Obwód RC

Obwód RC jest obwód elektryczny , składający się z rezystora i kondensatora połączonych szeregowo lub równolegle . W ich konfiguracji seryjnej, obwody RC pozwalają na tworzenie elektronicznych niskich -pass lub górnoprzepustowy filtrów . Stała czasowa obwodu RC jest iloczynem wartości tych dwóch elementów. $\ tau$

Obwód szeregowy

Funkcje transferu

Niech ten kondensator impedancji : $Z_ {C} (\ omega)$

Z_ {C} (\ omega) = {\ frac {1} {jC \ omega}}

Napięcie na rezystorze lub kondensatorze można obliczyć, biorąc pod uwagę zespół jako nieobciążony dzielnik napięcia :

V_ {C} (\ omega) = {\ frac {Z_ {C} (\ omega)} {Z_ {C} (\ omega) + R}} V _ {{in}} (\ omega) = {\ frac {1} {1 + jRC \ omega}} V _ {{in}} (\ omega)

V_ {R} (\ omega) = {\ frac {R} {Z_ {C} (\ omega) + R}} V _ {{in}} (\ omega) = {\ frac {jRC \ omega} {1 + jRC \ omega}} V _ {{in}} (\ omega)

Zwróć uwagę na funkcję przenoszenia uzyskaną przez uwzględnienie napięcia na kondensatorze jako napięcia wyjściowego i jeśli użyjemy tego na rezystorze. i uzyskuje się odpowiednio dzięki wyrażeniom i : $H_ {C}$ $H_ {R}$ $H_ {C}$ $H_ {R}$ $V_C$ $V_ {R}$

H_ {C} (\ omega) = {V_ {C} (\ omega) \ ponad V _ {{in}} (\ omega)} = {1 \ ponad 1 + jRC \ omega}

H_ {R} (\ omega) = {V_ {R} (\ omega) \ over V _ {{in}} (\ omega)} = {jRC \ omega \ over 1 + jRC \ omega}

Dla dipola możemy zapisać funkcję przejścia w postaci , gdzie jest wzmocnienie dipola i jego faza . Więc : $H (\ omega) = Ge ^ {{j \ varphi}} \,$ $G \,$ $\ varphi \,$

H_ {C} (\ omega) = G_ {C} e ^ {{j \ varphi _ {C}}}

G_ {C} = {\ frac {1} {{\ sqrt {1+ \ left (\ omega RC \ right) ^ {2}}}}}

\ varphi _ {C} = \ arctan \ left (- \ omega RC \ right)

To samo dotyczy : $H_ {R}$

H_ {R} (\ omega) = G_ {R} e ^ {{j \ varphi _ {R}}}

G_ {R} = {\ frac {\ omega RC} {{\ sqrt {1+ \ left (\ omega RC \ right) ^ {2}}}}}

\ varphi _ {R} = \ arctan \ left ({\ frac {1} {\ omega RC}} \ right)

Analiza częstotliwości

Analiza częstotliwości zespołu pozwala określić, które częstotliwości filtr odrzuca lub akceptuje. Dla niskich częstotliwości ma moduł bliski jedności i fazę bliską zeru. Im bardziej wzrasta częstotliwość, tym bardziej jego moduł maleje, dążąc do zera i jego fazy . Odwrotnie , ma moduł bliski zeru przy niskich częstotliwościach i fazę bliską do, a gdy częstotliwość wzrasta, jej moduł zmierza do jedności, a faza do zera. $H_ {C}$ $- \ pi / 2$ $H_ {R}$ $\ pi / 2$

Kiedy : $\ omega \ na 0$

G_ {C} \ do 1

i .

\ varphi _ {C} \ do 0

G_ {R} \ do 0

i .

\ varphi _ {R} \ do 90 ^ {{\ circ}} = \ pi / 2

Kiedy : $\ omega \ do \ infty$

G_ {C} \ do 0

\ varphi _ {C} \ to -90 ^ {{\ circ}} = - \ pi / 2

G_ {R} \ do 1

i .

\ varphi _ {R} \ do 0

Tak więc, gdy wyjście filtra jest pobierane z kondensatora, zachowanie jest typu filtra dolnoprzepustowego : wysokie częstotliwości są tłumione, a niskie przechodzą. Jeśli wyjście jest pobierane z rezystora, następuje odwrotność i obwód zachowuje się jak filtr górnoprzepustowy .

