W matematyce , a dokładniej w arytmetyki i algebry ogólnej The rozdzielność o pracy w odniesieniu do drugiego jest uogólnieniem właściwości elementarnej: „ iloczyn sumy jest równa sumie iloczynów ”.
Na przykład w wyrażeniu 2 × (5 + 3) = (2 × 5) + (2 × 3) współczynnik 2 jest rozdzielany na każdy z dwóch składników sumy 5 + 3. Równość jest następnie weryfikowana: po lewej stronie 2 × 8 = 16 , po prawej 10 + 6 = 16 .
Ta właściwość jest prawdziwe dla wszystkich triplet ( x , y , oo ) z liczb całkowitych , z liczb dla liczb wymiernych z liczb rzeczywistych lub liczbach zespolonych :
x × ( y + z ) = ( x × y ) + ( x × z )Następnie mówimy o rozdzielności mnożenia w odniesieniu do dodawania .
W ogólnej algebrze rozdzielność jest uogólniona na operacje inne niż dodawanie i mnożenie. Wewnętrzny prawo kompozycji ∘ jest rozdzielne względem siebie wewnętrzne prawa * w zbiorze E , jeżeli dla każdej triplet ( x , y , oo ) elementów E , że ma następujące właściwości:
x ∘ ( y ∗ z ) = ( x ∘ y ) ∗ ( x ∘ z ) ( lewa dystrybucja ) ( x ∗ y ) ∘ z = ( x ∘ z ) ∗ ( y ∘ z ) ( prawostronny rozkład )W arytmetyce dwie operacje brane pod uwagę, gdy mówimy o rozdzielności, to dodawanie i mnożenie. Mnożenie jest rozdzielne względem dodawania:
x × ( y + z ) = ( x × y ) + ( x × z )ale dodawanie nie jest rozdzielające w odniesieniu do mnożenia: z wyjątkiem przypadków specjalnych (takich jak x = 0 ), ogólnie,
x + ( y × z ) ≠ ( x + y ) × ( x + z )Jeśli czynniki iloczynu są sumami, można przeprowadzić iloczyn po okresie, a następnie przeprowadzić sumę. Ta właściwość jest często używana w arytmetyce umysłowej lub informatyce do wydajnego obliczania iloczynu liczb całkowitych .
Przykład 1 235 × 99 = 235 × (100 - 1) = 23,500 - 235 = 23,265Podobnie mnożenie przez liczby jednolite 9, 99, 999 itd. sprowadza się do odejmowania przy użyciu właściwości rozdzielającej.
Przykład 2 458 × 592 = (400 + 50 + 8) × (500 + 90 + 2) = 200 000 + 36 000 + 800 + 25 000 + 4500 + 100 + 4000 + 720 + 16 = 271136 Z drugiej strony przykład 3Zabrania się bezpośredniego wykonywania uśrednień; aby to otrzymać, należy podzielić sumę mianowników przez sumę mianowników.
Dla liczb całkowitych , z całkowitymi , że liczby wymierne , tym liczba rzeczywista lub numer kompleks , operacje dodawania i mnożenia są przemienne . Następnie mówimy, że mnożenie jest dystrybutywne w odniesieniu do dodawania, bez określania „po lewej ” lub „po prawej” , ponieważ dystrybucja po lewej stronie implikuje dystrybucję po prawej stronie (i odwrotnie) ze względu na przemienność produkt.
Dowód x × ( y + z ) = ( x × y ) + ( x × z ) ⇔ ( y + z ) × x = ( x × y ) + ( x × z ) (przez przemienność mnożenia po lewej stronie) ⇔ ( y + z ) x x = ( Y x x ) + ( x x oo ) (o przemiennej właściwości mnożenia w 1 ul sumy prawej użytkownika) ⇔ ( y + z ) x x = ( Y x x ) + ( z x x ) (od przemienności mnożenia na 2 nd sumy prawej stronie)Z drugiej strony ( x + y ) / z = x / z + y / z, ale z / ( x + y ) ≠ z / x + z / y, a podział będzie oznaczony jako rozdzielczy tylko po prawej stronie z szacunek do dodania.
