Niewłaściwa integralność

W matematyce The niewłaściwe integralną (lub uogólnione integralną ) oznacza przedłużenie zwykłego całka , definiowany przez formę przejścia do granicy w całki. Generalnie oznaczamy całki niewłaściwe bez odróżniania ich od całek rzeczywistych lub całek oznaczonych , a zatem: jest klasycznym przykładem zbieżnej całki niewłaściwej, ale która nie jest zdefiniowana w sensie zwykłych teorii całkowania (czy l całkowanie fragmentarycznie ciągłe funkcje , całka Riemanna lub Lebesgue'a  ; godnym uwagi wyjątkiem jest teoria całkowania Kurzweila-Henstocka ). ∫0+∞grzech⁡ttret{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ Frac {\ sin t} {t}} \, \ mathrm {d} t}

W praktyce prowadzi się badanie zbieżności całki niewłaściwej:

• kiedy integrujemy się do nieskończonej granicy;
• kiedy całkujemy do granicy, w której funkcja nie dopuszcza skończonej granicy;
• kiedy włącza się punkt braku definicji w przedziale integracji.

W każdym przypadku obliczymy całkę zdefiniowaną jako funkcję jednej z dwóch granic i weźmiemy granicę funkcji uzyskanej, gdy argument zmierza w kierunku wartości granicy.

Całka niewłaściwa dzieli pewną liczbę własności elementarnych z całką oznaczoną. Nie pozwala na zapis wyników inwersji całkowych granicznych z twierdzeniami o inwersji o zbieżności jednostajnej. Z drugiej strony istnieje twierdzenie o inwersji całki granicznej, przystosowane do całek niewłaściwych: jest to zdominowane twierdzenie o zbieżności .

Definicja

Definicja zbieżności całki niewłaściwej

Niech (gdzie jest prawdziwy , ale b może być nieskończony ) jest ciągłą funkcją lub, bardziej ogólnie, lokalnie do zabudowy , czyli do zabudowy w każdej wypraski z [ a , b [ . Jeśli limitfa:[w,b[→R{\ Displaystyle f: [a, b [\ do \ mathbb {R}}

limx→b-∫wxfa(t)ret{\ Displaystyle \ lim _ {x \ do b ^ {-}} \ int _ {a} ^ {x} f (t) \, \ mathrm {d} t}

istnieje i jest skończona, tę niewłaściwą granicę całkową f na [ a , b [ .

W ten sam sposób, to znaczy lokalnie integrowalna funkcja. Jeśli limit fa:]w,b]→R{\ displaystyle f: {] a, b]} \ do \ mathbb {R}}

limx→w+∫xbfa(t)ret{\ Displaystyle \ lim _ {x \ do a ^ {+}} \ int _ {x} ^ {b} f (t) \, \ mathrm {d} t}

istnieje i jest skończona, tę niewłaściwą granicę całkową f na ] a , b ] .

W obu przypadkach możemy zauważyć ten limit

∫wbfa(t)ret{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) \, \ mathrm {d} t}i określa się możliwe, czy całka jest niewłaściwa dla terminala a, czy dla terminala b .

Jeśli granica istnieje i jest skończona, mówimy, że jest zbieżna; w przeciwnym razie mówi się, że się rozchodzi. ∫wbfa(t)ret{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) \, {\ rm {d}} t}

Uwagi

• Możemy łatwo uogólnić definicję na funkcje, które są zdefiniowane tylko na ] a , b [ (i lokalnie integrowalnej). Wtedy to mówimy∫wbfa(t)ret{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) \, \ mathrm {d} t}zbiega się, gdy, dla dowolnej, całkivs∈]w,b[{\ displaystyle c \ in {] a, b [}}∫wvsfa(t)ret i ∫vsbfa(t)ret{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {c} f (t) \, \ mathrm {d} t {\ tekst {et}} \ int _ {c} ^ {b} f (t) \, \ mathrm {d} t}skupiać. Zgodnie z relacją Chaslesa dla całek , definicja ta nie zależy od wyboru c .
• Jest notacja co pozwala wyjaśnić niewłaściwy charakter całki:limx→b-∫wxfa(t)ret{\ Displaystyle \ lim _ {x \ do b ^ {-}} \ int _ {a} ^ {x} f (t) \, \ mathrm {d} t}można napisać∫w→bfa(t)ret.{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {\ do b} f (t) \ \ mathrm {d} t.}
• Jeśli f jest w rzeczywistości całkowalne w segmencie [ a , b ] , z tych definicji otrzymujemy taką samą wartość, jak gdybyśmy obliczyli całkę oznaczoną f .

