Dwoistość (geometria rzutowa)

Rzutowa rozdwojenie odkryte przez Jean-Victor Poncelet jest uogólnieniem analogii między tym dwie oddzielne punkty i przechodzą prostoliniowej , a fakt, że dwie różne linie przecinają się w jednym punkcie i tylko jeden (w warunkach umieszczenia w rzutowych geometria , tak że dwie równoległe linie spotykają się w punkcie w nieskończoności). Dualizm rzutowy potwierdza, że jakiekolwiek twierdzenie o rzutowej geometrii płaszczyzny (a zatem nie odwołujące się do metrycznych pojęć odległości i kątów, ani do afinicznych pojęć równoległości i proporcji), takie jak twierdzenie Desarguesa lubTwierdzenie Pappusa daje początek innym twierdzeniom, zwanym twierdzeniem dualnym, uzyskanym przez zamianę słów punktów i linii w swoim zdaniu.

Dwoistość w płaszczyźnie rzutowej

Definicja

W przeciwieństwie do klasycznej geometrii płaskiej, w której linie są zbiorem punktów, lepiej jest wziąć pod uwagę w geometrii rzutowej, że płaszczyzna rzutowa $P$ składa się z zestawu punktów , zestawu linii i relacji wskazującej, które punkty znajdują się na której linii (lub które linie przechodzą przez który punkt). Aby zrozumieć, że to właśnie ta relacja jest ważna, a nie natura punktów i linii, matematyk Hilbert powiedział: „Zawsze musisz umieć powiedzieć„ stół ”,„ krzesło ”i„ kufel ”zamiast„ punkt ” „,„ linia ”i„ samolot ”” . $\ {\ mathcal P} (P)$ ${\ mathcal D} (P)$

Najpierw rozważymy, że płaszczyzna rzutowa $P$ jest zdefiniowana aksjomatycznie ; widzimy wtedy, że otrzymujemy inną płaszczyznę rzutową, rozważając obiekt $P *,$ którego „punkty” są prostymi $P,$ a „proste” są punktami $P$ , przechodzącą prostą $P *$ (która jest punktem od $M$ do $P$ ) przepuście „punkt” $P *$ (co jest prostą $D$ z $P$ ), gdy $D$ przez $M$ .

Punkt i prosta $P$	Punkt i prosta $P *$ , z których narysowane są cztery punkty

Dla uproszczenia, zamiast pracować na dwóch różnych płaszczyznach, $P$ i $P *$ , jest wystarczająca do pracy na jednej płaszczyźnie rzutowej $P$ .

Korelacja jest transformacja punktów płaszczyzny w linii i linii płaszczyzny na punkty i które przestrzega padania. Biegunowość jest involutive korelacji, czyli korelacja korelacja jest identyczny transformacja.

Przykłady

Dowolnej konfiguracji punktów i prostych w $P$ odpowiada wtedy w $P *$ podwójna konfiguracja otrzymana przez zamianę punktów i prostych, i podobnie, każdemu twierdzeniu w $P$ , odpowiada twierdzenie dualne.

