Tożsamość trygonometryczna Pitagorasa

Jedynka trygonometryczna wyraża twierdzenie Pitagorasa w kategoriach funkcji trygonometrycznych . Wraz z sumą wzorów na kąty jest to jedna z podstawowych zależności między funkcją sinus i cosinus. Ten związek między sinusem i cosinusem jest czasami nazywany podstawową pitagorejską tożsamością trygonometryczną .

Ta tożsamość trygonometryczna jest określona wzorem:

{\ Displaystyle \ sin ^ {2} \ theta + \ cos ^ {2} \ theta = 1}

, gdzie oznacza .

\ sin ^ {2} \ theta

{\ Displaystyle (\ sin \ theta) ^ {2}}

Jeżeli długość przeciwprostokątnej z prawego trójkąta jest równa 1, wtedy długość jednego z dwóch boków jest sinus kąta przeciwnego, a także cosinus sąsiedniego kątem ostrym. Dlatego ta tożsamość trygonometryczna wynika z twierdzenia Pitagorasa.

Dowód oparty na trójkątach prostokątnych

Wszystkie podobne trójkąty mają tę właściwość, że jeśli wybierzemy ten sam kąt w każdym z nich, stosunek dwóch boków definiujących kąt jest taki sam niezależnie od wybranego podobnego trójkąta, niezależnie od jego rzeczywistej wielkości: współczynniki zależą od trzech kątów , a nie długości boków. Zatem stosunek jego poziomej strony do przeciwprostokątnej jest taki sam, a mianowicie $cos θ$ .

Podstawowe definicje funkcji sinus i cosinus w odniesieniu do boków trójkąta prostokątnego to:

{\ Displaystyle \ sin \ theta = {\ Frac {\ mathrm {oppose}} {\ mathrm {hypotenuse}}} = {\ Frac {b} {c}}}

{\ Displaystyle \ cos \ theta = {\ Frac {\ mathrm {przyległy}} {\ mathrm {hypotenuse}}} = {\ Frac {a} {c}}}

Tożsamość pitagorejska następuje poprzez podniesienie do kwadratu dwóch powyższych definicji i dodanie ich razem, po czym lewa strona tożsamości staje się

{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {oppose} ^ {2} + \ mathrm {przyległy} ^ {2}} {\ mathrm {przeciwprostokątna} ^ {2}}}}

która zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa jest równa 1. Ta definicja obowiązuje dla wszystkich kątów, ze względu na definicję $x = cos θ$ i $y = sin θ$ dla okręgu jednostkowego , a więc $x = c cos θ$ i $y = c sin θ$ dla okręgu o promieniu $c$ , gdzie $x = a$ i $y = b$ .

Alternatywnie można użyć tożsamości symetrii trygonometrycznej oraz zmian i okresowości. Dzięki tożsamościom okresowości możemy powiedzieć, że jeśli wzór jest prawdziwy dla $-π < θ \leq π,$ to jest prawdziwy dla wszystkich rzeczywistych $θ$ . Następnie udowodnimy granicę $π / 2 < θ \leq π$ , aby to zrobić, ustawimy $t = θ - π / 2$ . t będzie teraz mieścić się w przedziale $0 < t \leq π / 2$ . Możemy wtedy powiedzieć, że:

{\ Displaystyle \ sin ^ {2} \ teta + \ cos ^ {2} \ teta = \ sin ^ {2} \ lewo (t + {\ Frac {1} {2}} \ pi \ prawej) + \ cos ^ {2} \ left (t + {\ frac {1} {2}} \ pi \ right) = \ cos ^ {2} t + \ sin ^ {2} t = 1.}

Pozostaje tylko to udowodnić $-π < θ <0$ . Można to zrobić poprzez podniesienie do kwadratu tożsamości symetrii

{\ Displaystyle \ sin ^ {2} \ teta = \ sin ^ {2} (- \ teta) {\ tekst {et}} \ cos ^ {2} \ teta = \ cos ^ {2} (- \ teta) .}

Powiązane tożsamości

Tożsamości

{\ Displaystyle 1+ \ tan ^ {2} \ theta = \ sec ^ {2} \ theta}

{\ Displaystyle 1+ \ cot ^ {2} \ theta = \ csc ^ {2} \ theta}

nazywane są również pitagorejskimi tożsamościami trygonometrycznymi. Jeśli jeden bok trójkąta prostokątnego ma długość 1, to styczna kąta przylegającego do tego boku jest długością drugiego boku, a sieczna kąta jest długością przeciwprostokątnej.

