Współczynnik Fresnela

Te współczynniki Fresnela , wprowadzone Augustin Jean Fresnela (1788-1827), interweniować w opisie zjawiska odbicia - załamanie się fal elektromagnetycznych na styku pomiędzy dwoma mediami, którego współczynnik załamania jest inny. Wyrażają związki między amplitudami fal odbitych i transmitowanych w odniesieniu do amplitudy fali padającej.

Generał

Współczynnik odbicia amplitudy r i współczynnik przenikania amplitudy t pola elektrycznego są określone przez:

r = \ frac {E_ {r}} {E_ {i}}

t = \ frac {E_ {t}} {E_ {i}}

gdzie E i , E r i E t są amplitudami związanymi odpowiednio ze zdarzeniem, odbitym i przepuszczonym (załamanym) polem elektrycznym.

Ogólnie współczynniki te zależą od:

te wskaźniki optyczne mediów wejściowych i wyjściowych, odpowiednio n 1 i n 2
częstotliwości f fali padającej
kąty padania θ i = θ 1 i refrakcji-transmisji θ t = θ 2 ,
o polaryzacji fal. Polaryzacja fali, która może być modyfikowana podczas przekraczania granicy faz.

Uzyskuje się je, biorąc pod uwagę relacje ciągłości na styku składowych stycznych pól elektrycznych i magnetycznych związanych z falą.

Obliczenia współczynników w przypadku ogólnym

Rozważmy 2 media, o różnych współczynnikach załamania światła, oddzielone płaszczyzną.

Hipotezy robocze

Fala padająca jest falą płaską, wektorem falowym i pulsacją . ${\ vec {k}}$ $\omega$

Obliczone tutaj współczynniki Fresnela obowiązują tylko przy następujących założeniach w mediach:

Są niemagnetyczne .
Są liniowe , jednorodne i izotropowe .

Dodaje się również hipotezę obliczeniową, a mianowicie hipotezę harmoniczną, polegającą na rozpatrywaniu wielkości elektromagnetycznych przy określonej częstotliwości i zapisywaniu ich jako części rzeczywistych wielkości złożonych. Upraszcza to obliczenia, a także umożliwia estetyczne wyprowadzenie z równań zjawisk elektromagnetycznych, takich jak pochłanianie, przesunięcie fazowe fali, fale zanikające ...

Współczynniki Fresnela zależą od polaryzacji pola elektromagnetycznego, ogólnie rozważamy 2 przypadki:

Elektryczne poprzeczne (TE): padające pole elektryczne jest spolaryzowane prostopadle do płaszczyzny padania, pole magnetyczne jest zawarte w płaszczyźnie padania.
Magnetic Transverse (TM): padające pole magnetyczne jest spolaryzowane prostopadle do płaszczyzny padania, pole elektryczne jest zawarte w płaszczyźnie padania.

Przypadek elektrycznych fal poprzecznych

Rozważmy falę elektromagnetyczną płaską:

{\ Displaystyle {\ vec {E}} = E \, \ exp {i ({\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r}} - \ omega t)} \, {\ vec {e}} _ {y}}

, gdzie

E

reprezentuje złożoną amplitudę

{\ Displaystyle {\ vec {H}} = {\ Frac {1} {\ mu _ {0} \, \ omega}} ({\ vec {k}} \ klin {\ vec {E}})}

W przypadku, gdy padające pole elektryczne jest spolaryzowane prostopadle do płaszczyzny padania , styczne składowe pola elektrycznego i pola magnetycznego są ciągłe:

{\ displaystyle {\ begin {przypadków} E_ {i} + E_ {r} = E_ {t} & \ Rightarrow 1 + r _ {\ mathrm {TE}} = t _ {\ mathrm {TE}} \\ - H_ {i} \ cos \ theta _ {1} + H_ {r} \ cos \ theta _ {1} = - H_ {t} \ cos \ theta _ {2} & \ Rightarrow k_ {iz} (1-r _ {\ mathrm {TE}}) = k_ {tz} t _ {\ mathrm {TE}} \ end {przypadki}}}

Następnie zapisuje się współczynniki transmisji i odbicia:

{\ displaystyle r _ {\ mathrm {TE}} = {\ frac {k_ {iz} -k_ {tz}} {k_ {iz} + k_ {tz}}}}