Konfiguracja w $P$		Taka sama konfiguracja jak w $P *$
Dwa punkty $A$ i $B$ oraz linia przechodząca przez te dwa punkty, oznaczona $( AB )$		Dwie proste $A$ i $B$ oraz ich punkt przecięcia, zaznaczone $A \cap B$ (zapis $( AB ) wydawałby$ się zbyt dziwny)
Trzy kropki wyrównane		Trzy równoległe linie
Konfiguracja Ceva: trójkąt wierzchołków $A , B , C$ i trzech Céviennes $D , E , F$ współbieżnych w $M$		Konfiguracja Menelaosa: trójkąt $A , B , C$ i menela $M$ spotykający boki w $D , E , F$
Konfiguracja desargues: dwa trójkąty z odpowiednimi wierzchołkami $A , B , C$ i $A ' , B' , C '$ oraz bokami $D , E , F$ i $D' , E ' , F'$ ( $D = ( BC ), E = ( CA )$ itp.), $P , Q , R$ punkty $D \cap D '$ , $E \cap E'$ , $F \cap F '$ , $U , V , W$ linie $( AA' ), ( BB ' ), ( CC' )$ . Twierdzenie Desargues stwierdzono, że $P , Q , R$ są wyrównane IFF, $U , V , W$ są współbieżne.		Konfiguracja desargues (która jest zatem „auto-dual”): dwa trójkąty z odpowiednimi bokami $A , B , C$ i $A ' , B' , C '$ oraz wierzchołkami $D , E , F$ i $D' , E ' , F'$ ( $D = B \cap C , E = C \cap A$ itd.), $P , Q , R$ linie $( DD ' ), ( EE' ), ( FF ' )$ , $U , V , W$ punkty $( A \cap A' )$ , $( B \cap B ' )$ , $( C \cap C' )$ . Twierdzenie Desarguesa stwierdza, że $P , Q , R$ są współbieżne, gdy $U , V , W$ są wyrównane.
Konfiguracja Pappusa: Dwie trójki wyrównanych punktów $A , B , C$ i $A ' , B' , C '$ , $P = ( B'C' \cap ( BC ' )$ , $Q = ( CA' \cap AC ' )$ $R = ( BA' \cap AB ' )$ ; Twierdzenie Pappusa stwierdza, że $P , Q , R$ są wyrównane.		Konfiguracja „Copappus” lub Pappus-dual: Dwie trojaczki równoczesnych linii $A , B , C$ i $A ' , B' , C '$ , $P = ( B \cap C' , B \cap C ' )$ , $Q = ( C \cap A ' , A \cap C' )$ $R = ( B \cap A ' , A \cap B' )$ ; twierdzenie „Copappusa” stwierdza, że $P , Q , R$ są współbieżne. (patrz rysunek poniżej, gdzie widzimy, że ta konfiguracja jest również „automatycznie podwójna”)

Uwaga: Jeśli zgodzimy się zidentyfikować linię ze zbiorem jej punktów, konieczne jest, aby dualizm był doskonały, aby zidentyfikować punkt ze zbiorem linii, które przechodzą przez ten punkt, innymi słowy, aby zidentyfikować wiązkę prostych linii ze swoim biegunem.

Dwoistość i stosunek krzyżowy

Dwoistości, korelacje i polaryzacje

Rozważmy homographies z $P$ na $P *$ ; są bijections $F$ o w którym transformowania linii $P$ na „linię” o $P$ $*$ ; w związku z tym mogą być rozszerzone na bijekcji, zawsze oznaczone przez $F$ , w której przekształca się temperaturę w linii prostej i na odwrót, i który spełnia: . ${\ mathcal P} (P)$ ${\ mathcal P} (P ^ {*}) = {\ mathcal D} (P)$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (P) \ kubek {\ mathcal {D}} (P)}$ ${\ Displaystyle M \ w (d) \ iff f (d) \ w fa (M)}$

Takie aplikacje nazywane są dualnościami lub korelacjami ; kiedy są one niewolne ( ), nazywane są polaryzacjami lub dawniej „odwrotnymi transformacjami biegunowymi”. W tym drugim przypadku obraz punktu nazywamy biegunem tego punktu, a obraz prostej jego biegunem . $f = f ^ {{- 1}}$

Zgodnie z podstawowym twierdzeniem geometrii rzutowej , w rzeczywistości cała dwoistość pochodzi z homografii (w ogólnym przypadku z półhomografii).

Twierdzenie o zdarzeniach i wzajemności

Z definicji wynikają dwa ważne twierdzenia.

Twierdzenie - Jeśli punkt A przypada na prawo ( d ), to punkt podwójny ( d ) przypada na podwójny punkt A na prawo .

To twierdzenie jest potężniejsze niż poprzednie:

Twierdzenie o wzajemności polarny - Jeśli punkt jest polarny z punktu B , to B jest polarna od A .

Relacje z dwoistością w algebrze liniowej

Wiemy, że między punktami $P$ i liniami wektorów przestrzeni wektorowej $E$ o wymiarze 3 istnieje bijekcja, a między liniami $P$ i płaszczyznami wektorów $E$ (punkt należący do prostej, jeśli linia wektora jest zawarty w płaszczyźnie wektorowej).

Ortogonalność pomiędzy $E$ i jej podwójnego $E *$ , zestaw form liniowym na $E$ , który na każdym podprzestrzeni wektora $E$ łączy podprzestrzeni wektora $E *$ indukuje bijection pomiędzy płaszczyznami wektora $E$ i linie wektora $E *$ , a między linie wektorowe $E$ i płaszczyzny wektorowe $E *$ , które odwracają inkluzje.

