Grupa Klein

Ten artykuł jest zarysem dotyczącym algebry .

Możesz dzielić się swoją wiedzą doskonaląc ją ( jak? ) Zgodnie z zaleceniami odpowiednich projektów .

W matematyce The grupa Klein , najwyżej izomorfizmie jedna z dwóch grup z czterech elementów, z których druga jest cykliczną grupę ; jest to najmniejsza grupa niecykliczna. Nosi imię niemieckiego matematyka Felixa Kleina , który w 1884 roku określił ją jako „Vierergruppe” ( grupa czterech ) w swoim „kursie na dwudziestościan i rozwiązywanie równań piątego stopnia”. $C_ {4}$

Definicja

Grupa Kleina jest całkowicie zdefiniowana przez fakt, że trzy różne elementy neutralnego elementu e mają rząd równy 2 (są inwoltywne ), a iloczyn dwóch różnych z nich jest równy trzeciej. Jej elementy są notowane i jej prawa notowane multiplikatywnie, jej tablica jest napisana: ${\ styl wyświetlania e, a, b, c}$

$\ cdot$	mi	W celu	b	vs
mi	mi	W celu	b	vs
W celu	W celu	mi	vs	b
b	b	vs	mi	W celu
vs	vs	b	W celu	mi

Spotykamy zapisy: ( to inicjał Vierergruppe). ${\ displaystyle \ {e, a, b, c \} = K_ {4}, V, {\ tekst {lub}} V_ {4}}$ $V$

Nieruchomości

Stół jest symetryczny, prawo jest przemienne: jest grupą abelową . $K_ {4}$
Przekątna e pokazuje, że każdy element ma swoją własną symetryczność, co jest równoważne ewolucjonizmowi.
$K_ {4}$ nie jest prostą grupą , posiadającą wyodrębnione podgrupy . ${\ displaystyle \ {e, a \}, \ {e, b \}, \ {e, c \}}$
$K_ {4}$ generowane jest przez dwa z jego elementów o uporządkowaniu 2, na przykład A i B , jest minimalne stosunki . ${\ displaystyle a ^ {2} = e, b ^ {2} = e, ab = ba}$
W konsekwencji każda podgrupa generowana przez dwa elementy rzędu drugiego, które dojeżdżają, jest izomorficzna z grupą Kleina.

Modele grupy Klein

1) Jak każda grupa, izomorficzna z podgrupą grupy symetrycznej z indeksem liczby jej elementów, tutaj . Za trzy elementy porządku drugiego możemy przyjąć trzy iloczyny dwóch rozłącznych transpozycji . Grupa jest następnie wyróżnia się podgrupa o . A te permutacje są równe, jest to wyodrębniona podgrupa grupy naprzemiennej ( to jedyny przypadek, w którym nie jest to proste ). $K_ {4}$ $S_ {4}$ ${\ displaystyle s_ {1} = (1,2) \ circ (3,4), \, s_ {2} = (1,3) \ circ (2,4), \, s_ {3} = (1 , 4) \ ok (2,3)}$ ${\ styl wyświetlania \ {id, s_ {1}, s_ {2}, s_ {3} \}}$ $S_ {4}$ $A_ {4}$ $n = 4$ $Rok}$
2) Możemy również przyjąć jako elementy porządku dwie dwie rozłączne transpozycje i ich iloczyn, na przykład . Grupa nie jest jednak wyróżniona w . Ta grupa to grupa automorfizmów grafu naprzeciwko (na przykład). ${\ displaystyle t_ {1} = (1,2), t_ {2} = (3,4), s = (1,2) \ circ (3,4)}$ ${\ styl wyświetlania \ {id, t_ {1}, t_ {2}, s \}}$ $S_ {4}$
3) jest izomorficzny , bezpośrednim produktem z tej grupy cyklicznej o uporządkowaniu 2 sama. K4{\ styl wyświetlania K_ {4}} $K_ {4}$ VS2×VS2=(VS2)2{\ styl wyświetlania C_ {2} \ razy C_ {2} = (C_ {2}) ^ {2}} ${\ styl wyświetlania C_ {2} \ razy C_ {2} = (C_ {2}) ^ {2}}$
- 3.a) Przyjmując za model grupę dodatków otrzymujemy tablicę dodatków: $C_2$ ${\ displaystyle {\ mathbb {Z}} / {2 {\ mathbb {Z}}} = \ {{\ overline {0}}, {\ overline {1}} \}}$

+	( 0 , 0 )	( 1 , 0 )	( 0 , 1 )	( 1 , 1 )
( 0 , 0 )	( 0 , 0 )	( 1 , 0 )	( 0 , 1 )	( 1 , 1 )
( 1 , 0 )	( 1 , 0 )	( 0 , 0 )	( 1 , 1 )	( 0 , 1 )
( 0 , 1 )	( 0 , 1 )	( 1 , 1 )	( 0 , 0 )	( 1 , 0 )
( 1 , 1 )	( 1 , 1 )	( 0 , 1 )	( 1 , 0 )	( 0 , 0 )