{\ displaystyle t _ {\ mathrm {TE}} = {\ frac {2k_ {iz}} {k_ {iz} + k_ {tz}}}}

Wprowadzając dla każdego ośrodka zależność dyspersji , otrzymujemy współczynniki Fresnela jako funkcję charakterystyk padania (n 1 , θ 1 ) i załamania (n 2 , θ 2 ): $k = \ frac {\ omega} {c} n$

{\ Displaystyle r _ {\ mathrm {TE}} = {\ Frac {n_ {1} \ cos \ theta _ {1} -n_ {2} \ cos \ theta _ {2}} {n_ {1} \ cos \ theta _ {1} + n_ {2} \ cos \ theta _ {2}}}}

{\ Displaystyle t _ {\ mathrm {TE}} = {\ Frac {2n_ {1} \ cos \ theta _ {1}} {n_ {1} \ cos \ theta _ {1} + n_ {2} \ cos \ theta _ {2}}}}

Dyskusja: ponieważ współczynniki załamania są złożone, polaryzacja fali transmitowanej i odbitej może być modyfikowana w porównaniu z falą padającą. Nawet w przypadku, gdy te wskaźniki są rzeczywiste, w przypadku możliwe jest, że współczynnik odbicia stanie się ujemny, a fala odbita jest wtedy poza fazą o 180 ° w stosunku do fali padającej (patrz rysunek). $n_ {2}> n_ {1}$

Jedynym sposobem, aby anulować współczynnik odbicia jest, biorąc pod uwagę przepisy Snell-Kartezjusza , aby mieć . W konsekwencji, elektryczna fala spolaryzowana poprzecznie ulega odbiciu, gdy tylko przejdzie przez ośrodek o innym współczynniku optycznym, co nie ma miejsca w przypadku poprzecznej fali magnetycznej (istnienie kąta Brewstera ). $n_1 = n_2$

Przypadek magnetycznych fal poprzecznych

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadków} H_ {i} -H_ {r} = H_ {t} & \ Rightarrow k_ {1} (1-r _ {\ mathrm {TM}}) = k_ {2} \, t_ {\ mathrm {TM}} \\ E_ {i} \ cos \ theta _ {1} + E_ {r} \ cos \ theta _ {1} = E_ {t} \ cos \ theta _ {2} & \ Rightarrow (1 + r _ {\ mathrm {TM}}) \ cos \ theta _ {1} = t _ {\ mathrm {TM}} \ cos \ theta _ {2} \ end {cases}}}

Skąd :

{\ Displaystyle r _ {\ mathrm {TM}} = {\ Frac {k_ {2} \ cos \ theta _ {1} -k_ {1} \ cos \ theta _ {2}} {k_ {1} \ cos \ theta _ {2} + k_ {2} \ cos \ theta _ {1}}} \ \}

i .

{\ Displaystyle \ \ t _ {\ mathrm {TM}} = {\ Frac {2k_ {1} \ cos \ theta _ {1}} {k_ {1} \ cos \ theta _ {2} + k_ {2} \ cos \ theta _ {1}}}}

Wprowadzając dla każdego ośrodka zależność dyspersji , otrzymujemy współczynniki Fresnela jako funkcję charakterystyk padania ( ) i załamania ( ): $k = \ frac {\ omega} {c} n$ ${\ Displaystyle n_ {1} \ theta _ {1}}$ ${\ Displaystyle n_ {2} \ theta _ {2}}$

{\ Displaystyle r _ {\ mathrm {TM}} = {\ Frac {n_ {2} \ cos \ theta _ {1} -n_ {1} \ cos \ theta _ {2}} {n_ {1} \ cos \ theta _ {2} + n_ {2} \ cos \ theta _ {1}}} \ \}

i .

{\ Displaystyle \ \ t _ {\ mathrm {TM}} = {\ Frac {2n_ {1} \ cos \ theta _ {1}} {n_ {1} \ cos \ theta _ {2} + n_ {2} \ cos \ theta _ {1}}}}

Uwaga: w zależności od pracy znaki współczynników Fresnela są różne. Wynika to z arbitralnych orientacji poczynionych na początku. Na przykład, przesunięcie do przodu na rysunku H r sprowadza się do zastąpienia, dla obliczenia r , E r przez -E r, co spowoduje zmianę znaku współczynnika. Przy obliczaniu filtrów interferencyjnych zostaną uwzględnione współczynniki Fresnela do obliczenia przesunięcia fazowego w odbiciu między warstwami filtra.

