Teoria wiązki

Teorią belek jest modelu stosuje się w dziedzinie wytrzymałości materiałów . Używamy dwóch modeli:

teorii Eulera-Bernoulliego , który nie uwzględnia wpływu sił ścinających ;
teoria Tymoszenko , która bierze pod uwagę wpływ ścinania.

Termin „belka” oznacza przedmiot, którego długość jest duża w porównaniu z wymiarami poprzecznymi (cienki przekrój). Ściśle mówiąc , belka jest elementem konstrukcyjnym używanym do budowy budynków , statków i innych pojazdów oraz do produkcji maszyn. Jednak model belki może być używany do wielu różnych części, o ile spełniają one określone warunki.

Historyczny

Autorstwo teorii belki przypisuje się Galileuszowi , ale ostatnie badania wskazują, że Leonardo da Vinci byłby przed nim. Ten ostatni zakładał, że odkształcenie zmienia się liniowo od neutralnej powierzchni, a współczynnik proporcjonalności jest krzywizną, ale nie mógł dokończyć swoich obliczeń, ponieważ nie wyobrażał sobie prawa Hooke'a . Ze swojej strony Galileo wyszedł z błędnego założenia (przypuszczał, że naprężenie rozkłada się równomiernie podczas zginania) i to Antoine Parent uzyskał prawidłowy rozkład.

To Leonhard Euler i Jacques Bernoulli wydali pierwszą użyteczną teorię około 1750 roku, podczas gdy Daniel Bernoulli , bratanek poprzedniej, napisał równanie różniczkowe do analizy wibracyjnej. W tym czasie inżynieria mechaniczna nie była uważana za naukę, a praca akademii matematycznej nie miała praktycznego zastosowania, a budowa mostów i budynków kontynuowana była empirycznie. Dopiero w XIX -tego wieku , z wieży Eiffla i duże koła , które wykazały słuszność teorii skalę.

Zasady modelowania

Kroki

Aby zbadać belki, należy umieścić w relacji:

te wysiłki spójność z działaniami zewnętrznymi, dzięki zasadzie cięcia;
wysiłki spójności z tensorem więzów , dzięki zasadzie równoważności;
tensor naprężenia z tensorem odkształcenia, dzięki uogólnionemu prawu Hooke'a ;
oraz ostateczną postać belki, czyli pole przemieszczeń, z polem tensorowym odkształceń .

Model belki umożliwia przekazanie sił kohezji na tensor naprężeń; pozwala na zastosowanie zasady równoważności.

Model belki

Nazywamy „belkę” bryłą utworzoną przez skończone powierzchnie, zwane „prostymi odcinkami”, takimi jak:

układ środków ciężkości prostych odcinków jest ciągłą i różniczkowalną krzywą, zwaną „krzywą średnią”; jego promień krzywizny jest duży w porównaniu z długością;
odcinki proste są prostopadłe do średniej krzywej; „zmieniają się w sposób ciągły i powolny”;
pierwiastek kwadratowy z powierzchni prostych odcinków jest mały w porównaniu z długością średniej krzywej;
materiał jest jednorodny i izotropowy .

Jeśli promień krzywizny jest mały lub przekrój zmienia się nagle, należy wziąć pod uwagę koncentrację naprężeń .

W najprostszych przypadkach, w szczególności belek w znaczeniu „elementu konstrukcyjnego” (żelazo, rura itp. ), Średnia krzywa jest prosta, a proste odcinki są identyczne.

Ale możemy modelować inne typy części. Na przykład, wał napędowy An osi , A dźwigni , rury, zbiornik, lub nawet kadłub z statku może być modelowany za pomocą wiązki; sprężyna śrubowa ( zwój sprężyny) może być traktowane jako promień, którego średnia krzywa śrubowej i którego odcinki proste są dyskami o tym samym promieniu.

Nazywamy „włókno” objętością generowaną przez małą część d²S przekroju poprzecznego przebiegającą po krzywej równoległej do krzywej średniej. Włókno generowane przez samą krzywą średnią nazywane jest „włóknem neutralnym”.

Dla uproszczenia, o ile nie wskazano inaczej, narysujemy belki, których średnia krzywizna jest linią prostą przed odkształceniem.

Wreszcie etap modelowania składa się z:

z jednej strony rozważmy samo włókno neutralne, charakteryzujące się długością L (a jeśli wiązka nie jest prosta, funkcją y ( x ));
z drugiej strony, aby wziąć pod uwagę odcinki proste, charakteryzujące się ich obszarem S (dla rozciągania-ściskania) i ich momentami kwadratowymi I G (dla skręcania), I G y i I G z (dla zginania).