Definicja całkowalności funkcji

Niech I = ( , b ) być realny przedział i lokalnie całkowalna funkcja. Mówimy, że f jest całkowalne przez I jeśli fa:ja→R{\ displaystyle f: ja \ do \ mathbb {R}}

∫wb|fa(t)|ret{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} | f (t) | \, \ mathrm {d} t}

zbiega się. Następnie mówimy, że całka f na I jest zbieżna absolutnie .

Każda absolutnie zbieżna całka jest zbieżna (por. § „Zwiększenie” poniżej ). Odwrotny jest źle. Mówi się, że całka, która nie jest zbieżna absolutnie, jest częściowo zbieżna.

Techniki ustalania zbieżności całki niewłaściwej

Przypadek funkcji pozytywnych

Jeśli f (lokalnie integrowalna na [ a , b [ ) jest dodatnia, to zgodnie z monotonicznym twierdzeniem o zbieżności , jego całka (niewłaściwa w b ) jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje rzeczywiste M takie, że

∀x∈[w,b[∫wxfa(t) ret≤M,{\ Displaystyle \ forall x \ w [a, b [\ quad \ int _ {a} ^ {x} f (t) ~ \ mathrm {d} t \ równoważnik M,}

a całka f jest wtedy górną granicą wszystkich tych całek.

Jawne obliczenia

Czasami możemy pokazać, że niewłaściwa całka jest zbieżna, to znaczy, że granica, która interweniuje w powyższej definicji, istnieje i jest skończona, obliczając tę ​​granicę bezpośrednio po wykonaniu obliczenia liczby pierwotnej .

Przykład Całka jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy rzeczywista λ jest ściśle dodatnia.∫0+∞mi-λtret{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ rm {e}} ^ {- \ lambda t} \, \ mathrm {d} t}

Kryterium Cauchy'ego

Zgodnie z kryterium Cauchy'ego dla funkcji , całka niewłaściwa w b

∫wbfa(t)ret{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) \, \ mathrm {d} t}

jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy:∀ε>0∃vs∈[w,b[∀x,y∈[vs,b[|∫xyfa(t)ret|≤ε.{\ Displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ quad \ istnieje c \ in [a, b [\ quad \ forall x, y \ in [c, b [\ quad \ left | \ int _ {x} ^ {y}] f (t) \, \ mathrm {d} t \ right | \ leq \ varepsilon.}

Zwiększać

Zgodnie z powyższym kryterium Cauchy'ego, więc całka niewłaściwa

∫wbfa(t)ret{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) \, \ mathrm {d} t}

jest zbieżna, wystarczy, że istnieje funkcja g ≥ | f | w tym całka

∫wbsol(t)ret{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} g (t) \, \ mathrm {d} t}

zbiega się.

Zaniedbanie

Rozważamy dwie całki niewłaściwe w b ,

∫wbfa(t)ret i ∫wbsol(t)ret.{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) \, \ mathrm {d} t {\ tekst {et}} \ int _ {a} ^ {b} g (t) \, \ mathrm {d} t.}

Jeśli, gdy t → b , (w szczególności jeśli ) ig mają stały znak , to: jeśli całka fa(t)=O(sol(t)){\ Displaystyle f (t) = O (g (t))}fa(t)=o(sol(t)){\ Displaystyle f (t) = o (g (t))}

∫wbsol(t)ret{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} g (t) \, \ mathrm {d} t}

jest zbieżna, całka

∫wbfa(t)ret{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) \, \ mathrm {d} t}

jest również (zgodnie z § „Zwiększenie” ).

Uwaga Warunek „stałego znaku” jest niezbędny. Na przykład : ∫0+∞grzech⁡ttret{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ Frac {\ sin t} {\ sqrt {t}}} \, \ mathrm {d} t} zbiega się , ale ∫0+∞|grzech⁡t|tret{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ Frac {| \ sin t |} {t}} \, \ mathrm {d} t} różni się , chociaż w + ∞ , |grzech⁡t|t=o(grzech⁡tt).{\ Displaystyle {\ Frac {| \ sin t |} {t}} = o \ lewo ({\ Frac {\ sin t} {\ sqrt {t}}} \ prawej).}

Równorzędność

Przy takich samych zapisach jak w poprzednim akapicie, jeśli f i g są równoważne z punktem b i stałym znakiem , to ich całki mają tę samą naturę, ponieważ f = O ( g ) i g = O ( f ) .

Przykład Od sin ( S ) - a jest równoważna 0 + z - s 3 /6 <0 ,∫1+∞tλ(grzech⁡(1t)-1t)ret{\ Displaystyle \ int _ {1} ^ {+ \ infty} t ^ {\ lambda} \ lewo (\ sin \ lewo ({\ tfrac {1} {t}} \ prawej) - {\ tfrac {1} { t}} \ right) \, \ mathrm {d} t}zbiega wtedy i tylko wtedy, gdy λ <2 . Uwaga Warunek „stałego znaku” jest tu znowu istotny (jak w analogicznym kryterium dla szeregu ). Na przykład, grzech⁡tt+|grzech⁡t|t i grzech⁡tt{\ Displaystyle {\ Frac {\ sin t} {\ sqrt {t}}} + {\ Frac {| \ sin t |} {t}} {\ tekst {et}} {\ Frac {\ sin t} { \ sqrt {t}}}} są równoważne w + ∞, ale ich całki nie są tej samej natury, zgodnie z uwagą z poprzedniego §.