Dyskusja: przypadek TM jest niezwykły z dwóch powodów:

współczynnik odbicia może wynosić zero dla kąta padania, zwanego kątem Brewstera ;
w pewnych sytuacjach (interfejs metal-powietrze) mianownik współczynnika odbicia TM może wynosić zero (współczynnik staje się nieskończony). Otrzymujemy wtedy falę odbitą i falę transmitowaną bez fali padającej: badanie mianownika określa następnie warunki realizacji, składowe wektorów falowych są wtedy urojone. Dlatego proces wykorzystuje zanikające fale i powoduje pojawienie się plazmonów powierzchniowych .

Rozszerzenie na przypadek wielu interfejsów

Globalne współczynniki Fresnela można zdefiniować dla systemu składającego się z kilku warstw mediów o różnych indeksach.

W poniższych obliczeniach uwzględniane są przenikalności dielektryczne, a nie współczynniki załamania światła , aby uprościć zapisy. $\ left (\ varepsilon = n ^ {2} \ right)$

Przypadek dwóch interfejsów

Rozważmy 3 nośnik , i różnych kolejnych permittivities dielektrycznych, oddzielone przez 2 interfejsów płaszczyzny. $Mój}$ $M_ {b}$ $M_ {c}$

Niech będzie grubość ( i są pół-nieskończone). $re$ $M_ {b}$ $Mój}$ $M_ {c}$
Niech i będą odpowiednio kątami padania i załamania na granicy faz między i (gdzie i, j = a, b lub b, c). $\ theta_ {i}$ $\ theta_ {j}$ $Środek}$ $M_ {j}$
Niech składowa wzdłuż z wektora falowego wejdzie do środka $k_ {bz} = \ sqrt {k ^ {2} _ {b} - k ^ {2} _ {bx}} = \ frac {\ omega} {c} \ sqrt {\ varepsilon_ {b} - \ varepsilon_ { b} \ sin ^ {2} \ theta_ {b}}$ $M_ {b}$
Lub współczynnik odbicia między i, jak zdefiniowano wcześniej ( zależy od polaryzacji TM lub TE, a także od kątów i , przy i, j = a, b lub b, c). $r_ {ij}$ $Środek}$ $M_ {j}$ $r_ {ij}$ $\ theta_ {i}$ $\ theta_ {j}$

Następnie zapisuje się ogólne współczynniki odbicia i przepuszczalności:

r_ {g} = \ frac {r_ {ab} + r_ {bc} e ^ {2 i k_ {bz} d}} {1 + r_ {ab} r_ {bc} e ^ {2 i k_ {bz} d }}

{\ displaystyle t_ {g} = {\ frac {t_ {ab} t_ {bc} e ^ {ik_ {bz} d}} {1 + r_ {ab} r_ {bc} e ^ {2ik_ {bz} d} }}}

Zależności te opisują zachowanie prostej płytki o równoległych ścianach, a także bardziej spektakularne przypadki warstw antyodbiciowych lub powstawania plazmonów powierzchniowych : w tym celu gramy na indeksie i grubości ośrodka pośredniego w funkcji indeksy, środowiska ekstremalne.

Przypadek n interfejsów

Na podstawie powyższych wyników można zdefiniować przez indukcję globalne współczynniki Fresnela dla n interfejsów.

Rozważmy n + 1 mediów o różnych kolejnych przenikalnościach dielektrycznych, oddzielonych n płaszczyznami interfejsów.

Niech będzie p-tym punktem środkowym. 1 ≤ p ≤ n + 1. $Poseł}$
Niech będzie grubością (2 ≤ p ≤ n, ponieważ i są pół-nieskończone). $d_ {p}$ $Poseł}$ $M_ {1}$ $M_ {n + 1}$
Niech i będą odpowiednio kątami padania i załamania na granicy faz między i . $\ theta_ {p}$ $\ theta_ {p + 1}$ $Poseł}$ $M_ {p + 1}$
Niech będzie następującą składową z wektora falowego w p-tym ośrodku. $k_ {pz} = \ sqrt {k ^ {2} _ {p} - k ^ {2} _ {px}} = \ frac {\ omega} {c} \ sqrt {\ varepsilon_ {p} - \ varepsilon_ { p} \ sin ^ {2} \ theta_ {p}}$
Lub współczynnik odbicia między i, jak zdefiniowano wcześniej ( zależy od polaryzacji TM lub TE, a także od kątów i ). $r_ {p, p + 1}$ $Poseł}$ $M_ {p + 1}$ $r_ {p, p + 1}$ $\ theta_ {p}$ $\ theta_ {p + 1}$