{\ Displaystyle \ tan \ theta = {\ Frac {b} {a}} \,}

{\ Displaystyle \ sec \ theta = {\ Frac {c} {a}} \.}

W ten sposób ta tożsamość trygonometryczna obejmująca styczną i sieczną wynika z twierdzenia Pitagorasa. Tożsamości trygonometryczne obejmujące cotangens i cosecans również wynikają z twierdzenia Pitagorasa.

Poniższa tabela przedstawia tożsamości z czynnikiem lub dzielnikiem, który łączy je z tożsamością główną.

Oryginalna tożsamość	Rozdzielacz	Podzielone równanie	Tożsamość pochodna
${\ Displaystyle \ sin ^ {2} \ theta + \ cos ^ {2} \ theta = 1}$	${\ Displaystyle \ cos ^ {2} \ theta}$	${\ Displaystyle {\ Frac {\ sin ^ {2} \ theta} {\ cos ^ {2} \ theta}} + {\ Frac {\ cos ^ {2} \ theta} {\ cos ^ {2} \ theta }} = {\ frac {1} {\ cos ^ {2} \ theta}}}$	${\ Displaystyle \ tan ^ {2} \ theta + 1 = \ sec ^ {2} \ theta}$
${\ Displaystyle \ sin ^ {2} \ theta + \ cos ^ {2} \ theta = 1}$	${\ Displaystyle \ sin ^ {2} \ theta}$	${\ Displaystyle {\ Frac {\ sin ^ {2} \ theta} {\ sin ^ {2} \ theta}} + {\ Frac {\ cos ^ {2} \ theta} {\ sin ^ {2} \ theta }} = {\ frac {1} {\ sin ^ {2} \ theta}}}$	${\ Displaystyle 1+ \ cot ^ {2} \ theta = \ csc ^ {2} \ theta}$

Dowód za pomocą koła jednostkowego

Okrąg jednostkowy wyśrodkowany na początku płaszczyzny euklidesowej jest określony równaniem:

x ^ 2 + y ^ 2 = 1.

Niech $θ$ być kąt , jest unikalny punkt P na okręgu jednostkowym w odniesieniu do osi x, a x i y współrzędnych z P są następujące:

{\ Displaystyle x = \ cos \ theta \ \ mathrm {i} \ y = \ sin \ theta \.}

Dlatego wnioskujemy,

{\ Displaystyle \ cos ^ {2} \ theta + \ sin ^ {2} \ theta = 1 \,}

Tożsamość pitagorejska. Ponieważ osie są prostopadłe, ta tożsamość Pitagorasa jest w rzeczywistości równoważna twierdzeniu Pitagorasa dla trójkątów o długości przeciwprostokątnej równej 1.

Dowód za pomocą serii liczb całkowitych

Funkcje trygonometryczne można również zdefiniować za pomocą całego szeregu , a mianowicie (dla x w radianach):

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ sin x & = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} x ^ {2n + 1}, \\\ cos x & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n)!}} X ^ { 2n}. \ End {aligned}}}