Mnożenie w przekazuje i nadaje mu przemienną strukturę pierścienia elementu jednostkowego . Pozostałe dwa niezerowe elementy są kwadratem jednostkowym i iloczynem zerowym (pierścień nie jest zatem integralny). ${\ displaystyle {\ mathbb {Z}} / {2 {\ mathbb {Z}}}}$ ${\ displaystyle ({\ mathbb {Z}} / {2 {\ mathbb {Z}}}) ^ {2}}$ ${\ styl wyświetlania ({\ overline {1}}, {\ overline {1}})}$

3.b) Stosowanie na przykład multiplikatywna grupa jako model , otrzymujemy tabeli zwielokrotniony grupy: $C_2$ ${\ styl wyświetlania \ {1, -1 \}}$

$\ razy$	(1.1)	(-1,1)	(1, -1)	(-1, -1)
(0.0)	(1.1)	(-1,1)	(1, -1)	(1.1)
(-1,1)	(-1,1)	(1.1)	(-1, -1)	(1, -1)
(1, -1)	(1, -1)	(-1, -1)	(1.1)	(-1,1)
(1.1)	(1.1)	(1, -1)	(-1,1)	(1.1)

3.c) Ta ostatnia jest bezpośrednio izomorficzna z grupą multiplikatywną rzędu dwóch przekątnych macierzy kwadratowych utworzonych z 1 i -1: . ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {pmatrix} 1 i 0 \\ 0 i 1 \ end {pmatrix}}, {\ begin {pmatrix} 1 i 0 \\ 0 i -1 \ end {pmatrix}}, {\ begin {pmatrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}, {\ begin {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}} \ prawy \}}$

4) Ponieważ grupa dwuścienna jest izomorficzna z , grupa Klein jest izomorficzna z . ${\ displaystyle D_ {2}n}}$ ${\ styl wyświetlania C_ {n} \ razy C_ {2}}$ ${\ styl wyświetlania D_ {4}}$

5) Grupa Kleina jest izomorficzna z kilkoma podgrupami grupy ośmioelementowej ; w rzeczywistości wszystkie podgrupy generowane przez dwa odrębne nieneutralne elementy są grupami Kleina. Na przykład biorąc za model : ${\ styl wyświetlania (C_ {2}) ^ {3}}$ ${\ styl wyświetlania (C_ {2}) ^ {3}}$ ${\ displaystyle {\ mathbb {Z}} / {2 {\ mathbb {Z}}}}$ $C_2$
5.a) , którego macierzowy ekwiwalent multiplikatywny to ${\ displaystyle \ {({\ overline {0}}, {\ overline {0}}, {\ overline {0}}), ({\ overline {1}}, {\ overline {1}}, {\ overline {0}}), ({\ overline {1}}, {\ overline {0}}, {\ overline {1}}), ({\ overline {0}}, {\ overline {1}}, {\ overline {1}}) \}}$
5.b) . ${\ displaystyle \ left \ {{\ tekst {diag}} (1,1,1), {\ tekst {diag}} (- 1, -1,1), {\ tekst {diag}} (- 1, 1, -1, {\ tekst {diag}} (1, -1, -1) \ prawo \}}$
5.c) lub jeszcze raz , którego macierzowy ekwiwalent multiplikatywny to ${\ displaystyle \ {({\ overline {0}}, {\ overline {0}}, {\ overline {0}}), ({\ overline {1}}, {\ overline {1}}, {\ overline {1}}), ({\ overline {1}}, {\ overline {1}}, {\ overline {0}}), ({\ overline {0}}, {\ overline {0}}, {\ overline {1}}) \}}$
5.d) ${\ displaystyle \ left \ {{\ tekst {diag}} (1,1,1), {\ tekst {diag}} (- 1, -1, -1), {\ tekst {diag}} (- 1 , -1,1), {\ tekst {diag}} (1,1, -1) \ prawo \}}$
5.e) lub jeszcze raz , którego macierzowy odpowiednik multiplikatywny to ${\ displaystyle \ {({\ overline {0}}, {\ overline {0}}, {\ overline {0}}), ({\ overline {0}}, {\ overline {0}}, {\ overline {1}}), ({\ overline {0}}, {\ overline {1}}, {\ overline {0}}), ({\ overline {0}}, {\ overline {1}}, {\ overline {1}}) \}}$
5.f) ${\ displaystyle \ left \ {{\ text {diag}} (1,1,1), {\ text {diag}} (1,1, -1), {\ text {diag}} (1, -1 , 1), {\ tekst {diag}} (1, -1, -1) \ prawo \}}$
6) Grupa Kleina jest izomorficzna z grupą pierwiastków odwracalnych pierścienia , pierwiastków oraz pierwiastków . W pozostałych dwóch przypadkach ( ), gdzie ma cztery elementy, jest cykliczny.(Z/8Z)*{\ displaystyle ({\ mathbb {Z}} / {8 {\ mathbb {Z}}}) ^ {*}}Z/8Z{\ displaystyle {\ mathbb {Z}} / {8 {\ mathbb {Z}}}} ${\ displaystyle {\ overline {1}}, {\ overline {3}}, {\ overline {5}} = - {\ overline {3}}, {\ overline {7}} = - {\ overline {1 }}}$ (Z/12Z)*{\ displaystyle ({\ mathbb {Z}} / {12 {\ mathbb {Z}}}) ^ {*}} ${\ displaystyle {\ overline {1}}, {\ overline {5}}, {\ overline {7}} = - {\ overline {5}}, {\ overline {11}} = - {\ overline {1 }}}$ ${\ styl wyświetlania n = 5.10}$ (Z/nieZ)*{\ displaystyle ({\ mathbb {Z}} / {n {\ mathbb {Z}}}) ^ {*}}
7) Geometrycznie w drugim wymiarze grupa Kleina jest izomorficzna z grupą izometrii pozostawiając globalnie niezmienny prostokąt lub romb (nie kwadrat), ewentualnie zredukowany do segmentu. Te cztery elementy to id tożsamości , dwa odbicia wzdłuż median i centralna symetria środka wielokąta, stąd tabela: ${\ displaystyle s_ {x}, s_ {y}}$ ${\ displaystyle s_ {O}}$