Istnieje zatem kanoniczny bijekcja między punktami i prostymi $P *$ a prostymi i płaszczyznami wektorów $E *,$ która uwzględnia incydenty: jeśli płaszczyzna rzutowa $P$ jest powiązana z przestrzenią wektorową $E$ , podwójna płaszczyzna $P *$ jest rzeczywiście powiązana z podwójna przestrzeń wektorowa $E *$ .

Podwójna homografia

Homografia $f$ płaszczyzny rzutowej sama w sobie jest bijekcją w zbiorze punktów $P$ , która indukuje bijekcję $f *$ w zbiorze prostych $P$ , który jest zbiorem "punktów" $P *$ : $f *$ jest podwójny homography od $f$ (uwaga !); sprawdzamy, że jeśli $f$ pochodzi z automorfizmu liczby $f$ $*$ , to $f$ $*$ pochodzi z automorfizmu liczby dualnej , częściej nazywanej transponowanym automorfizmem $f$ . $f * (D) = f (D)$ $\ vec f$ ${\ vec {E}}$ ${\ vec E} ^ {*}$ $\ vec f$

Korzystanie z danych kontaktowych

Odnieśmy płaszczyznę rzutową $P$ do rzutowego układu odniesienia , który jest powiązany z podstawą przestrzeni wektorowej $E$ ; rozważ izomorfizm między $E$ i jego dualnością, który przekształca $B$ w podwójną podstawę , która indukuje dwoistość między $P$ i $P$ $*$ ; z punktem $M$ z $P$ jest powiązany wektor określony na stałej multiplikatywnej w pobliżu współrzędnych w $B$ (jednorodne współrzędne $M$ in ), z którym jest powiązany postać liniowa, której jądrem jest płaszczyzna równania ; $R = (A_ {1}, A_ {2}, A_ {3}, \ Omega) \,$ $B = (e_ {1}, e_ {2}, e_ {3}) \,$ $\ varphi$ $B ^ {*} = (e_ {1} ^ {*}, e_ {2} ^ {*}, e_ {3} ^ {*}) \,$ $(ABC)$ $R$ $\ varphi$ $ax + przez + cz$ $ax + by + cz = 0$

Równanie jest jednorodny Równanie linii $na$ zdjęciu $M$ przez dualnością; sprawdzamy odwrotnie, obraz $d$ to $M$ , co oznacza, że ta dwoistość jest biegunowością określoną przez:

punkt o współrzędnych jednorodnych ↔ prosta linia jednorodnego równania:

(ABC)

ax + by + cz = 0

podwójnej ramy z odniesieniem do związany z $B$ $*$ jest utworzona z linii danego równaniem :, dlatego . Zwróć uwagę, że punkt i jego linia biegunowa mają te same jednorodne współrzędne, jeden do wewnątrz, drugi do wewnątrz . $R = (A_ {1} ^ {*}, A_ {2} ^ {*}, A_ {3} ^ {*}, \ Omega ^ {*}) \,$ $R$ $x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 0$ $A_ {1} ^ {*} = (A_ {2} A_ {3}), A_ {2} ^ {*} = (A_ {3} A_ {1}), A_ {3} ^ {*} = ( A_ {1} A_ {2}) \,$ $R$ $R *$

Dwoistość związana z formą dwuliniową, biegunowość związana z formą kwadratową lub stożkową

Niech $f będzie$ dwoistością od $P$ do $P *$ pochodzącą z izomorfizmu od $E$ do $E$ $*$ . Z tym ostatnim związana jest niezdegenerowana dwuliniowa forma na $E$ , określona przez (oznaczona nawiasem dualności ) i ta zgodność jest jeden do jednego; mówi się, że dwoistość $f$ jest związana z formą dwuliniową (zdefiniowaną aż do stałej multiplikatywnej). Matryca izomorfizmie w bazowej $B$ i podwójną podstawę $B$ $*$ jest jednym bilinear postaci w $B$ . $\ vec f$ $\ varphi (x, y) = {\ vec f} (y) (x)$ $<x, {\ vec f} (y)>$ $\ varphi$ $\ vec f$ $\ varphi$