Założenia do obliczeń

Teoria belek jest zastosowaniem teorii sprężystości izotropowej. Przy wykonywaniu obliczeń wytrzymałości materiałów brane są pod uwagę następujące założenia:

Hipoteza Bernoulliego: podczas odkształcania proste odcinki pozostają prostopadłe do średniej krzywej;
według Naviera-Bernoulliego proste odcinki pozostają płaskie (bez wypaczeń ).

Hipoteza Bernoulliego pozwala pominąć ścinanie w przypadku zginania: ryzyko zerwania jest wtedy spowodowane rozciąganiem włókien znajdujących się poza zginaniem, a ugięcie spowodowane jest momentem zginającym. Założenie to nie obowiązuje dla belek krótkich, ponieważ te ostatnie są poza granicami ważności modelu belki, a mianowicie, że wymiary przekrojów muszą być małe w porównaniu z długością łuku średniego. Ścinanie jest uwzględnione w modelu Timoshenko i Mindlin .

Obliczenia oporu i odkształcenia

Celem jest określenie dla każdego punktu:

tensor naprężeń w celu sprawdzenia, czy nie ma pęknięcie (stan graniczny nośności, ULS);
ostateczne odkształcenie, w celu sprawdzenia, czy belka zachowuje wymiary zgodne z jej przeznaczeniem (stan graniczny eksploatacyjny, SLS).

Działania na rzecz spójności

W tym celu definiuje się siły kohezji lub siły wewnętrzne w każdym punkcie średniej krzywej w postaci torsora działania zwanego „ kohezyjnym torsorem ” lub „wewnętrznym torsorem sił”. Jeśli cięcie jest wykonywane wzdłuż prostego odcinka ( zasada cięcia ), siły kohezji są siłami wywieranymi przez jeden z odcinków na drugi. Mamy zatem dwie konwencje:

konwencja sił po lewej stronie: bierzemy pod uwagę siły wywierane przez sekcję po lewej stronie na sekcję po prawej stronie (po prawej na rysunku obok);
konwencja wysiłków po prawej stronie: rozważa się siły wywierane przez sekcję po prawej stronie na sekcję po lewej stronie (po lewej na rysunku obok).

Jeśli wybierzemy układ współrzędnych tak, że x jest styczna do średniej krzywej na poziomie odcięcia, to torsor spójności uzyskuje się, pisząc podstawową zasadę statyki na rozpatrywanym odcinku i zapisuje się w sposób ogólny:

{\ displaystyle \ {{\ mathcal {T}} _ {\ mathrm {coh}} \} = {\ początek {matryca} \\\\\\ koniec {matryca}} _ {G} {\ początek {Bmatrix} \ mathrm {N} & \ mathrm {M_ {t}} \\\ mathrm {T} _ {y} & \ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} y} \\\ mathrm {T} _ {z } & \ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z} \\\ end {Bmatrix}} _ {Gxyz}}

lub

{\ displaystyle \ {{\ mathcal {T}} _ {\ mathrm {coh}} \} = {\ początek {matryca} \\\\\\ koniec {matryca}} _ {G} {\ początek {Bmatrix} \ mathrm {N} & \ mathrm {M_ {t}} \\\ mathrm {V} _ {y} & \ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} y} \\\ mathrm {V} _ {z } & \ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z} \\\ end {Bmatrix}} _ {Gxyz}}

N, siła normalna: siła kierująca styczna do krzywej średniej;
T lub V, siła ścinająca: siła prostopadła do średniej krzywej i powodująca ścinanie :
- T y lub V y : siła ścinająca wzdłuż y ,
- T z lub V z : siła ścinająca wzdłuż z ;
M f , moment zginający: moment, którego wektor jest prostopadły do średniej krzywej i powoduje zginanie:
- M f y : moment zginający wzdłuż y ,
- M f z : moment zginający wzdłuż z ;
M t , moment skręcający: jego wektor ma kierunek x .

W dwóch wymiarach uproszczenie polega na uwzględnieniu, że tylko siła ścinająca, siła rozciągająca i moment zginający są przenoszone z sekcji na sekcję, zgodnie z zasadą cięcia . Ogólnie rzecz biorąc, umieszcza się się na płaszczyźnie (G xy ), w ten sposób staje się torsorem spójności.

