Metryka Friedmanna-Lemaître-Robertsona-Walkera

Metryczny Friedmann-Lemaitre-Robertsona-Walkera (zwana FLRW) do opisania geometrii czasoprzestrzeni jednorodna i izotropowa . W kosmologii ta metryka jest używana do opisu ewolucji wszechświata w dużej skali. Stanowi główne narzędzie prowadzące do budowy standardowego modelu kosmologicznego: teorii Wielkiego Wybuchu .

W zależności od preferencji geograficznych lub historycznych, metrykę FLRW i wynikający z niej model kosmologiczny można nazwać imionami niektórych z czterech naukowców: Alexandra Friedmanna , Georgesa Lemaître'a , Howarda Percy'ego Robertsona i Arthura Geoffreya Walkera . Znajdziemy na przykład: Friedmann-Robertson-Walker (FRW), Robertson-Walker (RW), Friedmann-Lemaître (FL) ...

Ewolucja wszechświata według miernika FLRW

Metryka FLRW opisuje średnią geometrię Wszechświata w dużych skalach. Daje nam jego dynamikę i pozwala poznać ewolucję jego rozmiarów (kurczenie się lub rozszerzanie wszechświata).

Jednorodny i izotropowy wszechświat pozostaje podczas swojej homogenicznej i izotropowej ewolucji. Nie może wyjaśnić powstawania struktur składowych o niejednorodnej gęstości z definicji. Tworzenie jego struktur, takich jak włókna lub gromady galaktyk , jest możliwe dzięki wprowadzeniu zakłóceń wokół tej miary FLRW. Zakłócenia te narastają w czasie, w wyniku przyciągania grawitacyjnego, i prowadzą do powstania obserwowanych dużych struktur. Mają być pochodzenia kwantowego, a ich istnienie daje nam obserwacja kosmicznego rozproszonego tła , prowadzona dzięki satelitom COBE , WMAP , a ostatnio Planck .

Sformułowanie matematyczne

W współrzędnych sferycznych The czasoprzestrzeni elementem długość , dla metryki FLRW, należy zauważyć: ${\ displaystyle (r, \ theta, \ phi)}$ ${\ displaystyle ds}$

{\ Displaystyle {\ rm {d}} s ^ {2} = c ^ {2} {\ rm {d}} t ^ {2} -a (t) ^ {2} \ lewo ({\ Frac {{ \ rm {d}} r ^ {2}} {1-kr ^ {2}}} + r ^ {2} {\ rm {d}} \ Omega ^ {2} \ right)}

wybierając podpis metryki (in), gdzie: ${\ Displaystyle (+ ---)}$

${\ Displaystyle a (t) \;}$ współczynnik skali . Znak dostarcza informacji o ewolucji wszechświata: dla rozszerzającego się wszechświata, dla wszechświata kurczącego się i dla wszechświata statycznego, wszystkie rozważane w czasie . W takim czasie wszechświat jest razy większy niż teraz . Przez taki czas, jak wszechświat jest razy mniejszy niż teraz ; ${\ displaystyle {\ kropka {a}} (t)}$ ${\ displaystyle {\ kropka {a}} (t)> 0}$ ${\ displaystyle {\ kropka {a}} (t) <0}$ ${\ Displaystyle {\ kropka {a}} (t) = 0}$ $t$ ${\ displaystyle t_ {a}}$ ${\ Displaystyle a (t_ {a}) = N> 1}$ $NIE$ ${\ displaystyle t_ {b}}$ ${\ Displaystyle a (t_ {b}) = 1 / N <1}$ $NIE$
${\ Displaystyle k \;}$ jest współczynnikiem krzywizny. dla przestrzeni odpowiednio z otwartą krzywizną (odpowiadającą geometrii hiperbolicznej), z zerową krzywizną (odpowiadającą przestrzeni euklidesowej szczególnej teorii względności ) i z zamkniętą krzywizną (odpowiadającą geometrii sferycznej); ${\ displaystyle k = \ {- 1,0,1 \}}$
${\ Displaystyle \ textstyle {\ rm {d}} \ Omega ^ {2} = {\ rm {d}} \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \; {\ rm {d}} \ phi ^ {2}}$ jest metryką kuli ;
$t$ to czas kosmiczny .