$\ okr$	ID	$s_ {x}$	${\ displaystyle s_ {y}}$	${\ displaystyle s_ {O}}$
ID	ID	$s_ {x}$	${\ displaystyle s_ {y}}$	${\ displaystyle s_ {O}}$
$s_ {x}$	$s_ {x}$	ID	${\ styl wyświetlania s_ {z}}$	${\ displaystyle s_ {y}}$
${\ displaystyle s_ {y}}$	${\ displaystyle s_ {y}}$	${\ displaystyle s_ {O}}$	ID	$s_ {x}$
${\ displaystyle s_ {O}}$	${\ displaystyle s_ {O}}$	${\ displaystyle s_ {y}}$	${\ displaystyle s_ {O}}$	ID

Jeśli figura jest kwadratem, to dodatkowo występują dwa odbicia zgodnie z przekątnymi i obrotem kątów , to znaczy 8 elementów, które tworzą dwuścienną grupę rzędu 8. ${\ styl wyświetlania \ pm 90 ^ {\ circ}}$ ${\ styl wyświetlania D_ {8}}$

Przechodząc do macierzy poprzednich przekształceń, otrzymujemy reprezentację macierzową multiplikatywną widzianą w 3) c).

9) W trzecim wymiarze grupa Kleina jest izomorficzna z grupą izometrii pozostawiając niesześcienny prostokątny równoległościan globalnie niezmienny . Dlatego czasami nazywany jest zespołem ( obrót ) materaca . Trzy elementy ewolwentowe to zwoje wokół trzech osi symetrii równoległościanu. Zauważając , otrzymujemy tabelę: ${\ displaystyle s_ {x}, s_ {y}, s_ {z}}$

$\ okr$	ID	$s_ {x}$	${\ displaystyle s_ {y}}$	${\ styl wyświetlania s_ {z}}$
ID	ID	$s_ {x}$	${\ displaystyle s_ {y}}$	${\ styl wyświetlania s_ {z}}$
$s_ {x}$	$s_ {x}$	ID	${\ styl wyświetlania s_ {z}}$	${\ displaystyle s_ {y}}$
${\ displaystyle s_ {y}}$	${\ displaystyle s_ {y}}$	${\ styl wyświetlania s_ {z}}$	ID	$s_ {x}$
${\ styl wyświetlania s_ {z}}$	${\ styl wyświetlania s_ {z}}$	${\ displaystyle s_ {y}}$	$s_ {x}$	ID

Na rysunku obok, trzy odwrócenia są nazwane od ich formuły lotniczej: roll , pitch , yaw .