{\ displaystyle \ {{\ mathcal {T}} _ {\ mathrm {coh}} \} = {\ początek {matryca} \\\\\\ koniec {matryca}} _ {G} {\ początek {Bmatrix} \ mathrm {N} & 0 \\\ mathrm {T} _ {y} & 0 \\ 0 & \ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z} \\\ end {Bmatrix}} _ {Gxyz} }

Wykresy sił wewnętrznych

Naprężenie belki można w prosty sposób przedstawić, wykreślając wykres sił przenoszonych z sekcji na sekcję zgodnie z położeniem wzdłuż belki, to znaczy, że reprezentujemy N ( x ), T y ( x ), T z ( x ), M t ( x ), M f y ( x ) i / lub M f z ( x ). Ten diagram jest czasami błędnie nazywany diagramem naprężeń.

Przedstawiamy je jako funkcje wzdłuż osi , rysując linie. $x$

Ograniczenia

Siły kohezji to wielkości makroskopowe, zdefiniowane na całym przekroju. Ze względu na liniowość problemu (pozostajemy w małych odkształceniach), można niezależnie rozpatrywać każdy komponent, tj. Brać pod uwagę, że wiązka jest każdorazowo poddawana tylko jednemu prostemu żądaniu.

Zasada równoważności ustanawia związek między każdym wysiłkiem na rzecz spójności a ograniczeniami generowanymi lokalnie w każdym punkcie sekcji. W przypadku naprężeń złożonych sumujemy naprężenia wszystkich naprężeń prostych (zasada superpozycji).

Zgodnie z zasadą Saint-Venanta siły są prawidłowo przedstawiane, gdy odchodzi się od punktu przyłożenia. Tak więc, jeśli lokalnie modelowanie to nie daje dobrych wyników, można je uznać za prawie prawidłowe, gdy tylko odległość od miejsca zastosowania przekroczy kilkakrotnie średnicę przekroju. Zasada ta dotyczy tylko belek masywnych, w większości pozostałych przypadków jest fałszywa. W tym sensie „masywna belka” powinna być rozumiana, kiedy wspomina się tutaj o pojęciu belki.

Następnie wielkość S oznacza pole przekroju poprzecznego.

Prosta przyczepność

Normalna siła N odpowiada prostej trakcji , więc mamy równomierne naprężenie

\ sigma _ {{xx}} = {\ frac {{\ mathrm {N}}} {{\ mathrm {S}}}}

. Ścinanie

Siły ścinające T y i T z powodują ścinanie, ale należy rozróżnić dwa przypadki: zwykłe ścinanie i proste zginanie. W obu przypadkach siły zewnętrzne są przykładane równolegle do przekroju, to znaczy prostopadle do krzywej średniej.

W przypadku prostego ścinania siły są przykładane do tej samej odciętej x . Poza prawymi punktami przyłożenia sił, ograniczenia są jednolite (zasada Barré de Saint-Venant):

${\ Displaystyle \ tau _ {yx} = {\ Frac {\ mathrm {T} _ {y}} {\ mathrm {S}}}}$ , i
${\ displaystyle \ tau _ {zx} = {\ Frac {\ mathrm {T} _ {z}} {\ mathrm {S}}}}$ .

Jeśli wyodrębnimy mały sześcienny pierwiastek materii, zobaczymy, że cission, któremu podlega na prostych odcinkach, powinien spowodować jego rotację. Dlatego też ulega on pękaniu na ścianach prostopadłych do osi (G y ). Dlatego występuje również ścinanie między sąsiednimi włóknami. Możesz to zobaczyć, zginając talię kart: karty przesuwają się po sobie; belka może być postrzegana jako paczka ze sklejonymi kartami, siła przyczepności zapobiega zsuwaniu się kart.

