Przepływ Anosowa

W systemach dynamicznych i geometrii różniczkowej An przepływu Anosov jest różniczkowalną przepływu analogicznie ciągłymi dynamice hiperbolicznych Dyfeomorfizm i które, jak ten ostatni, przedstawia znakomite wyniki stabilności strukturalnej i regularnością. Ta klasa przepływu otrzymała imię Dmitrija Anosowa , który jako pierwszy badał je systematycznie, nadając im nazwę U-systemów .

Na zwartej różnicy Manifold N , grupa jeden parametr Dyfeomorfizm jest uzyskiwana przez całkowanie w polu wektorowym : ${\ displaystyle \ Phi _ {t}}$ $R$

{\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} \ Phi _ {t} (x) = R \ lewo [\ Phi _ {t} (x) \ prawo].}

Mówimy, że pole wektorowe lub, w równoważny sposób, przepływ, z którym jest powiązany , to Anosov, jeśli mamy rozkład wiązki stycznej N na sumę Whitneya $R$ $R$

{\ Displaystyle TN = E ^ {s} \ oplus R \ mathbb {R} \ oplus E ^ {u}}

a jeśli ponadto istnieją stałe globalne (ważne jest to, że nie zależą one od punktu) na rozmaitości takie, że dla wszystkich w N : ${\ Displaystyle C> 0,0 <\ lambda <1}$ $x$

${\ displaystyle \ forall v_ {s} \ in E_ {x} ^ {s}, \ | d \ Phi _ {t} (v_ {s}) \ | \ równoważnik C. \ lambda ^ {t} \ | v_ {s} \ |}$

${\ displaystyle \ forall v_ {u} \ in E_ {x} ^ {u}, \ | d \ Phi _ {- t} (v_ {u}) \ | \ równoważnik C. \ lambda ^ {t} \ | v_ {u} \ |}$

A priori nie wymagamy w definicji, aby suma miała najmniejszą regularność. To powiedziawszy, wyniki fundamentalnej hiperboliczności pokazują, że te rozkłady są ciągłe, patrz hiperboliczność

Przykłady

Nie będziemy tu cytować całego bestiariusza z tych dość szeroko zbadanych fal. Pamiętaj jednak, że istnieją dwa klasyczne typy .

Geodezyjnej przepływu w zwartej kolektora z ściśle ujemnej przekroju krzywizny jest przepływem Anosov. Co więcej, podczas pracy nad tymi falami Anosov zaproponował tę abstrakcyjną definicję. Jest to szeroko badana kwestia, aby dowiedzieć się, jakie są przepływy geodezyjne typu Anosov. Zobacz na przykład prace Eberleina… na temat odmian rangi 1 .

Fale, które są, w pewnym sensie, najdalej to możliwe od geodezyjnych przepływów w kategorii Anosov płynie, są zawiesiny z Dyfeomorfizm Anosov . Kanonicznym przykładem w tej materii jest rozważenie liniowego automorfizmu torusa mającego dwie niezerowe rzeczywiste wartości własne różne od 1, a następnie zawieszenie jego działania, które daje przepływ na torusie . Na ten temat można zapoznać się z artykułami Plante, w szczególności po to, aby wiedzieć, kiedy przepływ anosowa jest zawieszeniem. ${\ displaystyle \ mathbb {T} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {T} ^ {3}}$

Ponadto warto zauważyć, że istnieje pewna liczba „patologicznych” przykładów, które pokazują, że intuicja, którą można wyciągnąć z dwóch powyższych klas przykładów, która ukrywa pewne symetrie, może okazać się myląca. Zobacz na przykład artykuł Franksa-Williamsa Anomalous Anosov Flow .

Hiperboliczność

Strumienie Anosov są szczególnym przypadkiem działania grupy Lie Anosov, patrz System Anosov , gdzie działającą grupą jest ℝ.

Możemy je również traktować jako szczególny przypadek dynamiki hiperbolicznej, w którym cała otaczająca rozmaitość jest zbiorem hiperbolicznym. W tym kontekście, przez analogię z bardziej ogólnymi systemami dynamicznymi, wiązkę po prawej stronie możemy nazwać kierunkiem centralnym i oznaczyć ją jako lub . Ponadto są to ogólne wyniki dynamiki hiperbolicznej, które pozwalają stwierdzić, że wprowadzone wiązki wektorów są ciągłe. Wiemy również, że są one integrowalne i dlatego mamy stabilne, niestabilne i silne, niestabilne silne odmiany. ${\ displaystyle R \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle E ^ {c}}$ ${\ displaystyle E ^ {0}}$

Prawidłowość

Stabilność strukturalna

Fale Anosov są strukturalnie stabilne (w) .

Uwagi i odniesienia

(ru) Dmitri Anosov , „ Geodezyjne przepływy na zwartych riemannowskich rozmaitościach ujemnej krzywizny ” , Proceedings of the Steklov Mathematical Institute , vol. 90, n o 1,1967, s. 235
(w) Patrick Eberlein , „ When is a geodesic flow of anosov guy? » , J. Diff. Geom. ,1973
(w) Joseph F. Plante , „ Przepływ Anosowa ” , Amer. J. Math. ,1972
(w) Joseph F. Plante, „ Anosov flow, Transversely affine foliation, and a conjecture of Verjovsky ” , J. London Math. Soc. ,Dziewiętnaście osiemdziesiąt jeden
(w :) John Franks i Bob Williams , „Anomalous Anosov Flows” , w: Globalna teoria systemów dynamicznych (Proceedings. Internat. Conf., Northwestern Univ., Evanston, Ill., 1979) , Springer al. „Notatki do wykładów z matematyki. „( N O 819)1979
(w) M. Hirsch , CC Pugh i Mr. Shub , niezmiennicze rozmaitości , Springer al. „Notatki do wykładów z matematyki. „( N O 583)1977Informator na ten temat