Wprowadzając zmianę współrzędnych: gdzie pozwala określić odległość komobila , przeformułowuje się element długości : ${\ displaystyle {\ begin {przypadków} r = \ sin (\ chi / R_ {0}) i {\ textrm {si}} \ k = 1 \\ r = \ chi / R_ {0} & {\ textrm { si}} \ k = 0 \\ r = \ sinh (\ chi / R_ {0}) & {\ textrm {si}} \ k = -1 \\\ end {przypadki}}}$ ${\ displaystyle \ chi \;}$ ${\ displaystyle ds}$

{\ Displaystyle {\ rm {d}} s ^ {2} = c ^ {2} {\ rm {d}} t ^ {2} -a (t) ^ {2} \ lewo ({\ rm {d }} \ chi ^ {2} + S_ {k} ^ {2} (\ chi) {\ rm {d}} \ Omega ^ {2} \ right)}

${\ Displaystyle S_ {k} (\ chi) = R (t_ {0}) {\ rozpocząć {przypadków} \ sin (\ chi / R (t_ {0})) & {\ textrm {si}} \ k = 1 \\\ chi / R (t_ {0}) & {\ textrm {si}} \ k = 0 \\\ sinh (\ chi / R (t_ {0})) & {\ textrm {si}} \ k = -1 \\\ end {przypadki}} \;}$ .

Metryka FLRW jako funkcja krzywizny przestrzennej

W płaskiej przestrzeni

Dla metryki FLRW napisano: ${\ Displaystyle k = 0 \;}$

${\ Displaystyle {\ rm {d}} s ^ {2} = c ^ {2} {\ rm {d}} t ^ {2} -R (t) ^ {2} \ lewo ({\ rm {d }} r ^ {2} + r ^ {2} {\ rm {d}} \ Omega ^ {2} \ right) \;}$

Przestrzeń jest płaska, ale czasoprzestrzeń nie. Metryka różni się od metryki Minkowskiego charakteryzującej szczególną teorię względności.

W przestrzeni o dodatniej krzywiźnie

Dla metryki FLRW napisano: ${\ Displaystyle k = + 1 \; \;}$

${\ Displaystyle {\ rm {d}} s ^ {2} = c ^ {2} {\ rm {d}} t ^ {2} -R (t) ^ {2} \ lewo ({\ Frac {{ \ rm {d}} r ^ {2}} {1-r ^ {2}}} + r ^ {2} {\ rm {d}} \ Omega ^ {2} \ right)}$

Elementem długości ma osobliwość w wolimy wykorzystać swój wyraz według : $r = 1$ $\ chi$

${\ Displaystyle {\ rm {d}} s ^ {2} = c ^ {2} {\ rm {d}} t ^ {2} -a (t) ^ {2} \ lewo ({\ rm {d }} \ chi ^ {2} + R (t_ {0}) ^ {2} \ sin ^ {2} \ left (\ chi / R (t_ {0}) \ right) \; {\ rm {d} } \ Omega ^ {2} \ right) \;}$

W przestrzeni o ujemnej krzywizny

W końcu to nadchodzi: ${\ Displaystyle k = -1 \;}$

{\ Displaystyle {\ rm {d}} s ^ {2} = c ^ {2} {\ rm {d}} t ^ {2} -R (t) ^ {2} \ lewo ({\ Frac {{ \ rm {d}} r ^ {2}} {1 + r ^ {2}}} + r ^ {2} {\ rm {d}} \ Omega ^ {2} \ right) = c ^ {2} {\ rm {d}} t ^ {2} -a (t) ^ {2} \ left ({\ rm {d}} \ chi ^ {2} + R (t_ {0}) ^ {2} \ sinh ^ {2} \ left (\ chi / R (t_ {0}) \ right) \; {\ rm {d}} \ Omega ^ {2} \ right) \;}

Uwagi i odniesienia

Barrau et Grain 2016 , § 7.1.2 („Kształt miernika”), s. 131.
Taillet, Villain i Febvre 2013 , sv Robertson-Walker (metryka), str. 609, kol. 1 .
L. Bergstrom, A. Goobar, kosmologii cząstek Astrofizyka, strona 61 , 2 o Edition (2006) ( ISBN 3-540-32924-2 )
Pérez 2016 , s. 269.
Pérez 2016 , s. 270.