W przypadku prostego zginania siły są przykładane do różnych odciętych. Ten stres generuje tylko niewielkie ryzyko pęknięcia i dlatego jest generalnie pomijany (model Bernoulliego). W tym przypadku rozkład naprężeń nie jest już jednolity (zasada Saint-Venanta nie jest już aktualna): naprężenie na swobodnej powierzchni jest koniecznie w płaszczyźnie powierzchni, dlatego rozstęp na powierzchniach zewnętrznych wynosi zero. Dlatego mamy cisję, która wzrasta, gdy zbliżamy się do neutralnego włókna. Maksymalny stres jest wtedy wart:

belka o prostokątnym pełnym przekroju ; ${\ Displaystyle \ tau _ {\ mathrm {max}} = {\ Frac {3} {2}} \ cdot {\ Frac {\ mathrm {T}} {\ mathrm {S}}}}$
pełna belka o przekroju kołowym ; ${\ Displaystyle \ tau _ {\ mathrm {max}} = {\ Frac {4} {3}} \ cdot {\ Frac {\ mathrm {T}} {\ mathrm {S}}}}$
cienka okrągła rurka :; ${\ Displaystyle \ tau _ {\ mathrm {max}} \ simeq 2 \ cdot {\ frac {\ mathrm {T}} {\ mathrm {S}}}}$

gdzie S jest obszarem odcinka prostego. Widzimy, że na tych przykładach naprężenie jest 1,5 do 2 razy większe niż w przypadku zwykłego ścinania.

Czyste zginanie

Momenty zginające M f y i M f z odpowiadają zginaniu. Ze względu na hipotezę Bernoulliego (proste odcinki pozostają prostopadłe do średniej krzywej):

neutralne włókno ma zerowe wydłużenie;
włókna na zewnątrz zakrętu są rozciągnięte;
włókna wewnątrz zagięcia są ściskane.

Stres zmienia się liniowo:

{\ Displaystyle \ sigma _ {xx} = - {\ Frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}} \ cdot y }

gdzie I G z jest kwadratowym momentem osi (G z ), obliczonym zgodnie z kształtem przekroju.

Ryzyko pęknięcia występuje na przedłużonej powierzchni belki. Jeśli nazwiemy V rzędną punktu znajdującego się na tej ścianie, to ograniczenie jest warte:

{\ displaystyle \ sigma _ {xx \ \ mathrm {max}} = - {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z }}} \ cdot \ mathrm {V} = - {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ frac {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}} {\ mathrm {V}}}}}

Wielkość I G z / V nazywana jest „modułem sprężystości”.

Jeśli belka jest symetryczna i ma wysokość h , mamy

V = ± h / 2.Uwaga Ponieważ interesuje nas bezwzględna wartość ograniczenia, często znajdujemy wyrażenia

{\ Displaystyle \ sigma _ {xx} = {\ Frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}} \ cdot y}

{\ displaystyle \ sigma _ {xx \ \ mathrm {max}} = {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ frac {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G } z}} {\ mathrm {V}}}}}

. Skręcenie

Bierzemy pod uwagę przypadek belki cylindrycznej (zazwyczaj wału napędowego) i małych odkształceń. Skręcanie powoduje naprężenie ścinające τ, które jest proporcjonalne do odległości r od osi:

\ tau (r) = {\ frac {{\ mathrm {M_ {t}}}} {{\ mathrm {I_ {G}}}}} r

lub:

M t jest momentem obrotowym;
I G jest kwadratowym momentem skręcania zależnym od kształtu przekroju (średnicy zewnętrznej i wewnętrznej w przypadku rury).

Jeśli M t jest wyrażone w N mm , że I G jest w mm 4, a r jest w mm, to τ ( r ) jest w MPa. Maksymalne naprężenie ścinające wynosi

{\ Displaystyle \ tau (v) = {\ Frac {\ mathrm {M_ {t}}} {\ mathrm {I_ {G}}}} v = {\ Frac {\ mathrm {M_ {t}}} {\ left ({\ frac {\ mathrm {I_ {G}}} {v}} \ right)}}}

gdzie v jest zewnętrznym promieniem części. Wielkość (I G / v ) nazywana jest modułem skręcania i jest wyrażana do obliczeń w mm 3 .

Moment kwadratowy i moduł skręcania są ogólnie podane w tabeli, odpowiednio, w cm 4 i cm 3 .

Złożone prośby

Rozbijając naprężenia złożone na proste naprężenia, można w dowolnym momencie wyznaczyć tensor naprężeń . Następnie konieczne jest określenie wysiłku porównawczego zgodnie z jednym z kryteriów Tresca lub von Mises .

Istnieją trzy typowe przypadki:

rozciąganie lub ściskanie + zginanie: przypadek siły równoległej do osi, ale wywieranej w pewnej odległości od osi, lub przypadek zbiornika wody pod ciśnieniem;
zginanie odchylone: siła nie występująca wzdłuż osi;
zginanie + skręcanie: przypadek wału przenoszącego moc za pośrednictwem zębnika lub koła pasowego: siła jest prostopadła do osi iw pewnej odległości od osi.