Reguła Abla

Konsekwencją powyższego kryterium Cauchy'ego jest następujące twierdzenie (dla g lokalnie całkowalna na [ a , b [ )]:

Jeśli f maleje i ma granicę zerową w b i jeśli funkcja jest ograniczona , to całka z fg na [ a , b [jest zbieżna.x↦∫wxsol{\ Displaystyle x \ mapsto \ int _ {a} ^ {x} g}

Przykład: Dla każdego rzeczywistego λ> 0 całka jest zbieżna.∫1+∞exp⁡(jat)tλ ret{\ Displaystyle \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ Frac {\ exp (\ mathrm {i} t)} {t ^ {\ lambda}}} ~ \ mathrm {d} t}

Inne właściwości

Integracja przez części

Integracja przez części jest techniką, między innymi, do obliczania całki. W przypadku całek niewłaściwych można również zastosować tę technikę. Musisz jednak uważać na definicję „uzyskanych przedmiotów”. tak

∫wbfa(t)sol′(t)ret{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) g '(t) \ \, \ mathrm {d} t}

istnieje, niekoniecznie tak jest

[fa(t)sol(t)]wb{\ Displaystyle \ lewo [f (t) g (t) \ prawej] _ {a} ^ {b}} albo za ∫wbfa′(t)sol(t)ret.{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f '(t) g (t) \ \, \ mathrm {d} t.}

Jeśli więc spróbujemy obliczyć na przykład całkę

∫wbfa(t)sol′(t)ret{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) g '(t) \ \, \ mathrm {d} t}

niewłaściwe w b , możemy napisać:

∫wxfa(t)sol′(t)ret=[fa(t)sol(t)]wx-∫wxfa′(t)sol(t)ret{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {x} f (t) g '(t) \ \ mathrm {d} t = \ lewo [f (t) g (t) \ prawej] _ {a} ^ {x} - \ int _ {a} ^ {x} f '(t) g (t) \, \ mathrm {d} t}

z a ≤ x < b, wtedy robimy przejście do granicy, wykonując x → b . Następnie obserwujemy, że jeśli warunki

[fa(t)sol(t)]w→b{\ Displaystyle \ lewo [f (t) g (t) \ prawej] _ {a} ^ {\ do b}} i ∫w→bfa′(t)sol(t)ret{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {\ do b} f '(t) g (t) \ \, \ mathrm {d} t}

są zdefiniowane, możliwa jest integracja przez części.

Przykład Dla każdego zespolonego λ z ściśle dodatnią częścią rzeczywistą , całka ∫1+∞exp⁡(jat)tλ ret{\ Displaystyle \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ Frac {\ exp (\ mathrm {i} t)} {t ^ {\ lambda}}} ~ \ mathrm {d} t} Równa się [exp⁡(jat)jatλ]1+∞+λ∫1+∞exp⁡(jat)jatλ+1 ret=0-exp⁡(ja)ja+λ∫1+∞exp⁡(jat)jatλ+1 ret{\ Displaystyle \ lewo [{\ Frac {\ exp (\ mathrm {i} t)} {\ mathrm {i} t ^ {\ lambda}}} \ prawo] _ {1} ^ {+ \ infty} + \ lambda \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ exp (\ mathrm {i} t)} {\ mathrm {i} t ^ {\ lambda +1}}} ~ \ mathrm {d} t = 0 - {\ frac {\ exp (\ mathrm {i})} {\ mathrm {i}}} + \ lambda \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ exp (\ mathrm {i} t)} {\ mathrm {i} t ^ {\ lambda +1}}} ~ \ mathrm {d} t}, co dowodzi, że jest zbieżny.

Liniowość

Liniowość niewłaściwych całek jest możliwe, ale wymaga tych samych warunkach jak dla integracji przez części: „Uzyskane obiekty” musi być zdefiniowany. Więc możemy pisać

∫1+∞(1t2-mi-t)ret=∫1+∞1t2ret-∫1+∞mi-tret{\ Displaystyle \ int _ {1} ^ {+ \ infty} \ lewo ({\ Frac {1} {t ^ {2}}} - {\ rm {e}} ^ {- t} \ prawej) \, \ mathrm {d} t = \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {t ^ {2}}} \, \ mathrm {d} t- \ int _ {1} ^ { + \ infty} {\ rm {e}} ^ {- t} \, \ mathrm {d} t}

ponieważ całki

∫1+∞1t2ret i ∫1+∞mi-tret{\ Displaystyle \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ Frac {1} {t ^ {2}}} \, \ mathrm {d} t {\ text {i}} \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ rm {e}} ^ {- t} \, \ mathrm {d} t}

są zbieżne.

