Grupa algebraiczna

W geometrii algebraicznej pojęcie grupy algebraicznej jest odpowiednikiem grup Liego w geometrii różniczkowej lub zespolonej. Grupa algebraiczna jest odmianą algebraiczną wyposażoną w prawo grupowe zgodne z jej strukturą rozmaitości algebraicznej.

Definicja

Grupa algebraiczna nad (przemiennym) ciałem K jest rozmaitością algebraiczną nad mun: $sol$ $K.$

morfizmu k- rozmaitości algebraicznych (zwanych także mnożeniem) . Odmiana źródłem jest wyrób z włókien o siebie; ${\ Displaystyle \ mu: G \ razy _ {K} G \ do G}$ $sol$
o odwrotnym morfizmu ; ${\ displaystyle \ iota: G \ do G}$
od obojętny elementem należącym do (racjonalnego punktu ) $\ epsilon$ ${\ Displaystyle G (K)}$ $sol$

formalna weryfikacja aksjomatów grupy. Jeśli jest zredukowane i jeśli K jest algebraicznie zamknięte, wystarczy, że te morfizmy indukują strukturę grupową na zbiorze racjonalnych punktów . $sol$ ${\ displaystyle G ({K})}$ $sol$

Dla każdego algebraicznej odmiany X na K , zestaw g (x) o K -morphisms od X do G dziedziczy strukturę grupy. Szybkim sposobem zdefiniowania grupy algebraicznej jest więc stwierdzenie, że jest to odmiana algebraiczna, która reprezentuje funktor kategorii rozmaitości algebraicznych nad K w kategorii grup.

Ostrzeżenie: jest dostarczane z topologią Zariski, a nie topologią produktu. ${\ displaystyle G \ times _ {K} G}$

Homomorfizm grup algebraicznych ponad K jest morfizmem algebraicznych rozdzielaczy ponad K , która jest kompatybilna ze strukturą grupy: jeśli to mnożenie przepisy o G i H, odpowiednio, po czym . Pod względem punktów sprowadza się to do stwierdzenia, że dla dowolnej K -algebry typu skończonego A mapa indukowana przez f jest homomorfizmem grupowym. Jeżeli K algebraicznie zamknięte i jeśli G i H są zmniejszone, tak się A = K . ${\ displaystyle f: G \ do H}$ ${\ displaystyle \ mu _ {G}, \ mu _ {H}}$ ${\ displaystyle f \ circ \ mu _ {G} = \ mu _ {H} \ circ (f \ times f)}$ ${\ Displaystyle f (A): G (A) \ do H (A)}$
Izomorfizmem grup algebraicznych jest homomorfizmem grup algebraicznych, które jest izomorfizmem dla bazowych odmian algebraicznych.
Algebraiczna podgrupy C z G jest subvariety z G , tak że zanurzeniowy jest homomorfizmem grup algebraicznych. Wiemy, że F jest wtedy podgrupą zamkniętą. ${\ Displaystyle i: F \ do G}$
Jeśli jest homomorfizmem grup algebraicznych nad K , jądro Ker z f jest zdefiniowane przez . Przestrzeń leżąca u podstaw Ker jest , ale struktura podgrupy niekoniecznie jest zredukowana. Łatwo wykazać, że Ker jest algebraiczna podgrupa G . ${\ displaystyle f: G \ do H}$ $(fa)$ ${\ displaystyle G \ times _ {H} \ epsilon _ {H}}$ $(fa)$ ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (\ epsilon _ {H})}$ $(fa)$

