W numerze teorii , że hipoteza pólyi stwierdza, że większość (czyli więcej niż połowa) naturalnymi liczbami całkowitymi mniej niż dana liczba całkowita mają nieparzystą liczbę głównych czynników . Hipoteza została wysunięta przez węgierskiego matematyka George'a Pólyę w 1919 roku. W 1958 roku okazało się, że jest błędna. Rozmiar najmniejszego kontrprzykładu jest często używany do pokazania, że przypuszczenie może być prawdziwe dla wielu liczb, a jednocześnie jest fałszywe.
Hipoteza Pólya stwierdza, że dla dowolnej liczby całkowitej n większej od 2, jeśli podzielimy liczby naturalne mniejsze lub równe n (nie licząc 0) między te, które mają nieparzystą liczbę czynników pierwszych i te, które mają 1. liczbę parzystą, to pierwszy zestaw ma więcej (lub tyle) elementów, co drugi. Zauważ, że czynniki pierwsze są liczone tyle razy, ile się powtarzają. Zatem 24 = 2 3 × 3 1 ma 3 + 1 = 4 czynniki pierwsze, podczas gdy 30 = 2 × 3 × 5 ma 3 czynniki pierwsze.
Równoważnie, hipotezę można sformułować za pomocą funkcji Liouville'a w następujący sposób:
dla wszystkich n > 1. Tutaj λ ( k ) = (−1) Ω ( k ) jest równe 1, jeśli liczba czynników pierwszych liczby całkowitej k jest parzysta, a -1, jeśli jest nieparzysta. Funkcja Ω zlicza całkowitą liczbę czynników pierwszych liczby całkowitej.
Przypuszczenie Polya zostało obalone przez C. Briana Haselgrove'a w 1958 roku. Okazało się, że miała przykład wad, oszacował go na około 1845 x 10 361 .
Wyraźny kontrprzykład dla n = 906 180 359 podał R. Sherman Lehman w 1960 r .; najmniejszy kontrprzykład to n = 906 150 257, znaleziony przez Minoru Tanaka w 1980 roku.
Hipoteza Pólya jest błędna dla większości wartości n w obszarze 906 150 257 ≤ n ≤ 906 488 079. W tym regionie funkcja Liouville osiąga maksymalną wartość 829 w n = 906 316 571.