Skurcz tensora

W multilinear algebry , skurcz jest procesem obliczeń na tensorów udziałem dwoistość . We współrzędnych jest reprezentowany w bardzo prosty sposób za pomocą notacji Einsteina i polega na zrobieniu sumy na cichym indeksie. Możliwe jest skrócenie unikalnego tensora rzędu p do tensora rzędu p-2 , na przykład poprzez obliczenie śladu macierzy. Możliwe jest również zawarcie dwóch tensorów, co uogólnia pojęcie iloczynu macierzy.

Skurcz dla kilku tensorów

Najprostszym przykładem skurczu jest hak dwoistości . Jeśli E jest przestrzenią wektorową na (lub dowolnym polu K ) i jeśli E * jest przestrzenią podwójną , to skrócenie jest mapą bilinearnąR{\ displaystyle \ mathbb {R}}

⟨⋅,⋅⟩:mi∗×mi→R{\ Displaystyle \ langle \ cdot \ ,, \ cdot \ rangle \ dwukropek E ^ {*} \ razy E \ rightarrow \ mathbb {R}}

podane przez

⟨w~,b→⟩=w~(b→){\ Displaystyle \ langle {\ tylda {a}}, {\ vec {b}} \ rangle = {\ tylda {a}} ({\ vec {b}})}.

W komponentach taki skurcz jest zapisany

w~(b→)=wγbγ{\ Displaystyle {\ tilde {a}} ({\ vec {b}}) = a _ {\ gamma} b ^ {\ gamma}}

co zgodnie z konwencjami sumowania Einsteina jest skrótem sumy

wγbγ=∑ja=1niewjabja{\ Displaystyle a _ {\ gamma} b ^ {\ gamma} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b ^ {i}}

którego wynikiem jest skalar.

Postać dwuliniowa nazywana jest tensorem Kroneckera i jest zapisywana , gdzie jest przestrzenią tensorów mieszanych (raz kowariantnych, a raz kontrawariantnych). Tak więc . W oparciu o podwójną podstawę (patrz Kontrawariant, kowariant i wektor kowektora ), macierz jest macierzą tożsamości, gdzie są symbole Kroneckera: i jeśli . Innymi słowy . I znajdujemy dobrze . Wprowadzenie tensora Kroneckera wystarczy, aby zapewnić wewnętrzny charakter skurczu. ⟨⋅,⋅⟩{\ Displaystyle \ langle \ cdot \ ,, \ cdot \ rangle}δ∈T11(mi){\ Displaystyle \ delta \ in T_ {1} ^ {1} (E)}T11(mi){\ Displaystyle T_ {1} ^ {1} (E)}δ(w~,b→)=w~(b→){\ Displaystyle \ delta ({\ tilde {a}}, {\ vec {b}}) = {\ tilde {a}} ({\ vec {b}})}(mija→)ja=1,...,nie{\ Displaystyle \ lewo ({\ vec {e_ {i}}} \ prawej) _ {i = 1, ..., n}}(mija)ja=1,...,nie{\ Displaystyle (e ^ {i}) _ {i = 1, ..., n}}δ{\ displaystyle \ delta}ja=[δjotja]{\ Displaystyle I = [\ delta _ {j} ^ {i}]}δjotja{\ displaystyle \ delta _ {j} ^ {i}}δjaja=1{\ Displaystyle \ delta _ {i} ^ {i} = 1}δjotja=0{\ Displaystyle \ delta _ {j} ^ {i} = 0}ja≠jot{\ displaystyle i \ neq j}δ=∑ja=1niemi→ja⊗mija{\ displaystyle \ delta = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ vec {e}} _ {i} \ otimes e ^ {i}}δ(w~,b→)=∑ja=1niemi→ja(w~)mija(b→)=∑ja=1niewjabja{\ Displaystyle \ delta ({\ tilde {a}}, {\ vec {b}}) = \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ vec {e}} _ {i} ({\ tilde {a}}) e ^ {i} ({\ vec {b}}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b ^ {i}}

Uogólnienie: skrócenie tensora

Dla prostego iloczynu tensorowego rzędu ( m , n ), czyli m wektorów o n formach liniowych, możemy zawęzić dowolny wektor do dowolnej postaci liniowej: S=x1⊗⋯⊗xm⊗y1⊗⋯⊗ynie∈mi⊗m⊗mi∗⊗nie{\ displaystyle S = x_ {1} \ otimes \ dots \ otimes x_ {m} \ otimes y ^ {1} \ otimes \ dots \ otimes y ^ {n} \ in E ^ {\ otimes m} \ otimes E ^ {* \; \ otimes n}}