Przykłady

Jeśli jest skończona grupa istnieje unikalna algebraiczne grupa ponad K jak dla każdego rozszerzenia ciał L / K . To jest stała grupa . $\Gamma$ ${\ Displaystyle G (L) = \ Gamma}$ $\Gamma$
Grupy dodatków : podstawowa kolektora jest afiniczne ^ 1 K . Dla K -algebrze skończenie A grupa jest określona grupa kanonicznej (addytywne) A . ${\ displaystyle G_ {a}}$ ${\ Displaystyle G_ {a} (A)}$
Grupa multiplikatywna : podstawową rozmaitością jest linia afiniczna A ^ 1 nad K pozbawiona początku. Dla każdego K -algebrze skończonej typu A , grupa jest kanonicznej oznaczone multiplikatywna grupa odwracalnych składników A . ${\ displaystyle G_ {m.}}$ ${\ displaystyle G_ {m.} (A)}$ $A ^ {*}$
${\ displaystyle GL_ {n, K}}$ , grupa odwracalnych macierzy , jest grupą algebraiczną. Dla dowolnej K -algebry typu skończonego A , grupę identyfikuje się z multiplikatywną grupą macierzy kwadratowych rzędu n , ze współczynnikami w A i odwracalnymi. Gdy n = 1 , znajdujemy grupę multiplikatywną . ${\ Displaystyle GL_ {n, K} (A)}$ ${\ displaystyle G_ {m.}}$
W eliptyczne krzywe są grupy algebraiczne.
Niech n będzie liczbą naturalną. Mnożenie przez n wywołuje homomorfizm grup algebraicznych . Jeśli n jest pierwszą cechą pola K , to jądro tego homomorfizmu zostaje zredukowane do elementu neutralnego. ${\ displaystyle G_ {a} \ do G_ {a}}$
Jeśli K ma dodatnią charakterystykę p , podniesienie do potęgi p (zwane Frobenius ) w jest homomorfizmem grup algebraicznych. Zauważono, że jego jądro jest typowym przykładem nie-gładkiej grupy algebraicznej. Podstawową odmianą algebraiczną jest Spec (ma tylko jeden punkt i nie jest zredukowana). ${\ displaystyle G_ {a}}$ $\ alpha _ {p}$ ${\ Displaystyle K [T] / (T ^ {p} K [T])}$
Niech n będzie liczbą naturalną. W grupie multiplikatywnej podniesienie do potęgi n wywołuje homomorfizm grup algebraicznych, których jądrem jest skończona grupa algebraiczna, stała, jeśli pole bazowe K zawiera wszystkie n- te pierwiastki jedności. Jest rozłożone K , wtedy i tylko wtedy, gdy N jest liczbą pierwszą z charakterystyką K . ${\ displaystyle G_ {m.}}$ $\ mu _ {n}$
W geometrii algebraicznej, A torusa T o K jest grupą algebraiczna izomorficzne z produktem algebraicznej zamknięcia K . Mówimy, że T jest stosowane wtedy, gdy jest ustawiony na izomorfizm K . ${\ displaystyle G_ {m.}}$

Szczególnie ważne są dwie klasy grup algebraicznych. Przede wszystkim rozmaitości abelowe to grupy algebraiczne, dla których podstawowa rozmaitość jest właściwa , połączona i gładka. Krzywe eliptyczne są przykładami odmian abelowych.

Następnie pojawiają się liniowe grupy algebraiczne (en) : odpowiadają one przypadkowi, w którym grupa jest odmianą algebraiczną afiniczną , innymi słowy, gdzie jest miejscem zer w rodzinie wielomianów w . Większość zwykłych podgrup odpowiada liniowym grupom algebraicznym. Na przykład jest zbiorem zer w wielomianu . Można wykazać, że liniowe grupy algebraiczne mogą być wiernie reprezentowane . Dlatego nadal można je postrzegać jako podgrupy , co wyjaśnia ich nazwę. ${\ displaystyle K [X_ {1}, \ kropki, X_ {n}]}$ $GL_n (K)$ ${\ Displaystyle SL_ {n} (K)}$ ${\ displaystyle \ det -1}$ ${\ displaystyle GL_ {n, K}}$

Struktura

Struktura różnorodności

Geometrycznie zredukowana grupa algebraiczna jest automatycznie wygładzana. Na polu o charakterystyce 0 każda grupa algebraiczna jest gładka (twierdzenie Cartiera). Z drugiej strony, jeśli K ma pozytywną charakterystykę p , istnieją nie-gładkie grupy algebraiczne (patrz przykład powyżej). $\ alpha _ {p}$

Rozkład

Jeśli G jest grupą algebraiczną nad ciałem K , możemy rozłożyć G w następujący sposób.