Dwoisto $F$ jest polaryzacja IFF dla każdego punktu $M$ i : , co znajduje odzwierciedlenie w postaci dwuliniowa przez: wszystkie wektory i : ; pokazujemy, że ten ostatni warunek jest równoważny byciu symetrycznym lub antysymetrycznym (jeśli pole ma cechę inną niż 2). $NIE$ $M \ in f (N) \ iff N \ in f (M)$ $\ varphi$ $x$ $y$ $\ varphi (x, y) = 0 \ iff \ varphi (y, x) = 0$ $\ varphi$

Każda forma kwadratowa na $E$ generuje symetryczną formę dwuliniową, która generuje polaryzację w $P$ , która ma być powiązana z $q$ . Izotropowy stożek $Q$ (określone ) jest stożek drugiego stopnia $E$ , który wytwarza rzutowe stożkowy $($ $C$ $)$ z $P$ . Następnie mówimy przez nadużycie, że polaryzacja $f$ związana z $q$ jest biegunowością względem $($ C ) . Należy pamiętać, że mamy: . $q (x) = \ varphi (x, x) = 0$ ${\ Displaystyle M \ w (`` C '') \ iff M \ w f (M)}$

Biegunowość względem koła na płaszczyźnie euklidesowej

Rozważmy okrąg $( C ),$ którego środek O promienia a płaszczyzny euklidesowej odnosi się do ortonormalnego układu współrzędnych ; $P$ jest rzutowym zakończeniem, a $E$ jego obwiednią wektorową, o której mowa . ${\ breve P}$ $(O, e_ {1}, e_ {2}) \,$ ${\ breve P}$ ${\ displaystyle (e_ {1}, e_ {2}, e_ {3}) \,}$

Kartezjańskie równanie koła to ; biegunowość $F$ w stosunku do $($ $C$ $)$ jest więc związane z kwadratową formę z $E$ i izomorfizmie o $E$ o $E$ $*$ jest taki, który przesyła się na $x ^ {2} + y ^ {2} = a ^ {2}$ $X ^ {2} + Y ^ {2} -a ^ {2} Z ^ {2}$ ${\ displaystyle (e_ {1}, e_ {2}, e_ {3}) \,}$ ${\ Displaystyle (e_ {1} ^ {*}, e_ {2} ^ {*}, - a ^ {2} e_ {3} ^ {*})}$

Z punktu widzenia płaszczyzny afinicznej polaryzacja $f$ ma bardzo prostą definicję: w punkcie współrzędnych odpowiada linia równania, a obraz punktu w nieskończoności to prosta przechodząca i prostopadła do kierunku punktu. ${\ breve P}$ $(u, v)$ $ux + vy = a ^ {2}$ $O$

I mamy następujące definicje geometryczne: biegunowy (obraz w linii prostej przez biegunowość) punktu w odniesieniu do koła $($ $C$ $)$ jest miejscem sprzężeń harmonicznych punktu w odniesieniu do koła, miejscem określonym przez relacja ; to linia prostopadła do linii przechodzącej przez odwrotność w odniesieniu do $($ $C$ $)$ ; jest to również oś rodnikowa koła $($ $C$ $)$ i koła o średnicy ; gdy jest na zewnątrz $($ $C$ $)$ , to jest to prosta łącząca punkty styku stycznych wychodzących z okręgu $($ $C$ $)$ . $M_ {0} (u, v)$ $\ overrightarrow {OM} \ overrightarrow {OM_ {0}} = ux + vy = a ^ {2}$ $(OM_ {0})$ $H.$ $M_ {0}$ $[OM_ {0}]$ $M_ {0}$ $M_ {0}$

Dwoistość między krzywymi

Dwoistość, która przekształca punkty w proste i odwrotnie, przekształca krzywą (rodzinę punktów)

P

w „krzywą” (rodzinę linii) podwójnej płaszczyzny

P

*

: ale dzięki pojęciu obwiedni znajdujemy krzywa (rodzina punktów)

P

: obwiednia rodziny linii podwójnych, zwana krzywą podwójną .

(\ Gamma _ {0})

(\ Gamma _ {0})

Godne uwagi jest to, że gdy dwoistość jest biegunowością, dualność podwójnej jest krzywą początkową (innymi słowy, rodzina linii biegunowych punktów podwójnej krzywej otacza krzywą początkową).

