Kategoria funktorów
Kategorii funktorów lub kategorii funktorów między dwoma kategoriami jest kategorią, której obiekty są funktory między tymi kategoriami, a morfizmami są transformacja naturalna między tymi funktorów.
Definicja
Pozwól i bądź kategoriami. Definiujemy kategorię funktorów w , oznaczonych lub czasami lub :
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}re{\ displaystyle {\ mathcal {D}}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}re{\ displaystyle {\ mathcal {D}}}reVS{\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ mathcal {C}}}[VS,re]{\ displaystyle [{\ mathcal {C}}, {\ mathcal {D}}]}faunie(VS,re){\ displaystyle \ mathrm {zabawa} ({\ mathcal {C}}, {\ mathcal {D}})}
- Obiekty są funktorami in ;reVS{\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ mathcal {C}}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}re{\ displaystyle {\ mathcal {D}}}
- Morfizmy to naturalne przemiany.
Dla każdego obiektu F istnieje morfizm odpowiadający tożsamości ucieleśnionej przez funktor . Kompozycja naturalnych przemian jest skonstruowana w następujący sposób: jeśli i są dwiema naturalnymi przemianami, kompozycja pionowa jest definiowana element po elemencie:
1fa:fa↦fa{\ displaystyle 1_ {F}: F \ mapsto F}η:fa→sol{\ displaystyle \ eta: F \ do G}ε:sol→H.{\ displaystyle \ varepsilon: G \ do H}
εη:fa→H.{\ Displaystyle \ varepsilon \ eta: F \ do H}
(εη)(X)=ε(X)η(X){\ Displaystyle \ lewo (\ varepsilon \ eta \ prawej) (X) = \ varepsilon (X) \ eta (X)}.
Ta kompozycja jest asocjacyjna i ma tożsamość, która rzeczywiście nadaje strukturę kategorii.
W wielu przypadkach wymagamy, aby była to lokalnie mała kategoria z powodów fundamentalnych, to znaczy, że jej morfizmy tworzą zbiór, a nie właściwą klasę .
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}
Jeśli jest mały i jest lokalnie mały (odpowiednio małe), następnie kategoria funktorów jest lokalnie małe (odpowiednio małe).
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}re{\ displaystyle {\ mathcal {D}}}
Nurkowanie Yoneda
Poprzez osadzenie Yoneda , każda kategoria jest powiązana z kategorią funktorów. Rzeczywiście, dla każdego obiektu X z , jeśli oznaczymy się kontrawariantny reprezentowalna funktora w kategorii zestawów, że mamy
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}Hom(-,X){\ displaystyle \ operatorname {Hom} (-, X)}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}Smit{\ displaystyle {\ mathsf {zestaw}}}
X↦Hom(-,X){\ Displaystyle X \ mapsto \ operatorname {Hom} (-, X)}to pełne osadzenie w kategorii . Jeśli kategoria jest mała, w szczególności ta kategoria tworzy topos .
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}[VSop,Smit]{\ Displaystyle \ lewo [{\ mathcal {C}} ^ {\ mathrm {op}}, {\ mathsf {Ustaw}} \ prawo]}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}
Nieruchomości
W rzeczywistości kilka kategorii można w rzeczywistości zinterpretować jako kategorie funktorów, takie jak w szczególności kategoria pre - snopów w przestrzeni topologicznej, kategoria R -modułów lub kategoria grafów.
Ogólnie rzecz biorąc, jeśli jest to mała kategoria, wiele nieruchomości jest wysyłanych . Szczególnie :
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}re{\ displaystyle {\ mathcal {D}}}reVS{\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ mathcal {C}}}
- Jeśli wszystkie granice (odpowiednio kolimity) istnieją w , istnieją w ;re{\ displaystyle {\ mathcal {D}}}reVS{\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ mathcal {C}}}
- Jeśli jest kategorią abelową , tak jest ;VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}reVS{\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ mathcal {C}}}
- Jeśli i są dwoma funktorami pomocniczymi , to funktory indukowane i również są pomocnicze.fa:re→mi{\ displaystyle F: {\ mathcal {D}} \ do {\ mathcal {E}}}sol:mi→re{\ Displaystyle G: {\ mathcal {E}} \ do {\ mathcal {D}}}faVS:reVS→miVS{\ Displaystyle F ^ {\ mathcal {C}}: {\ mathcal {D}} ^ {\ mathcal {C}} \ do {\ mathcal {E}} ^ {\ mathcal {C}}}solVS:miVS→reVS{\ Displaystyle G ^ {\ mathcal {C}}: {\ mathcal {E}} ^ {\ mathcal {C}} \ do {\ mathcal {D}} ^ {\ mathcal {C}}}
Kategoria funktorów to obiekt wykładniczy .
Kategorie rozbudowane i kategorie wyższego rzędu
Jeśli pracujemy z wzbogaconych kategoriachM{\ displaystyle {\ mathcal {M}}} , możemy przewozić tę strukturę w budowie kategorii funktorów i uzyskać wzbogaconą kategorię funktorów , wnosząc w końcu wzbogaconą o funktora .
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}VSop⊗VS→M{\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ mathrm {op}} \ otimes {\ mathcal {C}} \ do {\ mathcal {M}}}
W ogólnych ramach kategorii wyższego rzędu (en) , hom-kategorie ścisłych 2-kategorii są dokładnie kategoriami funktorów.
Odniesienie
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">