Kryterium nieredukowalności Cohna

W wielomianu arytmetycznych , kryterium nieredukowalność Crohna to warunek wystarczający do wielomianu z całkowitych współczynników się nierozkładalny .

Stany

Jeśli liczba pierwsza $p jest$ zapisana w postaci dziesiętnej w postaci

p = a_ {m} 10 ^ {m} + a _ {{m-1}} 10 ^ {{m-1}} + \ dots + a_ {1} 10 + a_ {0} {\ text {with} } 0 \ leq a_ {k} \ leq 9

potem wielomian

a_ {m} X ^ {m} + a _ {{m-1}} X ^ {{m-1}} + \ ldots + a_ {1} X + a_ {0}

jest nieredukowalny w . $\ mathbb {Z} [X]$

To twierdzenie uogólnia na inne podstawy : Dla dowolnej liczby całkowitej $b$ ≥ 2, wielomian postaci $P (X) = a_ {m} X ^ {m} + a _ {{m-1}} X ^ {{m-1}} + \ ldots + a_ {1} X + a_ {0} {\ text {with}} 0 \ leq a_ {k} \ leq b-1$ jest nieredukowalna, gdy tylko $P$ $($ $b$ $)$ jest liczbą pierwszą. $\ mathbb {Z} [X]$

Notatki historyczne

Wersja bazowa 10 jest przypisany do Arthur Cohn - student Issai Schur - przez Pólya i Szegő i jego uogólnienia do dowolnej bazy $b$ ≥ 2 jest spowodowane Brillhart , Filaseta i Odlyzko .

W 2002 roku pan Ram Murty (in) przedstawił uproszczony dowód i historyczne szczegóły tego twierdzenia, wykazując również następujący wariant: Albo i . ${\ Displaystyle P (X) = a_ {m} X ^ {m} + a_ {m-1} X ^ {m-1} + \ ldots + a_ {1} X + a_ {0} \ in \ mathbb { Z} _ {m.} [X]}$ ${\ displaystyle H = \ max _ {0 \ równoważnik ja <m} | a_ {i} / a_ {m.} |}$ Jeśli istnieje liczba całkowita $b \geq H + 2$ taka, że $P ( b )$ jest liczbą pierwszą, to $P$ jest nieredukowalne na ℤ.

Demonstracja

Powód przez przeciwieństwo , zakładając redukcję $P$ i pokazując, że wtedy dla dowolnej liczby całkowitej $b \geq H + 2$ , $P ( b )$ jest złożona .

Niech więc będzie taka, że $P = QR$ . ${\ Displaystyle Q, R \ in \ mathbb {Z} [X] \ setminus \ {- 1,0,1 \}}$

Jeśli $Q$ nie jest stały, a następnie z, ponieważ każdy jest pierwiastkiem $P$ , (por korzeń rzeczywistej lub zespolonej wielomian # pierwsze oszacowanie ) W związku . ${\ displaystyle Q = c \ prod _ {i} (X- \ alpha _ {i})}$ $\ alpha_i$ ${\ Displaystyle | \ alfa _ {i} | <H + 1}$ ${\ Displaystyle | Q (b) | \ geq \ prod _ {i} (b- | \ alfa _ {i} |)> \ prod _ {i} (H + 2-H-1) = 1}$
Jeśli $Q$ jest stałe, to oczywiście nadal mamy $|$ $Q$ $($ $b$ $) |$ $> 1$ . ${\ displaystyle Q \ in \ mathbb {Z} \ setminus \ {- 1,0,1 \}}$

To samo rozumowanie dla $R$ , więc $P ( b ) = Q ( b ) R ( b )$ z $| Q ( b ) |, | R ( b ) | > 1$ .

Uwagi i odniesienia

( fr ) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu w angielskiej Wikipedii zatytułowanego „ Kryterium nieredukowalności Cohna ” ( patrz lista autorów ) .

Nie mylić z Paulem Cohnem .
(w) „ Arthur Cohn ” , na stronie internetowej Mathematics Genealogy Project .
(De) George Pólya i Gábor Szegő, Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis , vol. II, Springer ,1971, 4 th ed. ( 1 st ed. 1925) ( linia odczytu ) , s. 351- tłumaczenie: (en) George Pólya i Gábor Szegő, Problems and Theorems in Analysis , vol. II, Springer,1976( czytaj online ) , s. 330.
(w) John Brillhart, Michael i Andrew Odlyzko Filaseta, „ O nieredukowalności twierdzenia A. Cohna ” , CJM , tom. 33 N O 5,Dziewiętnaście osiemdziesiąt jeden, s. 1055-1059 ( czytaj online ).
(w) M. Ram Murty, " Liczby pierwsze i nieredukowalne wielomiany " , Amer. Matematyka. Miesiąc. , vol. 109 n O 5,2002, s. 452-458 ( czytaj online [dvi]).

Powiązane artykuły