Po przeciwnej stronie rysunek ilustrujący to, z biegunowością w stosunku do koła $( C )$ .

Ta transformacja jest transformacją kontaktową : jeśli rodzina krzywych przyjmuje otoczkę, rodzina krzywych biegunowych przyjmuje biegun biegunowy tej otoczki jako swoją otoczkę.

Więcej informacji znajdziesz tutaj .

Konfiguracja Pappusa, szczegółowy przykład dualności

Aby geometrycznie zilustrować jakąkolwiek dwoistość, musimy zdefiniować proces, za pomocą którego przekształcamy punkt w linię. Przykład prostej dwoistości jest podany poniżej: bierzemy czworokąt (4 punkty) ACZF, przekształcamy go w czworokąt (4 linie) aczf i aby trochę uzupełnić figurę, linie AC, CZ, ZF figury narysowano odlot, a także punkty przecięcia a * c, c * z i z * f figury przylotu.

Kontynuując rysowanie tego samego przykładu, możemy przedstawić dwoistość konfiguracji Pappusa , patrz Twierdzenie Pappusa . Początkowa konfiguracja składa się z 9 punktów: AEC DBF XYZ, konfiguracja nadejścia jest podana w 9 liniach aec dbf xyz. W konfiguracji początkowej zadbano o uzupełnienie rysunku 9 liniami łączącymi punkty, są to linie jnp qhk i mgr; w ten sam sposób w konfiguracji przybycia przecięcie linii daje 9 punktów JNP QHK MGR.

Dwoistość w skończonej wymiarowej przestrzeni rzutowej

Jest to uogólnienie tego, co właśnie widzieliśmy w planie; w wymiarze nie tylko dualność wymienia punkty i hiperpłaszczyzny, ale bardziej ogólnie podprzestrzenie wymiaru $k$ z tymi z wymiaru . $nie$ $n-1-k$

Na przykład w wymiarze 3 punkty są wymieniane z płaszczyznami, a linie ze sobą. Podwójne twierdzenie: „przez dwa różne punkty” przechodzi przez linię i tylko jedno staje się: „dwie różne płaszczyzny przecinają się w jednej prostej”. Czworościan wierzchołków staje się przez dwoistość czworościanem twarzy ; w pierwszym przypadku punkty $A$ i $B$ wyznaczają krawędź (tę, która przechodzi przez $A$ i $B$ , aw drugim również (przecięcie $A$ i $B$ ). $ABCD$ $ABCD$

Dokładniej podwójny $E *$ o przestrzeni rzutowej $E$ wymiaru jest przestrzeń, której podprzestrzenie wymiaru $k$ są duals tych wymiaru z $E$ i dwoistość na $E$ jest bijection zbioru sub -spaces -projective przestrzenie $E$ sam w sobie, który odwraca inkluzje i przekształca podprzestrzeń o wymiarze $k$ w jedną o wymiarze ; w prawdziwym przypadku dwoistość pochodzi z homografii $E$ nad $E$ $*$ (z półhomografii w ogólnym przypadku). $nie$ $n-1-k$ $n-1-k$

Wszystko, co zostało zaobserwowane w przypadku płaszczyzny, jest tutaj uogólnione, w szczególności pojęcie biegunowości w odniesieniu do stożka, które tutaj staje się biegunowością w odniesieniu do (hiper) kwadratu (nie zdegenerowanego).

Bibliografia

Alain Bigard, Geometry, Masson, 1998
Jean-Denis Eiden, Klasyczna geometria analityczna, Calvage & Mounet, 2009, ( ISBN 978-2-91-635208-4 )
Jean Frenkel, Geometria dla ucznia-nauczyciela, Hermann, 1973
Bruno Ingrao, projekcyjne, afiniczne i metryczne stożki, C&M, ( ISBN 978-2916352121 )
Jean-Claude Sidler, Geometria projekcyjna, Interéditions, 1993
HSM Coxeter geometria rzutowa, Springer, 1998 ( 3 th Edition); jest w kanadyjskim języku angielskim, bardzo łatwy do zrozumienia, a strony poświęcone dwoistości i biegunowości są jasne, chociaż bardzo abstrakcyjne.
Yves Ladegaillerie, Geometria, elipsy, 2003