Zobacz też

Bibliografia

[Friedmann 1922] (de) A. Friedmann , „ Über die Krümmung des Raumes ” [„O krzywizny przestrzeni”], Z. Phys. , vol. 10, n o 1,Grudzień 1922, s. 377-386 ( DOI 10.1007 / BF01332580 , Bibcode 1922ZPhy ... 10..377F ).
[Friedmann 1924] (de) A. Friedmann , „ Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes ” [„O możliwości istnienia wszechświata ze stałą ujemną krzywizną”], Z. Phys. , vol. 21, n o 1,Grudzień 1924, s. 326-332 ( DOI 10.1007 / BF01328280 , Bibcode 1924ZPhy ... 21..326F ).
[Lemaître 1927] G. Lemaître , „ Jednorodny wszechświat o stałej masie i rosnącym promieniu, uwzględniający prędkość radialną mgławic pozagalaktycznych ”, Annales de la Société scientifique de Bruxelles ,1927, A47, s. 49-56 ( Bibcode 1927ASSB ... 47 ... 49L , czytaj online ).
[Robertson 1935] (en) HP Robertson , „ Kinematyka i struktura świata ” , Astrophys. J. , tom. 82, n o 4,Listopad 1935, s. 284-301 ( DOI 10.1086 / 143681 , Bibcode 1935ApJ .... 82..284R , czytaj online ).
[Robertson 1936a] (en) HP Robertson , „ Kinematyka i struktura świata . II ” , Astrophys. J. , tom. 83, n o 3,Kwiecień 1936, s. 187-201 ( DOI 10.1086 / 143716 , Bibcode 1936ApJ .... 83..187R , czytaj online ).
[Robertson 1936b] (en) HP Robertson , „ Kinematyka i struktura świata . III ” , Astrophys. J. , tom. 83, n o 4,Maj 1936, s. 257-271 ( DOI 10.1086 / 143726 , Bibcode 1936ApJ .... 83..257R , czytaj online ).
[Walker 1937] (i) AG Walker , „ ON Milne teoria światowej struktury ” , Proceedings of London Mathematical Society , 2 nd Series, vol. XLII , N O 1,1937, s. 90-127 ( DOI 10.1112 / plms / s2-42.1.90 , Bibcode 1937PLMS ... 42 ... 90W ).
[Barrau i Grain 2016] A. Barrau i J. Grain , Ogólna teoria względności: kursy i ćwiczenia poprawione , Malakoff, Dunod , pot. „Sciences Sup. / Fizyka ",sierpień 2016, 2 II wyd. ( 1 st ed. sierpień 2011), 1 obj. , VIII -231 s. , 24 cm ( ISBN 978-2-10-074737-5 , EAN 9782100747375 , OCLC 958388884 , uwaga BnF n o FRBNF45101424 , SUDOC 195038134 , prezentacja online , czytaj online ) , rozdz. 7 („Kosmologia”), rozdz. 7.1 („Metryka FLRW”), s. 127-133.
[Pérez 2016] J.-Ph. Pérez (przy współpracy z e. Anterrieu ) Względności: fundacje i aplikacje , Malakoff, Dunod , hors Coll. ,Maj 2016( Rozrod. 2017), 3 p , wyd. ( 1 st ed. Wrzesień 1999), 1 obj. , XXIII -439 s. , Chory. i rys. , 24 cm ( ISBN 978-2-10-077295-7 , EAN 9782100772957 , OCLC 1031317463 , uwaga BnF n o FRBNF45033071 , SUDOC 193153297 , prezentacja online , czytaj online ) , rozdz. 10 („Ogólna teoria względności”), V („Kosmologia”), V .1, d) („FLRW Metric”), str. 269-271.
[Taillet, Villain i Febvre 2013] R. Taillet , L. Villain i P. Febvre , Słownik fizyki , Bruksela, De Boeck Sup. , z wyjątkiem coll. ,Lut. 2013, 3 e ed. ( 1 st ed. Maj 2008), 1 obj. , X -899 str. , Chory. i rys. , 24 cm ( ISBN 978-2-8041-7554-2 , EAN 9782804175542 , OCLC 842156166 , notatka BnF n o FRBNF43541671 , SUDOC 167932349 , prezentacja online , czytaj online ) , sv Robertson-Walker (dane z), str. 609, kol. 1.