Gąbka Mengera

Menger gąbki , czasami określane jako gąbka Mengera-Sierpińskiego , jest stały wstęga . Chodzi o przedłużenie w trzecim wymiarze zespołu Cantora i dywanu Sierpińskiego . Po raz pierwszy został opisany przez austriackiego matematyka Karla Mengera ( Menger 1926 ).

• Gąbka Mengera po czterech iteracjach .

• Twarz gąbki Mengera, czyli dywan Sierpińskiego .

• Gąbka Mengera przecięta poprzeczną płaszczyzną.

• Gąbka Mengera ze śledzeniem promieni .

Definicja formalna

Formalnie gąbka Menger to zestaw: M{\ displaystyle M}

⋂nie∈NIEMnie{\ displaystyle \ bigcap _ {n \ in \ mathbb {N}} M_ {n}}

gdzie jest kostka jednostkowa i M0{\ displaystyle M_ {0}}

Mnie+1={(x,y,z)∈R3|∃ja,jot,k∈{0,1,2},(3x-ja,3y-jot,3z-k)∈Mniei co najwyżej jeden z ja,jot,k jest wart 1}.{\ Displaystyle M_ {n + 1} = \ lewo \ {(x, y, z) \ w \ mathbb {R} ^ {3} \ lewo | {\ zaczynać {macierz} \ istnieje i, j, k \ w \ {0,1,2 \}, (3x-i, 3y-j, 3z-k) \ in M_ {n} \\ {\ mbox {i co najwyżej jeden z}} i, j, k {\ mbox {jest 1}} \ end {matrix}} \ right. \ right \}.}

Budowa

Konstrukcję gąbki Mengera można opisać następująco:

1. zacznij od sześcianu;
2. zmniejsz kostkę do jednej trzeciej i zrób 20 kopii;
3. ułożyć te kopie w taki sposób, aby tworzyły nowy sześcian o tej samej wielkości co oryginał, bez części centralnych;
4. powtórz proces od kroku 2 dla każdej z 20 utworzonych w ten sposób kostek.

Ciało stałe uzyskane na granicy, po nieskończonej liczbie iteracji, to gąbka Mengera.

W każdej iteracji mnożymy liczbę kostek przez 20, tak aby bryła utworzona w iteracji n zawierała 20 n kostek.

Nieruchomości

Gąbka Mengera to fraktal, którego wymiar Hausdorffa wynosi około 2,726 833. log⁡20log⁡3{\ displaystyle {\ frac {\ log 20} {\ log 3}}}

Każda strona gąbki Mengera to dywan Sierpińskiego . Każde przecięcie gąbki Mengera z przekątną lub środkową początkowej kostki jest zbiorem Cantora . Gąbka Mengera to zamknięta przestrzeń  ; ponieważ jest również ograniczone, twierdzenie Heinego-Borela stwierdza, że ​​jest również zwarte . Gąbka Mengera jest zestaw niezliczona od miary  Lebesgue'a zero.

Topologiczna wymiar gąbki Menger jest równa 1; został również pierwotnie skonstruowany przez Mengera w celu zbadania koncepcji wymiaru topologicznego. Menger wykazał, że gąbka jest krzywą uniwersalną, to znaczy każda krzywa jednowymiarowa (w tym sensie, że jej wymiar topologiczny jest równy 1) jest homeomorficzna dla podzbioru gąbki.

Podobnie trójkąt Sierpińskiego jest uniwersalną krzywą dla dowolnej krzywej w przestrzeni dwuwymiarowej. Gąbka Mengera rozszerza to pojęcie na trójwymiarowe krzywe. Rozumowanie można rozszerzyć na dowolną liczbę w dowolnym wymiarze.

Załączniki

Powiązane artykuły

• Kostka Jerozolimy
• Mosely płatek śniegu
• Lista fraktali według wymiaru Hausdorffa

Linki zewnętrzne

• (en) Interaktywna gąbka Mengera (w Javie)
• (en) [video] „  Projekt modelowania Menger Sponge 3D HD [dl on Minecraft]  ” na YouTube , modelowanie 3D

Bibliografia

• (de) Karl Menger, „  Allgemeine Räume und Cartesische Räume I, II  ” , Proc. Natl. Akad. Wetensch. Amsterdam ,1926, s.  29, 476-484 i 1125-1128
• (autor) Karl Menger, Dimensionstheorie , Leipzig, Teubner ,1928

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">