Krzywa Lévy'ego

W matematyce The Levy krzywa lub C krzywa jest wstęga krzywej .

Opisany po raz pierwszy przez Ernesto Cesàro w 1906 roku i Georga Fabera w 1910 roku, teraz nosi imię francuskiego matematyka Paula Lévy'ego, który w 1938 roku jako pierwszy opisał jego właściwości samopodobieństwa i podał jedną z nich , konstrukcja geometryczna.

Nieruchomości

Wymiar Hausdorff z krzywej Lévy równe 2 (to zawiera otwarte zestawy). Wynik wywnioskowany bezpośrednio z jego konstrukcji przez dwukrotne dylatacje stosunku 1 / √ 2 .
Jej granica ma szacunkowy wymiar około 1,9340.
Krzywa Lévy toruje planu.
Jeśli oryginalny odcinek ma długość 1, obszar pokryty krzywą Lévy'ego jest równy 1/4.
Krzywa Lévy jest jedną z sześciu zwykłych rozściełaczy 2- samochodowych (można ją układać w dwóch egzemplarzach tej samej wielkości).
Jest to szczególny przypadek krzywej De Rham (en) .

Budowa w systemie Lindenmayer ( system L )

Konstrukcja krzywej Lévy'ego zaczyna się od prostego odcinka. Segment ten jest zastąpiony przez dwa boki trójkąta prostokątnego równoramiennego z pierwotnym segmentem przeciwprostokątnej. W kroku 2 krzywa jest zatem reprezentowana przez dwa segmenty pod kątem prostym. W porównaniu z oryginalnym segmentem te dwa segmenty są zmniejszone o współczynnik 1 / √ 2 .

Ta reguła jest stosowana iteracyjnie dla każdego nowego utworzonego segmentu.

Po n krokach krzywa składa się z odcinków długości pomniejszonych o współczynnik w porównaniu z odcinkiem pierwotnym. $2 ^ {n}$ $2 ^ {{n / 2}}$

Związany układ Lindenmayer można zatem opisać w następujący sposób:

Zmienne :	fa
Stałe :	+ -
Aksjomat :	fa
Zasady :	F → + F −− F +

Gdzie „ F ” oznacza „jedź prosto”, „+” oznacza „skręć w prawo pod kątem 45 °”, a „-” oznacza „skręć w lewo pod kątem 45 °”.

Zbiorem granicznym tego systemu L jest krzywa Lévy'ego.

Warianty

Krzywa standardowa jest konstruowana przy użyciu kątów 45 stopni. Warianty tej krzywej można opracować pod różnymi kątami. Dopóki kąt pozostaje mniejszy niż 60 stopni, nowe segmenty tworzone w każdym kroku pozostają mniejsze niż segment pierwotny, a całość zbiega się do krzywej granicznej.

Konstrukcja przez system iterowanych funkcji

Konstrukcja krzywej Lévy'ego przez system iterowanych funkcji opiera się na zbiorze dwóch liniowych funkcji kontrakcyjnych o stosunku 1 / √ 2 . Pierwsza wprowadza obrót o 45 °, druga o -45 °.

Krzywa Lévy'ego C w płaszczyźnie zespolonej można zatem zdefiniować jako atraktor dwóch podobieństw:

$h$ od środka 0 zdefiniowany przez ${\ Displaystyle h (z) = {\ Frac {1} {2}} (1+ \ mathrm {i}) z}$
$l$ środka 1 zdefiniowanego przez . ${\ Displaystyle l (z) = {\ Frac {1} {2}} \ lewo ((1- \ operatorname {i}) Z + (1+ \ matematyka {i}) \ prawej)}$

Uwagi i odniesienia

Uwagi

E. Cesaro, Funkcje ciągłe bez pochodnej , Archiv der Math. und Phys. 10 (1906) str. 57-63
G. Farber, Über stetige Funktionen II , Mathematische Annalen , 69 (1910) str. 372-443.
Paul Lévy, Krzywe płaszczyzny lub przestrzeni i powierzchnie składające się z części podobnych do całości (1938), przedrukowane w Classics on Fractals Gerald A. Edgar ed. (1993) Addison - Wesley , ( ISBN 0-201-58701-7 )
Duvall, P. i Keesling, J., The Hausdorff Dimension of the Boundary of the Lévy Dragon , 22 lipca 1999
Układanie samolotu po łuku Lévy'ego, Dubuc Serge i Li Jun
O dwóch gadach w samolocie, Ngai, 1999

Bibliografia

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w języku angielskim zatytułowanego „ Krzywa Lévy C ” ( zobacz listę autorów ) .
(en) S. Bailey, T. Kim, RS Strichartz, „ Inside the Lévy dragon ” , American Mathematical Monthly , vol. 109 N O 8,2002, s. 689–703

Zobacz też

Powiązane artykuły

Linki zewnętrzne

(en) Eric W. Weisstein , „ Lévy Fractal ” , na MathWorld