny wybór miernika; to jest wskaźnik Coulomba:
∇⋅W→=0{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ vec {A}} = 0}![{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ vec {A}} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92a06cf8ea741256219523638cdfea50a25a6b44)
,
co prowadzi bezpośrednio do Poissona równania elektrostatyczny , . Miernik ten jest szeroko stosowany w fizyce atomowej i molekularnej oraz w przypadku ładunków statycznych i rozkładów prądu.
∇2V=-1ϵ0ρ{\ displaystyle \ nabla ^ {2} V = - {\ dfrac {1} {\ epsilon _ {0}}} \ rho}![{\ displaystyle \ nabla ^ {2} V = - {\ dfrac {1} {\ epsilon _ {0}}} \ rho}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e939e7d87e565e63cb6ab8b0f031c3c91dc967d)
Bibliografia
Odniesienia do wskaźników Lorenza i Coulomba to legion. Można na przykład skonsultować się z Lev Landau i Evgueni Lifchits: Theoretical Physics, t. 2: Teoria pola Wydanie MIR, Moskwa 1966
Poniższe artykuły opisują pewne aspekty historyczne, co sprawia, że przypisanie tej miary Ludwigowi Lorenzowi a priori jest istotne.
- L. Lorenz, „ O tożsamości drgań światła z prądami elektrycznymi ” Philos. Mag. 34, 287-301, 1867.
-
- Bozhidar Z. Iliev, „ Wskaźnik„ Lorenz ”został nazwany na cześć Ludwiga Valentina Lorenza! ”, 2008, arxiv.org/abs/0803.0047v1
-
- Robert Nevels i Chang-Seok Shin, „ Lorenz, Lorentz, and the Gauge ”, IEEE Antennas and Propagatlon Magazine, tom. 43, nr 3, czerwiec 2001.
-
- JD Jackson i LB Okun, „ Historyczne korzenie niezmienności cechowania ”, ks. Mod. Fiz. 73, 663, 2001.
- D. Griffiths, „ Wprowadzenie do elektrodynamiki ”, Pearson, wydanie czwarte, 2012
Powiązane artykuły
Uwagi i odniesienia
-
Zobacz na przykład Lev Landau i Evgueni Lifchits , Theoretical Physics , t. 2: Teoria pola [ szczegóły wydań ].
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">