[S]jotja=yjot(xja)x1⊗⋯⊗xja-1⊗xja+1⊗⋯⊗xm⊗y1⊗⋯⊗yjot-1⊗yjot+1⊗⋯⊗ynie{\ Displaystyle [S] _ {j} ^ {i} = y ^ {j} (x_ {i}) \; x_ {1} \ otimes \ dots \ otimes x_ {i-1} \ otimes x_ {i + 1} \ otimes \ dots \ otimes x_ {m} \ otimes y ^ {1} \ otimes \ dots \ otimes y ^ {j-1} \ otimes y ^ {j + 1} \ otimes \ dots \ otimes y ^ { nie}}

W komponentach, jeśli i , ten skrót jest zapisany: yjot≡y~jot=yγjotmi~γ{\ Displaystyle y ^ {j} \ equiv {\ tilde {y}} ^ {j} = y _ {\ gamma} ^ {j} {\ tilde {e}} ^ {\ gamma}}xja≡x→ja=xjaγmi→γ{\ Displaystyle x_ {i} \ equiv {\ vec {x}} _ {i} = x_ {i} ^ {\ gamma} {\ vec {e}} _ {\ gamma}}

[S]jotja=yγjotxjaγx1⊗⋯⊗xja-1⊗xja+1⊗⋯⊗xm⊗y1⊗⋯⊗yjot-1⊗yjot+1⊗⋯⊗ynie{\ Displaystyle [S] _ {j} ^ {i} = y _ {\ gamma} ^ {j} x_ {i} ^ {\ gamma} \; x_ {1} \ otimes \ dots \ otimes x_ {i- 1} \ otimes x_ {i + 1} \ otimes \ dots \ otimes x_ {m} \ otimes y ^ {1} \ otimes \ dots \ otimes y ^ {j-1} \ otimes y ^ {j + 1} \ otimes \ dots \ otimes y ^ {n}}

i podaje tensor rozkazu . (m-1,nie-1){\ Displaystyle (m-1, n-1)}

Ta definicja jest zgodna z zasadami obliczania iloczynu tensorowego i rozciąga się przez liniowość na dowolny tensor T (skończona liniowa kombinacja prostych iloczynów tensorowych, takich jak S ).

Praktyczne obliczenia w składnikach przeprowadza się przez nadanie tych samych wartości dwóm indeksom, które mają być następnie skurczone, przez zsumowanie, przy jednoczesnym zachowaniu wolnych wskaźników. Na przykład dla tensora (2,2) w przestrzeni o wymiarze 4, jeden ze skurczów jest zgodny z konwencją sumowania Einsteina  :

Tγβαβ=Tγ0α0+Tγ1α1+Tγ2α2+Tγ3α3=Uγα{\ Displaystyle T _ {\ gamma \ beta} ^ {\ alpha \ beta} = T _ {\ gamma 0} ^ {\ alpha 0} + T _ {\ gamma 1} ^ {\ alpha 1} + T _ { \ gamma 2} ^ {\ alpha 2} + T _ {\ gamma 3} ^ {\ alpha 3} = U _ {\ gamma} ^ {\ alpha}}

Skurcz kilku tensorów

Skurcz tensora T z tensorem T ' jest skurczem ich iloczynu tensora , obejmującego indeks T i indeks T ′ . T⊗T′{\ displaystyle T \ otimes T '}

Zatem macierze można postrzegać jako tensory typu (1,1). Iloczyn P dwóch macierzy M i N jest skurczem

MβαNIEγβ=P.γα{\ Displaystyle M _ {\ beta} ^ {\ alpha} N _ {\ gamma} ^ {\ beta} = P _ {\ gamma} ^ {\ alpha}}.

Skurcz z tensorem metrycznym

Skurcz z tensorem metrycznym pozwala rozszerzyć właściwości dualności. Wynik, zwany transformacją kontrakotyczną, umożliwia „w górę lub w dół” indeksów, to znaczy przekształcenie składników kowariantnych w składniki kontrawariantne lub odwrotnie. Możliwe jest wtedy wykonanie nowych skurczów.

Na przykład w geometrii Riemanniana możliwość ta jest wykorzystywana do definiowania tensora Ricciego i krzywizny skalarnej na podstawie tensora krzywizny .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">