Zaczynamy od , a następnie dla p = n do 2 stosujemy relację rekurencji: $U_ {n} = r_ {n, n + 1}$

U_ {p - 1} = \ frac {r_ {p - 1, p} + U_ {p} e ^ {2 i k_ {pz} d_ {p}}} {1 + r_ {p - 1, p} U_ {p} e ^ {2 i k_ {pz} d_ {p}}}

Następnie zapisywany jest globalny współczynnik odbicia . $r_ {g} = U_ {1}$

Różnica między mediami dielektrycznymi i metalicznymi

Współczynniki Fresnela powinny być różne dla dielektryków i metali, ponieważ obecność lub brak wolnych prądów i ładunków w mediach nie oznacza tych samych relacji przejścia, a zatem tych samych współczynników Fresnela. Jednak w przypadku wielu tak zwanych metali „omowych” (opisanych przez przewodnictwo σ), istnieje możliwość zastąpienia jednorodnego metalu omowego (ε, μ 0 , σ) jednorodnym dielektrykiem przenikalności . Dzięki temu równoważnemu opisowi metal-dielektryk w reżimie harmonicznym możemy rozważyć te same wyrażenia dla współczynników Fresnela, niezależnie od tego, czy jest to dielektryk, czy metal omowy. W tym przypadku zmienia się wyraz przenikalności. $\ varepsilon _ {\ mathrm {eff}} = \ varepsilon - \ frac {i \ sigma} {\ omega}$

Uwagi różne

Należy zauważyć, że współczynnik przepuszczalności od medium 1 do medium 2 różni się od współczynnika transmisji od medium 2 do medium 1 (przy normalnym występowaniu ich stosunek jest równy stosunkowi wskaźników). To samo dotyczy współczynnika odbicia (tym razem zmienia się znak).
Generalnie współczynniki Fresnela, zdefiniowane na granicy między dwoma mediami, biorą udział w ocenie zachowania optycznego wielowarstw optycznych , od najprostszej z nich, czyli płytki o równoległej powierzchni, do najbardziej złożonej: warstwy przeciwodblaskowe , filtry interferencyjne lub kryształy fotoniczne. Współczynniki odbicia i przepuszczalności tych zestawów obejmują, oprócz współczynników specyficznych dla każdego interfejsu, ścieżkę optyczną w każdej z warstw.
W przypadku zastosowań o niskiej precyzji obejmujących niespolaryzowane światło, takich jak grafika komputerowa, zamiast rygorystycznego obliczania efektywnego współczynnika odbicia dla każdego kąta często stosuje się przybliżenie Schlicka .

Uwagi i odniesienia

Max Born i Emil Wolf, Principles of Optics , 4th.ed., Pergamon Press, 1970, s. 62 [ czytaj online ]

Zobacz też

Powiązane artykuły

Linki zewnętrzne

Pełna symulacja relacji Fresnela i głównych instrumentów optycznych. Uniwersytet Paris XI

Leksykony

José-Philippe Pérez, Optyka: Fundamenty i zastosowania [ szczegóły wydań ]
R. Petit, Fale elektromagnetyczne w radioelektryczności i optyce , Masson,1993( ISBN 2-225-81571-2 )
John David Jackson ( tłum. Z angielskiego), klasyczna elektrodynamika [" Classical Electrodynamics "] [ publikowanie szczegółów ]
(en) MH Choudhury, Electromagnetism , John Wiley & Sons, Inc.,1989( ISBN 0-470-21479-1 )
(en) DR Frankl, teoria elektromagnetyczna , Prentice-Hall, Inc.,1986( ISBN 0-13-249095-1 )
(en) RD Stuart, teoria pola elektromagnetycznego , Addison-Wesley publishing company, Inc.,1965
(en) A. Ishimaru, Propagacja fal elektromagnetycznych, promieniowanie i rozpraszanie , klify Englewood (New Jersey), Prentice-Hall, Inc.,1991, 637 str. ( ISBN 0-13-249053-6 )