Częstotliwości odcięcia obwodu, w którym określa się 3 dB granicę pomiędzy atenuowane częstotliwości i które nie jest równa: $f_ {c}$

f_ {c} = {\ frac {1} {2 \ pi RC}}

(w Hz )

Analiza czasu

Dla uproszczenia analiza czasowa zostanie przeprowadzona z wykorzystaniem transformaty Laplace'a p . Zakładając, że obwód jest poddawany skokowi napięcia o amplitudzie V na wejściu ( dla i nie): $V _ {{in}} = 0 \,$ $t = 0 \,$ $V _ {{in}} = V \,$

V _ {{in}} (p) = {\ frac {V} {p}}

V_ {C} (p) = H_ {C} (p) V _ {{in}} (p) = {\ frac {1} {1 + pRC}} {\ frac {V} {p}}

V_ {R} (p) = H_ {R} (p) V _ {{in}} (p) = {\ frac {pRC} {1 + pRC}} {\ frac {V} {p}}

Odwrotna transformata Laplace'a tych wyrażeń daje:

V_ {C} (t) = V \ left (1-e ^ {{- t / RC}} \ right)

V_ {R} (t) = Ve ^ {{- t / RC}} \,

W tym przypadku kondensator ładuje się, a napięcie na nim ma tendencję do V, podczas gdy napięcie na rezystorze ma tendencję do 0.

Obwód RC ma stałą czasową , ogólnie zauważaną , reprezentującą czas potrzebny do wykonania przez napięcie 63% = ( ) zmiany wymaganej, aby przejść od wartości początkowej do wartości końcowej. $\ tau = CR \,$ $1-e ^ {{- 1}}$

Możliwe jest również wyprowadzenie tych wyrażeń z równań różniczkowych opisujących obwód:

{\ frac {V _ {{in}} - V_ {C}} {R}} = C {\ frac {dV_ {C}} {dt}}

V_ {R} = V _ {{in}} - V_ {C} \,

Rozwiązania są dokładnie takie same, jak te otrzymane przez transformatę Laplace'a.

Integrator

Przy wysokiej częstotliwości, to znaczy, jeśli kondensator nie ma czasu na ładowanie, a napięcie na jego zaciskach pozostaje niskie. $\ omega \ gg {\ frac {1} {RC}}$

Więc :

V_ {R} \ ok. V _ {{in}}

a natężenie w obwodzie jest zatem:

Ja \ ok {\ frac {V _ {{in}}} {R}}

Tak jak,

V_ {C} = {\ frac {1} {C}} \ int _ {{0}} ^ {{t}} Idt

otrzymujemy:

V_ {C} \ ok {\ frac {1} {RC}} \ int _ {{0}} ^ {{t}} V _ {{in}} dt

Napięcie na kondensatorze zatem integruje napięcia wejściowego i zachowuje się jak obwód w integrującej obwodzie , to znaczy jak filtr dolnoprzepustowy.

Odchylacz

Przy niskiej częstotliwości, to znaczy jeśli kondensator ma czas na prawie całkowite naładowanie. $\ omega \ ll {\ frac {1} {RC}}$

Więc,

Ja \ około {\ frac {V _ {{in}}} {1 / j \ omega C}}

V _ {{in}} \ około {\ frac {I} {j \ omega C}} \ około V_ {C}

Teraz,

V_ {R} = IR = C {\ frac {dV_ {C}} {dt}} R

V_ {R} \ ok RC {\ frac {dV _ {{in}}} {dt}}

Dlatego napięcie na rezystorze pochodzi z napięcia wejściowego, a obwód zachowuje się jak zespół zmiany biegów , to znaczy jak filtr górnoprzepustowy. W związku z tym :

{\ frac {V_ {R}} {V _ {{in}}}} = RC \ omega

Intensywność

Natężenia prądu jest taki sam na całym obwodzie, ponieważ jest połączenie szeregowe:

I (\ omega) = {\ frac {V _ {{in}} (\ omega)} {R + Z_ {C}}} = {jC \ omega \ over 1 + jRC \ omega} V _ {{in} } (\ omega)

Odpowiedź impulsowa

Odpowiedź impulsowa jest odwrotną transformatą Laplace'a odpowiedniej funkcji transferu i reprezentuje odpowiedź obwodu na impuls .

Dla kondensatora:

h_ {L} (t) = {1 \ over RC} e ^ {{- t / RC}} u (t) = {1 \ over \ tau} e ^ {{- t / \ tau}} u (t )

gdzie jest funkcją Heaviside i jest stałą czasową . $u (t) \,$ $\ tau \ = \ RC$

Na opór:

h_ {L} (t) = - {1 \ over RC} e ^ {{- t / RC}} u (t) = - {1 \ over \ tau} e ^ {{- t / \ tau}} u (t)

Obwód równoległy

Równoległy obwód RC jest generalnie mniej interesujący niż szeregowy obwód RC: napięcie wyjściowe jest równe napięciu wejściowemu, może być używane tylko jako filtr, gdy jest zasilane przez źródło prądu .

Intensywności w dwóch dipolach są następujące:

I_ {R} = {\ frac {V _ {{in}}} {R}}

I_ {C} = j \ omega CV _ {{in}} \,

Prąd w kondensatorze jest przesunięty w fazie pod kątem 90 ° z prądem wejściowym (i rezystancją).

Poddany skokowi napięcia kondensator szybko się ładuje i można go uznać za obwód otwarty, a zatem obwód zachowuje się jak zwykły opór.

Uwagi i odniesienia

Zobacz też

Powiązane artykuły