Wśród liczb zespolonych interesującym przypadkiem są liczby całkowite Gaussa , które są zapisane w postaci z = n + m i przez n i m liczb całkowitych. Używamy rozdzielności mnożenia zespolonego, aby pokazać na przykład, że (1 + i) 2 = 1 + 2i + i 2 = 2i, to znaczy, że 1 + i jest pierwiastkiem kwadratowym z 2i. Mówiąc bardziej ogólnie, pokazujemy, że iloczyn dwóch liczb całkowitych Gaussa jest liczbą całkowitą Gaussa.
W algebrze ogólnej badamy struktury algebraiczne , czyli zbiory wyposażone w prawa kompozycji mające określone właściwości. W tym kontekście dystrybucja ma zastosowanie uogólniające do przypadków, w których:
Dystrybucja drugiego prawa wewnętrznego składu na pierwszym prawie wewnętrznego składu jest podstawową własnością pierścieni (a więc i ciał ): w pierścieniu A wyposażonym w dwa prawa wewnętrzne zaznaczone + i ×, prawo × musi być rozdzielcze ( prawy i lewy) względem +.
Te pierścienie iloraz ℤ odziedziczyć dodawanie i mnożenie liczb względnych, a te indukowane prawo zweryfikować rozdzielności mnożenia względem dodawania.
Rozkład mnożenia przez dzielenie pozostaje ważny dla kwaternionów Hamiltona, chociaż mnożenie kwaternionów nie jest przemienne .
Niektóre godne uwagi tożsamości, które obejmują dystrybucję, na przykład ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 i uogólnienia, również używają przemienności i dlatego nie są ważne dla pierścieni nieprzemiennych, takich jak pierścienie macierzy lub nieprzemienne pierścienie wielomiany . Oczywiście każda własność wynikająca z rozdzielności, która nie wymaga przemienności, pozostaje ważna w nieprzemiennych pierścieniach. (W omawianym przykładzie będziemy mieć ( a + b ) 2 = a 2 + ab + ba + b 2, jeśli ab ≠ ba ; ale zawsze mamy od wszystkich x dojazdów z 1 w dowolnym pierścieniu jednostkowym).
W definicji przestrzeni wektorowej The mnożenie zewnętrznego przez skalarnych jest rozdzielne względem dodawania wektorów. Tutaj mamy do czynienia z zewnętrznym, a nie wewnętrznym prawem składu, ale właściwość rozdzielająca pozostaje ważna (zarówno ta po lewej, jak i po prawej, która ((λ + μ) • x = λ • x + μ • x) implikuje dwa różne prawa dodawania: z jednej strony prawo skalarów, z drugiej prawo wektorów). Jest to zatem bardziej ogólne pojęcie rozdzielności, które nie jest szczególnym przypadkiem zdefiniowanym w preambule tego artykułu, gdzie wszystkie elementy należą do tego samego zbioru.
Bądź zbiór podzbiorów zbioru E . Podajemy dwa prawa wewnętrznego składu: związek ⋃ i przecięcie ⋂. W tym przypadku dwa prawa wewnętrznego składu są rozdzielcze względem siebie. Innymi słowy, dla dowolnej trójki ( A , B , C ) elementów :
A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )Rozkład jest również weryfikowany, jeśli weźmiemy pod uwagę symetryczną różnicę A Δ B : = ( A ⋃ B ) \ ( A ⋂ B ) zamiast sumy . W przeciwieństwie do łączenia, operacja nadającą grupa przemienna strukturę , a przy przecięciu logiczny pierścień struktury do .
Kratownica jest częściowo uporządkowanym E , w której każda para { x , y } ma górnej granicy x ⋁ Y i dolnej granicy x ⋀ y . Mówimy, że E jest kratą dystrybucyjną, jeśli dwa prawa wewnętrznego składu są rozdzielcze względem siebie. W tym przypadku dla dowolnej trójki ( x , y , z ) elementów E mamy:
x ⋁ ( y ⋀ z ) = ( x ⋁ y ) ⋀ ( x ⋁ z ) x ⋀ ( y ⋁ z ) = ( x ⋀ y ) ⋁ ( x ⋀ z )