Ale z drugiej strony całka

∫1+∞(grzech⁡(1t)-1t)ret{\ Displaystyle \ int _ {1} ^ {+ \ infty} \ lewo (\ sin \ lewo ({\ tfrac {1} {t}} \ prawej) - {\ tfrac {1} {t}} \ prawej) \, \ mathrm {d} t}

( zbieżna ) nie może zostać podzielona, ​​ponieważ całki

∫1+∞grzech⁡(1t)ret i ∫1+∞1tret{\ Displaystyle \ int _ {1} ^ {+ \ infty} \ sin \ lewo ({\ Frac {1} {t}} \ prawej) \, \ mathrm {d} t {\ tekst {et}} \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {t}} \, \ mathrm {d} t}

są rozbieżne.

Klasyczne przykłady

Przykłady Riemanna

Dla wszystkich x > 0, całka

∫x+∞1twret{\ Displaystyle \ int _ {x} ^ {+ \ infty} {\ Frac {1} {t ^ {a}}} \, \ mathrm {d} t}

zbiega wtedy i tylko wtedy, gdy a > 1 . W tym przypadku: . ∫x+∞1twret=x1-ww-1{\ Displaystyle \ int _ {x} ^ {+ \ infty} {\ Frac {1} {t ^ {a}}} \, \ mathrm {d} t = {\ Frac {x ^ {1-a}} {a-1}}}

Dla x > 0 całka

∫0x1svsres{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {x} {\ Frac {1} {s ^ {c}}} \, \ mathrm {d} s}

(niewłaściwe przy 0, jeśli c > 0 ) zbiega wtedy i tylko wtedy, gdy c <1 . W tym przypadku: . ∫0x1svsres=x1-vs1-vs{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {x} {\ Frac {1} {s ^ {c}}} \, \ mathrm {d} s = {\ Frac {x ^ {1-c}} {1 -vs}}}

Całki Bertranda

Bardziej ogólnie :

• całka∫mi+∞1tαlnβ⁡tret{\ Displaystyle \ int _ {\ rm {e}} ^ {+ \ infty} {\ Frac {1} {t ^ {\ alpha} \ ln ^ {\ beta} t}} \, \ mathrm {d} t }zbieżne wtedy i tylko wtedy, gdy α> 1 lub (α = 1 i β> 1);
• całka∫01/mi1sγ|ln⁡(s)|βres{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1 / {\ rm {e}}} {\ Frac {1} {s ^ {\ gamma} | \ ln (s) | ^ {\ beta}}} \, \ mathrm {d} s}zbiega wtedy i tylko wtedy, gdy γ <1 lub (γ = 1 i β> 1).

Całka Dirichleta

Całka

∫0+∞grzech⁡ttret{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ Frac {\ sin t} {t}} \, \ mathrm {d} t}

jest częściowo zbieżna i jest warta . π2{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}

Uwagi i odniesienia

1. Zobacz pierwszy przykład rozdziału " Całki uogólnione" na Wikiwersytecie .
2. ten sposób możemy uzasadnić zbieżność całki, która definiuje funkcję gamma  : zobacz na przykład początek poprawionego przypisania „Funkcja Gamma i wzór Stirlinga” na Wikiversity .
3. Zobacz sekcję „Reguła Abela” na Wikiwersytecie .
4. Innym klasycznym przykładem jest równanie funkcyjne funkcji gamma, zademonstrowane na początku poprawionego zadania „Funkcja Gamma i wzór Stirlinga” na Wikiversity .Γ(x+1)=xΓ(x){\ Displaystyle \ Gamma (x + 1) = x \, \ Gamma (x)}
5. Zobacz sekcję „Przykład Riemanna” na Wikiwersytecie .
6. Zobacz przykład „ Całki Bertranda” na Wikiwersytecie .

Powiązane artykuły

• Obliczanie całek półzbieżnych i for∫0∞sałata⁡ttαret{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {\ cos t} {t ^ {\ alpha}}} \, \ mathrm {d} t}∫0∞grzech⁡ttαret{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {\ sin t} {t ^ {\ alpha}}} \, \ mathrm {d} t}Rmi(α)∈]0,1[{\ Displaystyle \ mathrm {Re} (\ alfa) \ w \ lewo] 0,1 \ prawo [}
• Porównanie pełnych serii
• Całka Gaussa
• Całkowanie przez zmianę zmiennej
• Transformacja Fouriera
• Twierdzenie Poincaré-Bertranda

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">