Przechodząc do macierzy poprzednich przekształceń, otrzymujemy reprezentację macierzową multiplikatywną widzianą w 5.b)

10) W wymiarze trzecim grupa generowana przez trzy odbicia względem trzech płaszczyzn ortogonalnych dwa na dwa tworzy grupę z ośmioma elementami, w której znajdują się trzy odwrócenia widoczne powyżej i centralna symetria środka O. Ta grupa jest izomorficzna z tym, że dwa odrębne elementy tożsamości tworzą grupę Klein. Na przykład wygeneruj grupę widzianą w 9), wygeneruj, której ekwiwalent macierzy wynosi 5.f) i wygeneruj, której równoważnik macierzy wynosi 5.d). Istnieje zatem siedem podgrup izomorfów do grupy Kleina. ${\ styl wyświetlania xOy, xOz, yOz}$ ${\ displaystyle \ {id, s_ {xy}, s_ {xz}, s_ {yz}, s_ {x}, s_ {y}, s_ {z}, s_ {O} \}}$ ${\ displaystyle s_ {x}, s_ {y}, s_ {z}}$ ${\ displaystyle s_ {O}}$ ${\ styl wyświetlania (C_ {2}) ^ {3}}$ ${\ displaystyle s_ {x}, s_ {y}}$ ${\ styl wyświetlania s_ {xy}, s_ {xz}}$ ${\ displaystyle \ {id, s_ {xy}, s_ {xz}, s_ {x} \}}$ ${\ displaystyle s_ {O}, s_ {z}}$ ${\ displaystyle \ {id, s_ {O}, s_ {z}, s_ {xy} \}}$ ${\ styl wyświetlania (C_ {2}) ^ {3}}$
11) Bardziej ogólnie, podgrupy Kleina odpowiadają dwuwymiarowym podprzestrzeniom wektorowym - przestrzeni wektorowej ; ich liczba jest zatem dwumianowym współczynnikiem Gaussa . ${\ styl wyświetlania (C_ {2}) ^ {n}}$ (Z/2Z){\ styl wyświetlania ({\ mathbb {Z}} / {2 {\ mathbb {Z}}})}(Z/2Z)nie{\ displaystyle ({\ mathbb {Z}} / {2 {\ mathbb {Z}}}) ^ {n}} ${\ displaystyle {n \ wybierz 2} _ {2} = {\ frac {(2 ^ {n} -1) (2 ^ {n} -2)} {6}}}$
12) Grupa Kleina jest również izomorficzna ze zbiorem części zbioru dwuelementowego , obdarzonego różnicą symetryczną . Co daje tabelę: $\ {a, b \}$

$\Delta$	$\ varnothing$	$\{W celu\}$	$\ {b \}$	$\ {a, b \}$
$\ varnothing$	$\ varnothing$	$\{W celu\}$	$\ {b \}$	$\ {a, b \}$
$\{W celu\}$	$\{W celu\}$	$\ varnothing$	$\ {a, b \}$	$\ {b \}$
$\ {b \}$	$\ {b \}$	$\ {a, b \}$	$\ varnothing$	$\{W celu\}$
$\ {a, b \}$	$\ {a, b \}$	$\ {b \}$	$\{W celu\}$	$\ varnothing$

Prawo „przecięcia” nadaje następnie przemiennej strukturze pierścienia elementu jednostkowego pierścień izomorficzny z pierścieniem widocznym w 3) a). ${\ styl wyświetlania (P (\ {a, b \}), \ Delta, \ czapka)}$ $\ {a, b \}$

13) Wielomian jest nierozkładalny na ciele z dwoma elementami , iloraz jest ciałem, które akurat ma 4 elementy i którego częścią addytywną jest grupa Kleina. Tutaj dwa różne niezerowe elementy elementu jednostkowego są przeciwne do siebie. Posiadamy stoły: ${\ styl wyświetlania P = 1 + X + X ^ {2}}$ $F_2$ ${\ styl wyświetlania F_ {2} (X) / P}$ ${\ displaystyle {\ overline {0}}, {\ overline {1}}, {\ overline {X}} = \ varphi, \ varphi ^ {2} = {\ overline {1}} + \ varphi}$

+	0	1	φ	φ ²
0	0	1	φ	φ²
1	1	0	φ²	φ
φ	φ	φ²	0	1
φ ²	φ²	φ	1	0

$\ razy$	1	φ	φ ²
0	0	0	0
1	1	φ	φ²
φ	φ	φ²	1
φ ²	φ²	1	φ

Zastosowanie w etnologii

W Elementary Structures of Kinship etnolog Claude Lévi-Strauss , wspomagany przez matematyka André Weila , identyfikuje pojęcie elementarnej struktury pokrewieństwa, używając pojęcia grupy Klein. W strukturze mity , Levi Strauss ponowne grupy Klein ustalenie kanonicznej wzór mitu .

Uwagi i referencje

(de) Felix Klein, Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade , Leipzig, Teubner,1884, 12 i 13 pkt. ( przeczytaj online )
Paul Jolissaint, Uwagi do czytania: Grupy i etnologia : wersja HTML lub wersja PDF .