Istnieje otwarty podgrupę o , zwany neutralny składnik z i skończonych algebraiczną grupy Etale o K , tak że zarówno rozszerzenie przez , to mamy dokładną kolejność $G ^ {0}$ $sol$ $sol$ $\ pi _ {0} (G)$ $sol$ $\ pi _ {0} (G)$ $G ^ {0}$

${\ Displaystyle 1 \ do G ^ {0} \ do G \ do \ pi _ {0} (G) \ do 1.}$

Jeśli K jest algebraicznie zamknięte, jest stałą grupą skończoną. ${\ Displaystyle \ pi _ {0} (G)}$

Załóżmy teraz, że G gładkie i K idealne (na przykład charakterystyka 0). Następnie następuje rozszerzenie rozmaitości abelowej o gładką liniową grupę L (twierdzenie Chevalleya). $G ^ {0}$
Załóżmy dalej, że G jest przemienna. Liniowa grupa L jest tworzona z torusa przez jednopotentną grupę ( tj. Grupę algebraiczną będącą kolejnymi rozszerzeniami ). W charakterystyce 0, jednosilne grupy są izomorficzne z iloczynem . ${\ displaystyle G_ {a}}$ ${\ displaystyle G_ {a}}$

Formy różniczkowe

Jeśli G jest gładką grupą algebraiczną, to jej wiązka styczna jest stała, generowana przez styczną przestrzeń G na początku . Z punktu widzenia dwoistości snop form różniczkowych na G jest wolny (pamiętaj, że na gładkiej rozmaitości algebraicznej snop form różniczkowych jest ogólnie tylko lokalnie wolny). ${\ displaystyle \ epsilon _ {G}}$

Uogólnienie

Rozważ diagram. Grupa schemat na to -schema co oznacza funktor z kategorii -schemas w kategorii grup . $S$ $S$ $S$ ${\ displaystyle G \ do S}$ $S$

Mówiąc konkretniej, prosimy, aby dla dowolnego schematu zbiór był grupą, a dla wszystkiego mapa kanoniczna była morfizmem grup. $S$ $T$ ${\ Displaystyle G (T) = {\ rm {Mor}} _ {S} (T, G)}$ ${\ displaystyle T '\ do T}$ ${\ Displaystyle G (T) \ do G (T ')}$
Innym sposobem zdefiniowania schematów grupowych jest stwierdzenie, że istnieje morfizm (mnożenie), automorfizm (odwrotność) i sekcja morfizmu strukturalnego (sekcja neutralna), które spełniają zwykłe aksjomaty grupy. ${\ Displaystyle G \ razy _ {S} G \ do G}$ ${\ displaystyle G \ do G}$ ${\ Displaystyle S \ do G}$ ${\ displaystyle G \ do S}$

Jeśli jest więcej skończonego typu , a następnie za wszystko , włókno jest algebraiczne grupa nad polem resztkowego . Zatem można ją postrzegać jako rodzinę grup algebraicznych sparametryzowanych przez punkty . ${\ displaystyle G \ do S}$ $s \ w S.$ ${\ displaystyle G_ {s}}$ ${\ Displaystyle k (s)}$ ${\ displaystyle G \ do S}$ $S$

Standardowe przykłady grup algebraicznych , krzywych eliptycznych itp. Można łatwo uogólnić na schematy grupowe na dowolnej podstawie . ${\ displaystyle G_ {a}, G_ {m.}}$ $S$

Schemat grupa jest oddzielona od wtedy i tylko wtedy, gdy punkt neutralny jest zamknięty . ${\ displaystyle G \ do S}$ $S$ $sol$

Powiązane artykuły

Aproksymacja w grupach algebraicznych (w)
Radykał grupy algebraicznej (en)
Półprosta grupa algebraiczna (en)