System dziesiętny

System dziesiętny jest numerem systemu przy użyciu bazy dziesięć. W tym systemie uprawnienia dziesięciu i ich wielokrotności cieszą się uprzywilejowaną reprezentacją.

Liczby dziesiętne

System dziesiętny jest szeroko stosowany. W ten sposób składają się na przykład liczby:

Systemy ocen

Ludzie z podstawą dziesiętną przez lata stosowali różne techniki do przedstawiania liczb. Oto kilka przykładów.

Systemy liczbowe, których cyfry reprezentują potęgi dziesięciu, są typu addytywnego. Tak jest w przypadku numeracji egipskiej . Przykład: napisano 1506

Lotus-stylized-1000.svg Hiero rysunek 100.pngHiero rysunek 100.pngHiero rysunek 100.png Hiero rysunek 1.pngHiero rysunek 1.pngHiero rysunek 1.png
Hiero rysunek 100.pngHiero rysunek 100.png Hiero rysunek 1.pngHiero rysunek 1.pngHiero rysunek 1.png

pismem hieroglificznym (1000 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1).

Takie systemy numeracji są również typu addytywnego, ale obejmują pomocniczy system quinarny. Dotyczy to liczb na poddaszu, etruskich, rzymskich i czuwaskich . Przykład: 2604 jest zapisane MMDCIIII. cyframi rzymskimi (1000 + 1000 + 500 + 100 + 1 + 1 + 1 + 1). Cyfra rzymska zna również wariant addytywny i odejmujący: 2604 zapisuje się w ten sposób MMDCIV. (1000 + 1000 + 500 + 100 - 1 + 5).

Systemy liczbowe składające się z dziewięciu cyfr dla jednostek, a także dla dziesiątek, setek itp. są nadal typu addytywnego. Tak jest w przypadku cyfr ormiańskich , alfabetycznych arabskich , gotyckich , greckich i hebrajskich . Przykład: 704 jest zapisane ψδ cyframi jońsko-greckimi (700 + 4).

Systemy liczbowe, których cyfry reprezentują jednostki i potęgi dziesięciu, są typu hybrydowego. Tak jest w przypadku liczb chińskich i japońskich . Przykład: 41 007 jest zapisane 四万 千七 w systemie japońskim (4 × 10 000 + 1000 + 7). Chiński system używa również zera do wskazania pustych pozycji przed jednostkami: 41 007, zapisuje się 四 萬千 〇 七 cyframi chińskimi (4 × 10 000 + 1 000 + 0 + 7).

Systemy liczbowe, których cyfry reprezentują jednostki, są typu pozycyjnego . Tak jest w przypadku niealfabetycznych liczb arabskich , europejskich, większości indyjskich, mongolskich i tajlandzkich . Przykład: 8002 jest zapisane ๘๐๐๒ cyframi tajskimi (8002).

Historyczny

Podstawa dziesięć jest bardzo stara. Wynika z naturalnego wyboru, podyktowanego liczbą palców obu dłoni. W Proto-Indo-Europejczycy prawdopodobnie liczone w bazie dziesięciu. Opracowano system notacji dziesiętnej:

Należy jednak zwrócić uwagę na użycie systemów niedziesiętnych, których tutaj jest kilka przykładów.

Połączone bazy

Numeracja dziesiętna połączona z podstawą pomocniczą

Liczby dziesiętne czasami używają pomocniczych podstaw:

Liczba dziesiętna używana jako system pomocniczy

Systemy jednostek

W Chinach pomiary pojemności i wagi są zdziesiątkowane około 170 rpne. AD . W Stanach Zjednoczonych system monetarny był dziesiętny w 1786 r. W Europie decymalizacja jednostek została zapoczątkowana we Francji od 22 sierpnia 1790 r., Kiedy Ludwik XVI zwrócił się do Académie des Sciences o powołanie komisji do zdefiniowania jednostek. . Ten ostatni opowiada się za dzieleniem dziesiętnym.

Zalety i wady

Większość współczesnych języków dzieli liczby na dziesięć podstawowych ze względu na niektóre z jego mocnych stron:

Jednak dopiero uogólnienie notacji pozycyjnej i istnienie algorytmu dzielenia dostosowanego do tej notacji sprawiły, że jednostki miary stopniowo tracą swoje niedziesiętne podwielokrotności - w szczególności notację zawierającą 3 czynniki, np. Senariusza, dwunastkowy i ósemkowy.

Kiedy funt we Francji zawierał 20 centów po 12 denarów (lub w Wielkiej Brytanii 20 szylingów po 12 pensów ), podmioty gospodarcze doceniały, że jednostkę tę można podzielić dokładnie przez 20 różnych dzielników (w tym 1 i 240). W 1971 r., Pomimo technologii informatycznej, która obecnie umożliwia łatwe zarządzanie niejednorodnością niedziesiętnych relacji między podwielokrotnościami, Wielka Brytania nie wahała się przed decymalizacją swojej waluty.

Matematyka

Konwersja liczby zapisanej w systemie dziesiętnym na podstawę N

Aby przejść od liczby o podstawie dziesiętnej do liczby o podstawie N , możemy zastosować następującą metodę:

Niech K będzie numer w bazie dziesiętnych do konwersji N bazy .