W tym drugim przypadku możemy sprowadzić się do przypadku prostego zginania, obliczając idealny moment zginający i idealny moment zginający (wzór Coulomba, wzór Rankine'a, wzór Saint Venanta).

Zniekształcony

W przypadku belki interesuje nas wyłącznie ostateczna postać włókna neutralnego. Równanie u ( x ) tej krzywej nazywa się „zdeformowanym”. Poniżej rozważymy, że początkowe włókno neutralne jest odcinkiem linii o długości l 0 .

W kompresji trakcji

Neutralne włókno pozostaje proste, a końcowa długość l jest określona przez całkowanie prawa Hooke'a :

{\ Displaystyle l = {\ Frac {l_ {0} \ mathrm {N}} {\ mathrm {S} \ mathrm {E}}} + l_ {0}}

, przy normalnym wysiłku.

NIE

Przy zginaniu osi z

Intuicyjnie, krzywizna γ w punkcie jest proporcjonalna do momentu zginającego M f i odwrotnie proporcjonalna do sztywności belki. Ta sztywność zależy od materiału, przez moduł Younga E i od profilu przekroju poprzecznego, przez moment kwadratowy I G z . Więc mamy :

{\ Displaystyle \ gamma = {\ Frac {\ mathrm {M_ {f}}} {\ mathrm {E} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}}}

Ponadto przy małych odkształceniach można przyjąć, że

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy ^ {2} u} {\ częściowy x ^ {2}}} \ simeq \ gamma}

jest

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy ^ {2} u} {\ częściowy x ^ {2}}} = {\ Frac {\ mathrm {M_ {f}}} {\ mathrm {E} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}} \ Longrightarrow \ mathrm {E} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z} {\ frac {\ Partial ^ {2} u} {\ Partial x ^ { 2}}} = \ mathrm {M_ {f}}}

To równanie różniczkowe jest często odnotowywane

{\ displaystyle \ mathrm {E} \ mathrm {ja} _ {\ mathrm {G} z} y '' = \ mathrm {M_ {f}}}

Jeśli belka ma stały przekrój i jest z jednorodnego materiału, wówczas termin EI G z jest stałą, a odkształcenie uzyskuje się po prostu całkując dwukrotnie M f w porównaniu z x , biorąc pod uwagę warunki brzegowe .

Na przykład w przypadku belki o długości L na dwóch podporach z siłą F działającą w jej środku:

w pierwszej połowie (0 ≤ x ≤ L / 2) moment zginający jest więc wart

{\ Displaystyle \ mathrm {M_ {f}} (x) = {\ Frac {\ mathrm {F}} {2}} x}

{\ Displaystyle \ mathrm {E} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z} y '(x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ Frac {\ mathrm {F}} {2 }} t \ mathrm {d} t + \ mathrm {A} = {\ frac {\ mathrm {F}} {4}} x ^ {2} + \ mathrm {A}}

. Zgodnie z symetrią, belka jest pozioma w środku (warunek graniczny), można albo

{\ Displaystyle y '(\ mathrm {L} / 2) = 0}

{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {F}} {4}} \ lewo ({\ Frac {\ mathrm {L}} {2}} \ prawo) ^ {2} + \ mathrm {A} = 0}

a więc

{\ Displaystyle \ mathrm {A} = - {\ Frac {\ mathrm {F} \ mathrm {L} ^ {2}} {16}}}

. W związku z tym

{\ Displaystyle \ mathrm {E} \ mathrm {ja} _ {\ mathrm {G} z} r (x) = \ int _ {0} ^ {x} \ lewo ({\ Frac {\ mathrm {F}} {4}} t ^ {2} - {\ frac {\ mathrm {F} \ mathrm {L} ^ {2}} {16}} \ right) \ mathrm {d} t + \ mathrm {B} = { \ frac {\ mathrm {F}} {12}} x ^ {3} - {\ frac {\ mathrm {F} \ mathrm {L} ^ {2}} {16}} x + \ mathrm {B}}

. Przemieszczenie z podporami wynosi zero (warunek graniczny), to znaczy B = 0. Tak więc ma się

{\ Displaystyle y (0) = 0}

{\ Displaystyle y (x) = {\ Frac {1} {\ mathrm {E} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}} \ lewo ({\ Frac {\ mathrm {F}} { 12}} x ^ {3} - {\ frac {\ mathrm {F} \ mathrm {L} ^ {2}} {16}} x \ right)}

. Kształt drugiej połowy jest symetryczny; opisuje go inny wielomian o podobnym kształcie. Ugięcie (maksymalne przemieszczenie) znajduje się w środku x = L / 2:

{\ Displaystyle f = - {\ Frac {\ mathrm {F} \ mathrm {L} ^ {3}} {48 \ mathrm {E} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}}}

. W skręcaniu

Rozważamy tutaj tylko przypadek belki cylindrycznej o długości L. Jeden koniec obraca się względem drugiego o kąt θ (w radianach). Możemy zatem zdefiniować jednostkowy kąt skręcenia α = θ / L (w rad / m) .