Korzystając z formalnego prawa mnożenia dla serii , otrzymujemy

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ sin ^ {2} x & = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(- - 1) ^ {i}} {(2i + 1)!}} {\ Frac {(-1) ^ {j}} {(2j + 1)!}} X ^ {(2i + 1) + (2j + 1)} \\ & = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n-1} {\ frac {(-1) ^ {n-1 }} {(2i + 1)! (2 (ni-1) +1)!}} \ Right) x ^ {2n} \\ & = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ( \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} {2n \ wybierz 2i + 1} \ right) {\ frac {(-1) ^ {n-1}} {(2n)!}} x ^ { 2n}, \\\ cos ^ {2} x & = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ { i}} {(2i)!}} {\ Frac {(-1) ^ {j}} {(2j)!}} X ^ {(2i) + (2j)} \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2i)! (2 (ni))!}} \ right) x ^ {2n} \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n} {2n \ choose 2i} \ right) { \ frac {(-1) ^ {n}} {(2n)!}} X ^ {2n} = 1 + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (\ sum _ {i = 0 } ^ {n} {2n \ choose 2i} \ right) {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n)!}} x ^ {2n}. \ end {aligned}}}

Ekspresji $sin 2$ , n musi być co najmniej większy niż 1, a w ekspresji $cos 2$ The współczynnik stały jest równy 1. Pozostałe warunki ich sumaryczne

{\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {2n \ wybierz 2i} - \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} {2n \ wybierz 2i + 1} = \ suma _ {j = 0} ^ {2n} (- 1) ^ {j} {2n \ wybierz j} = (1-1) ^ {2n} = 0}

według wzoru dwumianowego . W związku z tym,

{\ Displaystyle \ sin ^ {2} x + \ cos ^ {2} x = 1 \,}

która jest pitagorejską tożsamością trygonometryczną.

Ta definicja rygorystycznie konstruuje funkcje $sin$ i $cos$ oraz dowodzi, że są one różniczkowalne.

Dowód za pomocą badania funkcji

Niech $z będzie$ funkcją, która do $x$ wiąże $sin 2 x + cos 2 x$ . Zauważmy, że dla $x = 0$ funkcja $z$ przyjmuje wartość 1. Aby udowodnić tożsamość, wystarczy udowodnić, że $z$ jest stała, a do tego wystarczy zweryfikować, że jej pochodna wynosi zero. Złoto:

{\ Displaystyle {\ Frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} x}} Z = 2 \ sin x \ \ cos x + 2 \ cos x \ (- \ sin x) = 0 \, }

Więc $z = 1$ dla wszystkich $z$ . W ten sposób zostaje ustalona tożsamość pitagorejska.

Ten dowód tożsamości nie ma bezpośredniego związku z dowodem twierdzenia Pitagorasa Euklidesa.

Uwagi i odniesienia

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu w angielskiej Wikipedii zatytułowanego „ Pitagorejska tożsamość trygonometryczna ” ( zobacz listę autorów ) .

(w) Lawrence S. Leff, Precalculus the Easy Way , Barron's Educational Series,2005( ISBN 0-7641-2892-2 , czytaj online ) , str. 296
Ten wynik można znaleźć za pomocą wzoru na odległość od początku do punktu ( x , y ). Patrz Cynthia Y. Young, Algebra and Trigonometry , Wiley, 2009 ( ISBN 0-470-22273-5 ) , [ czytaj online ] , str. 210 To podejście zakłada twierdzenie Pitagorasa. Alternatywnie można po prostu podstawić wartości i określić, że wykres jest kołem. ${\ displaystyle d = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$
Thomas W. Hungerford , Douglas J. Shaw, Contemporary Precalculus: A Graphing Approach , Cengage Learning,2008, 1088 s. ( ISBN 978-0-495-10833-7 i 0-495-10833-2 , czytaj online ) , „§6.2 Funkcje sinus, cosinus i tangens”, s. 442
James Douglas Hamilton, Analiza szeregów czasowych , Princeton University Press, 1994 ( ISBN 0-691-04289-6 ) , [ czytaj online ] , „Seria potęgowa ”, s. 714
Steven George Krantz Real analysis and foundations , 2 d , 2005, 269-270 s. ( ISBN 1-58488-483-5 ) , [ czytaj online ] , „Definicja 10.3”

Powiązane artykuły