W geometrii różniczkowej The koło osculating lub koło krzywizny w punkcie krzywej Przedmiotem umożliwiające lokalne opis tej krzywej. Wśród okręgów przechodzących przez ten punkt jest to ten, który „splata tę krzywą najlepiej jak to możliwe”, a więc lepszy niż jakikolwiek styczny okrąg , stąd nazwa okręgu oscylacyjnego (dosłownie „który daje buziaka”).
Środek tego okręgu nazywany jest środkiem krzywizny krzywej w punkcie M i jego promieniem, promieniem krzywizny .
Wystarczająco regularna krzywa ma okrąg krzywizny w dowolnym punkcie dwuregularnym , to znaczy w dowolnym punkcie, dla którego wektory prędkości i przyspieszenia nie są współliniowe.
Możliwe jest zdefiniowanie okręgu krzywizny z krzywizny i elementów układu współrzędnych Frenet , lub przeciwnie, podanie geometrycznej definicji okręgu krzywizny i zdefiniowanie z niego krzywizny.
Definiowane wprost, okrąg krzywizny jest okręgiem najbliższym krzywej w M , jest to jedyny okrąg "oskulujący" do krzywej w tym punkcie, to znaczy mający z nią kontakt rzędu co najmniej drugiego. Oznacza to, że stanowi bardzo dobre przybliżenie krzywej, lepsze niż jakikolwiek okrąg styczny. Rzeczywiście, daje nie tylko wyobrażenie o kierunku, w którym krzywa posuwa się naprzód (kierunek stycznej), ale także o jej tendencji do obracania się w obie strony stycznej.
Okrąg krzywizny w punkcie parametru t 0 jest również granicą, gdy t i t ' zmierza w kierunku t 0 , okręgu przechodzącego przez punkty parametru t, t' i t 0 , lub granicą, gdy t zmierza w kierunku t 0 , od okręgu przechodzącego przez punkty parametrów t i t 0 i stycznej do krzywej w t 0 (patrz animacje poniżej).
Promień okręgu krzywizny w punkcie M krzywej nazywa się promieniem krzywizny i jest odwrotnością krzywizny w tym punkcie. Okrąg krzywizny jest wyśrodkowany na linii normalnej do krzywej P i znajduje się wewnątrz wklęsłości krzywej (krzywa zawija się wokół środka krzywizny). Styczna do krzywej w P jest zatem również styczna do okręgu krzywizny.
Ewolucja okręgu przechodzącego przez stały punkt krzywej i dwa inne punkty. Kiedy te dwa punkty zmierzają w kierunku pierwszego, koło zmierza w kierunku koła oscylacyjnego.
Ewolucja okręgu stycznego w punkcie na łuku i przejście przez inny punkt, gdy ten punkt zbliża się do pierwszego.
Ewolucja koła oscylującego w punkcie, w którym ten punkt przecina krzywą. Okrąg przecina krzywą, z wyjątkiem sytuacji, gdy znajduje się na wierzchołkach; w miejscu przegięcia przechodzi w linię prostą (zerowa krzywizna);
Środek krzywizny można zatem wyrazić z elementów układu współrzędnych Fréneta następującym wzorem:
Środek krzywizny w P może być również postrzegany jako punkt przecięcia normalnej w P z nieskończenie bliską normalną. Z tego punktu widzenia krzywa utworzona przez kolejne środki krzywizny, zwana rozwinięciem krzywej początkowej, jest obwiednią rodziny normalnych do krzywej.
Wszystkie powyższe właściwości można ustalić analitycznie. Aby maksymalnie uprościć badanie, zapewnia się łukowi parametryzację przez odciętą krzywoliniową , biorąc za początek punkt, w którym chce się obliczyć okrąg krzywizny. Przy tych założeniach kolejne wyprowadzone wektory są
gdzie γ jest krzywizną.
Obliczenia zostaną wykonane w układzie współrzędnych Freneta związanym z punktem badania: odnotowuje się X ( s ) i Y ( s ) współrzędne punktów krzywej względem tego układu odniesienia. Więc
Jeżeli okrąg porusza się do krzywej w punkcie s = 0, to dopuszcza do stycznej linii Y = 0, a więc jego środek znajduje się w punkcie o współrzędnych typu (0, Y 0 ). Tworzymy równanie takiego okręgu: X 2 + ( Y - Y 0 ) 2 = Y 0 2 . Możemy zatem sprawdzić, czy bieżący punkt na krzywej znajduje się wewnątrz czy na zewnątrz, obliczając ograniczone rozwinięcie wyrażenia
Warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby okrąg mógł się zakryć, jest skreślenie pierwszego członu, co w istocie daje promień krzywizny. Świadczy to o istnieniu i wyjątkowości koła oscylacyjnego.
Dodatkowo pozycję w stosunku do okręgu oscylacyjnego określa znak wyrażenia :
W przypadku krzywej w przestrzeni euklidesowej o wymiarze 3, definiujemy płaszczyznę krzywą w punkcie parametru t 0 jako granicę, gdy t i t ' dążą do t 0 , płaszczyzny przechodzącej przez punkty parametru t , t ' i t 0 , oraz okrąg oscylacyjny jako granicę okręgu przez punkty parametrów t, t' i t 0 . Okrąg drgań znajduje się zatem w płaszczyźnie drgań, na którą kierują wektory styczne i normalne. Możemy również przyjąć granicę, gdy t dąży do t 0 , płaszczyzny przechodzącej przez punkty o parametrze t oraz t 0 i zawierającej styczną do krzywej w t 0 , iw ten sam sposób dla okręgu.
Istnieje kilka sfer zawierających ten okrąg. Nazywamy osculating lub supersculating kula, sfera, która minimalizuje różnicę z krzywej w sąsiedztwie punktu M rozpatrywane. Poszukiwanie środka kuli można przeprowadzić jak poprzednio, ale ograniczone zmiany należy przeprowadzić do rzędu 3, dzieląc wektory zgodnie z wektorem stycznym T, normalnym N i binormalnym B. Obliczenia prowadzą do wybierając ten środek w , gdzie jest krzywizny w punkcie M, jej pochodnej w odniesieniu do krzywoliniowa odcięta, skręcanie krzywej w punkcie M. rzut prostopadły tego środka w płaszczyźnie osculating nie jest niczym innym niż środek krzywizny.