Intuicyjnie, ten kąt jednostki zależy od:

siła, to znaczy moment skręcenia M t przyjęty tutaj jako jednolity;
sztywność belki, która zależy od:
- sztywność materiału, poprzez moduł Coulomba G,
- sztywności przekroju poprzez jego kwadratowy moment skręcający I G ;

jest

{\ Displaystyle \ alpha = {\ Frac {\ mathrm {M_ {t}}} {\ mathrm {G} \ mathrm {I_ {G}}}}}

Tak więc, jeśli założymy, że przekrój na x = 0 pozostaje stały, przekrój na odciętej x nieokreślony obrócił się o

{\ Displaystyle \ theta (x) = \ alfa x = {\ Frac {\ mathrm {M_ {t}}} {\ mathrm {G} \ mathrm {I_ {G}}}} x}

a szczególnie

{\ displaystyle \ theta (\ mathrm {l}) = {\ frac {\ mathrm {M_ {t}} \ mathrm {l}} {\ mathrm {G} \ mathrm {I_ {G}}}}}

Zgięcie hiperstatyczne

Często badanym przypadkiem jest hiperstatyczna belka zginana . W tym przypadku równania statyki nie są wystarczające do wyznaczenia sił w łożyskach. Stosowane są dwie metody rozdzielczości:

metoda superpozycji: rozbija się obciążenie na dwa przypadki izostatyczne;
metoda całkowania: rozwiązuje się liniowe równanie różniczkowe drugiego rzędu EI G z y '' = M f , stosując dostosowane warunki brzegowe.

Uwagi i odniesienia

(w) Roberto Ballarini , The Da Vinci-Euler-Bernoulli Beam Theory?, W Mechanical Engineering Magazine Online ,18 kwietnia 2003( czytaj online )
(w) Seon Mr. Han , Haym Benaroya i Timothy Wei , Dynamics of Transversely Vibrating Beams using piekarnik Engineering Theories, w Mechanical Engineering Magazine Online ,22 marca 1999( czytaj online )
Warunkiem równowagi jest zapobieżenie rotacji elementu sześciennego, konsekwencją jest to, że tensor naprężeń jest macierzą symetryczną.

Zobacz też

Bibliografia

Jean-Louis Fanchon, przewodnik mechaniczny , Nathan ,2001, 543 str. ( ISBN 2-09-178965-8 ) , str. 265-396
Claude Hazard, Frédy Lelong i Bruno Quinzain, Mémotech - konstrukcje metalowe , Paryż, Casteilla,1997, 352 pkt. ( ISBN 2-7135-1751-6 ) , str. 326-336
D. Spenlé i R. Gourhant, Przewodnik po obliczeniach w mechanice: kontrolowanie wydajności systemów przemysłowych , Paryż, Hachette ,2003, 272 pkt. ( ISBN 2-01-168835-3 ) , str. 130-208

Powiązane artykuły

Linki zewnętrzne

Cours des Mines de Paris ( licencja Creative Commons )
Wzór do obliczania prostych belek dwuwymiarowych
Prosta forma belek - Siły kohezji , na Wikibooks
Matematyczne podejście do belek
Kurs na temat metody elementów skończonych autorstwa Yvesa Debarda z Uniwersytetu w Le Mans [PDF] :
- Belka poddana normalnym naprężeniom
- Gięcie belek płaszczyzny środkowej
Liniowe obliczenia statyczne belek , Przewodnik walidacji pakietów oprogramowania do obliczeń konstrukcyjnych , ICAB
Obliczanie belki i niestabilności przy wyboczeniu, wyboczeniu skrętnym bocznym, wyboczeniu , instrukcja obsługi oprogramowania ICAB Force
Mechanika konstrukcji i badanie belek - Patrice Cartraud, École Centrale de Nantes