Tożsamość ośmiu kwadratów Degena

W matematyce , a dokładniej w algebrze , tożsamość ośmiu kwadratów Degena pokazuje, że iloczyn dwóch liczb, z których każda jest sumą ośmiu kwadratów, jest sumą ośmiu kwadratów.

Tożsamość Degena

Jeśli a i i b j są liczbami całkowitymi, liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi lub, bardziej ogólnie, elementami pierścienia przemiennego , mamy:

{\ Displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ {2} + a_ {5} ^ {2} + a_ {6} ^ {2} + a_ {7} ^ {2} + a_ {8} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2} + b_ {5} ^ {2} + b_ {6} ^ {2} + b_ {7} ^ {2} + b_ {8} ^ {2}) = \,}

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4} -a_ {5} b_ {5} -a_ {6} b_ {6} -a_ {7} b_ {7} -a_ {8} b_ {8}) ^ {2} + \,}

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1} + a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3} + a_ {5} b_ {6} -a_ {6} b_ {5} -a_ {7} b_ {8} + a_ {8} b_ {7}) ^ {2} + \,}

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {3} -a_ {2} b_ {4} + a_ {3} b_ {1} + a_ {4} b_ {2} + a_ {5} b_ {7} + a_ {6} b_ {8} -a_ {7} b_ {5} -a_ {8} b_ {6}) ^ {2} + \,}

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {4} + a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2} + a_ {4} b_ {1} + a_ {5} b_ {8} -a_ {6} b_ {7} + a_ {7} b_ {6} -a_ {8} b_ {5}) ^ {2} + \,}

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {5} -a_ {2} b_ {6} -a_ {3} b_ {7} -a_ {4} b_ {8} + a_ {5} b_ {1} + a_ {6} b_ {2} + a_ {7} b_ {3} + a_ {8} b_ {4}) ^ {2} + \,}

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {6} + a_ {2} b_ {5} -a_ {3} b_ {8} + a_ {4} b_ {7} -a_ {5} b_ {2} + a_ {6} b_ {1} -a_ {7} b_ {4} + a_ {8} b_ {3}) ^ {2} + \,}

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {7} + a_ {2} b_ {8} + a_ {3} b_ {5} -a_ {4} b_ {6} -a_ {5} b_ {3} + a_ {6} b_ {4} + a_ {7} b_ {1} -a_ {8} b_ {2}) ^ {2} + \,}

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {8} -a_ {2} b_ {7} + a_ {3} b_ {6} + a_ {4} b_ {5} -a_ {5} b_ {4} -a_ {6} b_ {3} + a_ {7} b_ {2} + a_ {8} b_ {1}) ^ {2} \,}

Tożsamość, odkryta przez Carla Ferdinanda Degena (da) około 1818 roku, została niezależnie odkryta na nowo przez Johna Thomasa Gravesa (w) (1843) i Arthura Cayleya (1845). Ten ostatni uzyskał go, gdy studiował rozszerzenie kwaternionów , oktonionów ; Tożsamość ta oznacza w istocie, że średnia z octonions jest mnożnikowy, to znaczy, standardowy produkt dwa octonions jest wytworem ich normami: . Analogiczne tożsamości są związane z normą kwaternionu ( tożsamość czterech kwadratów Eulera ) i modułem liczb zespolonych ( tożsamość Brahmagupty ${\ Displaystyle \ | uv \ | = \ | u \ | \ | v \ |}$ ). Jednak w 1898 roku Adolf Hurwitz wykazał, że nie można użyć sedencji do dalszego uogólnienia tych formuł, aw rzeczywistości nie ma bilinearnej tożsamości dla dowolnej liczby kwadratów innych niż 1, 2, 4 i 8 ..

Zauważ, że każdy kwadrant sprowadza się do wariantu tożsamości czterech kwadratów Eulera :

{\ Displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2}) = \,}

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4}) ^ {2} + \,}

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1} + a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3}) ^ {2} + \,}

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {3} -a_ {2} b_ {4} + a_ {3} b_ {1} + a_ {4} b_ {2}) ^ {2} + \,}

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {4} + a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2} + a_ {4} b_ {1}) ^ {2} \,}

{\ Displaystyle (a_ {5} ^ {2} + a_ {6} ^ {2} + a_ {7} ^ {2} + a_ {8} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2}) = \,}

{\ Displaystyle (a_ {5} b_ {1} + a_ {6} b_ {2} + a_ {7} b_ {3} + a_ {8} b_ {4}) ^ {2} + \,}

{\ Displaystyle (a_ {5} b_ {2} -a_ {6} b_ {1} + a_ {7} b_ {4} -a_ {8} b_ {3}) ^ {2} + \,}

{\ Displaystyle (a_ {5} b_ {3} -a_ {6} b_ {4} -a_ {7} b_ {1} + a_ {8} b_ {2}) ^ {2} + \,}

{\ Displaystyle (a_ {5} b_ {4} + a_ {6} b_ {3} -a_ {7} b_ {2} -a_ {8} b_ {1}) ^ {2} \,}

i to samo dla pozostałych dwóch ćwiartek.

Bibliografia

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu w angielskiej Wikipedii zatytułowanego „ Ośmiokwadratowa tożsamość Degena ” ( zobacz listę autorów ) .
(en) Eric W. Weisstein , „ Ośmiokwadratowa tożsamość Degena ” , na MathWorld

Pascal Boyer, Mały towarzysz liczb i ich zastosowania , Calvage i Mounet,2019, 648 str. ( ISBN 978-2-916352-75-6 ) , I. Arytmetyka ℤ, rozdz. 4.3. („Twierdzenie Hurwitza (1, 2, 4, 8)”), s. 67-70.

Zobacz też

Powiązane artykuły

Tożsamość szesnastu kwadratów Pfister (we)
Liczba hiperkompleksowa

Linki zewnętrzne