Układ Anosowa

W teorii systemów dynamicznych układ Anosowa jest układem hiperbolicznym , który wykazuje niezwykle chaotyczną dynamikę .

Definicja

Pojęcie różnicowego układu dynamicznego

Różnica dynamiczny system jest zdefiniowany przez jeden do jednego odwzorowania na powierzchni fazowej systemu do siebie, tak że początkowy stan jest związany z jedną i tylko jedną stan przyszłości w czasie t ( determinizm stan ) $\ phi _ {t}: \ Gamma \ to \ Gamma$ $x_ {0}$

x (t) \ = \ \ phi _ {t} (x_ {0})

Gdy czas t się zmienia, to bijekcja generuje przepływ dalej , to znaczy ciągłą grupę z jednym parametrem, takim jak: $\Gamma$ $\ phi _ {t}$

\ phi_0 \ = \ \ mathrm {Id}

\ forall \ (t, s) \, \ in \, \ mathbb {R} ^ 2 \, \ quad \ phi_t \ \ circ \ phi_s \ = \ \ phi_ {t + s}

Matematyczne modelowanie ten odpowiada na przykład do Hamiltona przepływu w mechanice , a także do geodezyjnej przepływu na Riemanna kolektora .

Własność hiperboliczności

Hyperbolicity przestrzeni fazy wykazano Dmitri Anosov analogicznie do geodezyjnej przepływu powierzchni o krzywiźnie ujemnej geometrii hiperbolicznej .

Typowo dla przepływu hamiltonowskiego hiperpowierzchnia o stałej energii przestrzeni fazowej dopuszcza prawie wszędzie rozkład typu: $S_E$

S_E \ = \ E_0 \ \ oplus \ E_S \ \ oplus \ E_I

lub:

$E_0$ jest jednowymiarowym kolektorem w kierunku przepływu.
$E_S$ jest podprzestrzenią stabilnych kierunków, kierunków prostopadłych do przepływu. W przypadku perturbacji skierowanych w tych kierunkach istnieje wykładnicze skrócenie w kierunku przyszłości, co odpowiada ujemnym wykładnikom Lapunowa (odmiana ta jest zatem niestabilna w stosunku do przeszłości).
$E_I$ jest podprzestrzenią niestabilnych kierunków, kierunków również prostopadłych do przepływu. W przypadku perturbacji skierowanych w tych kierunkach następuje wykładnicza dylatacja w kierunku przyszłości, która odpowiada dodatnim wykładnikom Lapunowa (rozmaitość ta jest zatem stabilna względem przeszłości).

Fakt, że koniecznie istnieją pewne kierunki kurczenia, komplementarne do kierunków dylatacji, można postrzegać jako konsekwencję twierdzenia Liouville'a , które mówi, że przepływ hamiltonianu zachowuje objętość w przestrzeni fazowej.

W przypadku rozpraszającego układu chaotycznego niekoniecznie występują kierunki kurczące się wszędzie w przestrzeni fazowej, ale generalnie istnieje co najmniej jeden podzbiór „ przyciągający ” w tej przestrzeni fazowej, w której dynamika jest prawie hiperboliczna.

Powiązane artykuły

Bibliografia

(en) D. Anosov, „Geodezyjne przepływy na zwartych riemannowskich rozmaitościach ujemnej krzywizny”, Proceedings of the Steklov Mathematical Institute , vol. 90, n o 1, 1967, str. 1-235

Książki inicjacyjne

John H. Hubbard i Beverly H. West, Równania różniczkowe i układy dynamiczne , Cassini, 1999 ( ISBN 978-2-84225015-7 )
Grégoire Nicolis and Ilya Prigogine , Meeting the Complex , wyd. „Dzisiejsza filozofia”, PUF , 1992 ( ISBN 978-2-13043606-5 )
(en) Boris Hasselblatt (de) et Anatole Katok (de) , A First Course in Dynamics with a Panorama of Recent Developments , Cambridge University Press , 2003 ( ISBN 0-521-58750-6 ) [ czytaj online ]
(en) Anatole Katok i Boris Hasselblatt, Wprowadzenie do nowoczesnej teorii układów dynamicznych , wyd. "Encyklopedia matematyki i jej zastosowań" ( n o 54), Cambridge University Press, 1997 ( ISBN 978-0-52157557-7 ) [ czytać online ]

Więcej prac technicznych

(en) Stephen Smale , The mathematics of time - Essays on Dynamical Systems, Economic Processes & Related Topics , Springer-Verlag, 1980 ( ISBN 978-0-387-90519-8 )
(en) Boris Hasselblatt i Anatole Katok (red.), Handbook of Dynamical Systems , Elsevier. Lot. 1A , 2002 ( ISBN 978-0-444-82669-5 ) ; Lot. 1B , 2005 ( ISBN 978-0-444-52055-5 )
(en) Bernold Fiedler (de) (red.), Handbook of Dynamical Systems . Lot. 2: Aplikacje , Elsevier, 2002 ( ISBN 978-0-444-50168-4 ) ; Lot. 3: Geometryczne metody różniczkowej dynamiki , Elsevier, 2010 ( ISBN 978-0-444-53141-4 )
(en) Leonid Bunimovich , Roland Lwowitsch Dobruschin (de) , Iakov Sinai , Anatoly Vershik et al. , Dynamiczne Systems ergodycznych Theory and Applications , Seria: Encyklopedii Nauk matematyczne 100 , pakiet Ilość: Physics matematyczne, Springer-Verlag, 2 nd Edition 2000 ( ISBN 978-3-540-66316-4 )

Wirtualna biblioteka

Paul Manneville, Dynamical Systems and Chaos , 1998, 233 strony [ czytaj online ]Kurs prowadzony przez autora (LadHyX, École Polytechnique) dla DEA w dziedzinie płynnej fizyki i mechaniki.
(en) David Ruelle , „Ergodyczna teoria różniczkowych układów dynamicznych”, wyd. Matematyka. IHES , tom. 50, 1979, s. 27-58 [ czytaj online ]