  1. Wykonywanie podziału całkowitą K o N . Niech D będzie wynikiem tego podziału, a R resztą
  2. Jeśli D > = N , zacznij od nowa od 1
  3. W przeciwnym razie zapis o podstawie N z K jest równy połączeniu ostatniego wyniku i wszystkich pozostałych, zaczynając od ostatniego.

Przykład: konwersja na szesnastkową podstawę (szesnastkową) liczby 3257 zapisanej w systemie dziesiętnym

Wiedząc, że 11 (jedenaście) jest zapisane w B, a 12 (dwanaście) jest zapisane w C, zapis 3257 (trzy tysiące dwieście pięćdziesiąt siedem) w systemie szesnastkowym to CB9.

Konwersja na dziesiętną podstawę liczby zapisanej w podstawie N

Aby przejść od liczby o podstawie N do liczby o podstawie dziesiętnej, możemy zastosować następującą metodę:

Niech K będzie liczbą o podstawie N do konwersji.

Dla dowolnej cyfry c rzędu r w K obliczamy c × N r . Reprezentacja K w systemie dziesiętnym jest sumą wszystkich iloczynów.

Liczba r zaczyna się od zera od prawej do lewej.

Przykład
Liczba „10110” o podstawie drugiej jest zapisywana w systemie dziesiętnym:

1 × 2 4 + 0 × 2 3 + 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 0 × 2 0 = 22 (podstawowa dziesiątka)

Przykład
Liczba „14043” o podstawie szóstej jest zapisywana w systemie dziesiętnym:

1 × 6 4 + 4 × 6 3 + 0 × 6 2 + 4 × 6 1 + 3 × 6 0 = 2187 (podstawowa dziesiątka)

Przykład
Liczba „3FA” o podstawie szesnastu jest zapisywana w systemie dziesiętnym:

3 × 16 2 + 15 × 16 1 + 10 × 16 0 = 1018 (dziesiąta podstawa)

Przypomnienie: F o podstawie szesnastki jest warte piętnaście, A o podstawie szesnastki jest warte dziesięć.

Uwagi i odniesienia

  1. Maurice Caveing, Esej o wiedzy matematycznej: w Mezopotamii i starożytnym Egipcie , Villeneuve d'Ascq, Presses Univ. Północ,1994, 417  s. ( ISBN  2-85939-415-X ) , str.  243,244.
  2. Walter William Rouse Ball Krótkie sprawozdanie z historii matematyki, Dover Publications, 2001, rozdział I, str.   2 i 4 arytmetyka wczesnego Egiptu (arytmetyka w czasach starożytnego Egiptu), s.  3 wczesna matematyka egipska , s.  5 matematyka egipska i fenicka , s.  6, 7 i 8 wczesna geometria egipska (w nawiązaniu do papirusu Rhinda i PI), s.   ( ISBN  1402700539 )
  3. Patrz strona 13 w Matematyka Egiptu, Mezopotamii, Chin, Indii i islamu: podręcznik , Victor J. Katz i Annette Imhausen , Princeton University Press, 2007
  4. Patrz strona 118 w Encyklopedycznym słowniku matematyki - EDM 2 , Kiyosi Itô, MIT Press, 2000
  5. Temple 2007 , s.  152-154 ° C.
  6. Patrz strona 104 w Ancient and medieval science , René Taton, Quadrige PUF, 1966
  7. Patrz strony 20-21 w Historii PAN pod kierunkiem Filipa Cotardière Tallandier 2004 - Fragmenty: „Na początku II th tysiąclecia, kiedy pismo klinowe jest teraz w miejscu, nałożyła unikalny system cyfrowy s'. Jest to system liczb sześćdziesiętnych, to znaczy oparty na bazie sześćdziesiątki, a nie na znanej nam bazie dziesiętnej. "
  8. Patrz strony 40-41 w The Technology of Mesopotamia , Graham Faiella, Rosen Publishing, 2006
  9. Patrz strona 77 w Princeton Companion do matematyki edytowany przez Timothy Gowers , czerwca Barrow-Green i Imre Leader , Princeton University Press, 2008
  10. Zobacz strony 111-114 w „The first writing: script Invention as history and process , pod redakcją Stephena D. Houstona, Cambridge University Press, 2004
  11. Zobacz także str. 341 w Abstrakcji i reprezentacji: eseje o kulturowej ewolucji myślenia , Peter Damerow, Luwer Academic Publishers, 1996
  12. Patrz strona 16 w Fleeting Footsteps - Tracing the Conception of Arithmetic and Algebra in Ancient China , Lay Yong Lam & Tian Se Ang, World Scientific Publishing, 2004. Fragmenty (dotyczące podstawy liczebników Majów): „Zaczęło się jako cyfra po jednostce 1 do 19, ale potem doszło do trzystu sześćdziesięciu, a ostatecznie (na czwartym miejscu) do siedmiu tysięcy dwieście) . "

Zobacz też

Bibliografia

Powiązane artykuły