Nieprzechodnie kości

Z nieprzechodnie kostki to zestaw kości gdzie jeśli pierwsza matryca jest bardziej prawdopodobne, aby dać wynik większy niż sekundę, a jeśli jest to bardziej prawdopodobne, że jedna trzecia, może nadal mieć więcej szans na wygraną nad pierwszą. Innymi słowy, relacja „ma większe prawdopodobieństwo podania większej liczby” nie jest tam przechodnia .

Ta sytuacja jest podobna do gry kamień-papier-nożyce, gdzie każdy element wygrywa z pozostałymi dwoma i przegrywa z ostatnim.

Przykłady

Ogólny przykład

Rozważ następujący zestaw trzech 6-ściennych kości A, B, C:

• kostka A ma liczby {2,2,4,4,9,9} na swoich ściankach;
• kostka B to {1,1,6,6,8,8};
• kostka C to {3,3,5,5,7,7}.

Więc :

• prawdopodobieństwo , że A podano liczbę większą niż B wynosi 5/9 (z 36 możliwych wyników matryca wygrywa 20 razy);
• prawdopodobieństwo, że B da większą liczbę niż C wynosi 5/9;
• prawdopodobieństwo, że C daje większą liczbę niż A wynosi 5/9.

W tym przykładzie jest bardziej prawdopodobne, że A wygra z B, który z kolei z większym prawdopodobieństwem wygra z C, który z kolei z większym prawdopodobieństwem da lepszy wynik niż A.

Średnia wartość każdego z trzech rozkładów wynosi 5.

Kości Efrona

Te kości Efron to zestaw czterech kości nie przechodni wymyślone przez Bradleya Efrona . Cztery kości A, B, C, D mają na swoich sześciu bokach następujące numery:

• O: 4, 4, 4, 4, 0, 0;
• B: 3, 3, 3, 3, 3, 3;
• C: 6, 6, 2, 2, 2, 2;
• D: 5, 5, 5, 1, 1, 1.

Prawdopodobieństwo, że A pokonuje B, B pokonuje C, C pokonuje D, a D pokonuje A, wynosi 2/3.

Inne prawdopodobieństwa różnią się w zależności od kości:

• prawdopodobieństwo, że A pokona C wynosi 4/9;
• prawdopodobieństwo, że B pokona D jest równe 1/2;
• prawdopodobieństwo, że C pokona A wynosi 5/9;
• prawdopodobieństwo, że D pokona B, wynosi 1/2.

Z drugiej strony prawdopodobieństwo, że jedna kostka pokona inną wybraną losowo spośród trzech pozostałych, nie jest równe w zależności od kości:

• w przypadku A jest to 13/27;
• dla B, 1/2;
• dla C, 14/27;
• dla D, 1/2.

Ogólnie rzecz biorąc, najlepszą kostką do wygrania całkowicie losowej gry jest zatem C, która wygrywa w prawie 52% przypadków.

Zauważ, że w tym przykładzie średnia wartość różni się w zależności od kości: średnia wartość „najlepszej” kości C wynosi 10/3, a „najgorszej” kości A wynosi 8/3.

Kości ponumerowane od 1 do 18

Gra na trzy kości wykorzystująca wszystkie liczby od 1 do 18 może być nieprzechodnia za pomocą następującej kombinacji:

• O: 1, 6, 11, 12, 13, 14
• B: 2, 3, 4, 15, 16, 17
• C: 5, 7, 8, 9, 10, 18

B pokonuje A, C pokonuje B, a A pokonuje C z prawdopodobieństwem 7/12.

Kości ponumerowane od 1 do 24

Gra na cztery kości wykorzystująca wszystkie liczby od 1 do 24 może być nieprzechodnia za pomocą następującej kombinacji:

• O: 1, 2, 16, 17, 18, 19
• B: 3, 4, 5, 20, 21, 22
• C: 6, 7, 8, 9, 23, 24
• D: 10, 11, 12, 13, 14, 15

B pokonuje A, C pokonuje B, D pokonuje C, a A pokonuje D z prawdopodobieństwem 2/3.

Kości Miwina

Kości Miwin  (in) zostały wynalezione w 1975 roku przez fizyków Michael Winkelmann i są rozprowadzane w następujący sposób:

• O: 1, 2, 5, 6, 7, 9
• B: 1, 3, 4, 5, 8, 9
• C: 2, 3, 4, 6, 7, 8

A wygrywa z B, B z C i C z A z prawdopodobieństwem 17/33.

Te kości mogą być użyte do losowania z jednakowym prawdopodobieństwem:

• jeśli weźmiemy losowo kostkę i rzucimy nią, otrzymamy wszystkie liczby od 1 do 9, rozłożone zgodnie z jednolitym prawem (ponieważ każda liczba jest reprezentowana dwukrotnie na łącznie osiemnastu ścianach);
• Jeśli weźmiemy losowo dwie kostki i pomnożymy ich wyniki, otrzymamy wszystkie iloczyny dwóch liczb od 1 do 9, pomiędzy 1 a 81, równomiernie rozłożonych zgodnie z jednolitym prawem . Jednak niektóre iloczyny o tej samej wartości (np. 6 równa się 1 razy 6 i 2 razy 3), a inne mają unikatową wartość (np. 7 równa się tylko iloczynowi 1 razy 7), otrzymane liczby nie mają wszystkich to samo prawdopodobieństwo.

Uwagi i referencje

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub całkowicie zaczerpnięty z anglojęzycznego artykułu Wikipedii zatytułowanego „  Nieprzechodnie kości  ” ( patrz lista autorów ) .

1. (w) Eric W. Weisstein , „  Kości Efrona  ” w MathWorld
2. Jean-Paul Delahaye: „Najsilniejsze kości” w „Les Nouvelles d'Archimède” nr 59 (styczeń-luty-marzec 2012) s.22-23
3. (w) Kości Miwina na miwin.com

Zobacz również

Powiązane artykuły

• Kości Sichermana
• Zjawisko Rogersa
• Paradoks Simpsona

Linki zewnętrzne

• (w) Tricky Dice Revisited ( Science News )
• (pl) Kości nieprzechodnie (Jim Loy)

Bibliografia

(w) Martin Gardner , kolosalny Księdze matematyki: Klasyczny zagadek, paradoksów, a problemy , 1 st ed, New York, Norton, 2001. ( ISBN  0-393-02023-1 ) , str.  286-311