Antymorfizm
W matematyce An antimorphism (czasami nazywane antyhomomorfizm ), jest stosowanie dwóch algebraicznych konstrukcji , który odwraca się kolejność czynności.
Przypadek magm
Rozważmy magmy i , to znaczy, że i są dwa zestawy przewidziane odpowiednio z dwoma prawami kompozycji wewnętrznej odnotowanych i . Aplikacja jest antimorphism z IN jeśli
(X,∗X){\ Displaystyle (X, * _ {X})}(Y,∗Y){\ displaystyle (Y, * _ {Y})}X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}∗X{\ displaystyle * _ {X}}∗Y{\ displaystyle * _ {Y}}ϕ:X→Y{\ Displaystyle \ phi \ colon X \ do Y}(X,∗X){\ Displaystyle (X, * _ {X})}(Y,∗Y){\ displaystyle (Y, * _ {Y})}
∀(x1,x2)∈X2,ϕ(x1∗Xx2)=ϕ(x2)∗Yϕ(x1).{\ Displaystyle \ forall (x_ {1}, x_ {2}) \ w X ^ {2}, \ quad \ phi (x_ {1} * _ {X} x_ {2}) = \ phi (x_ {2 }) * _ {Y} \ phi (x_ {1}).}Innymi słowy, jeśli zdefiniujemy przeciwną magmę przez i
(Yop,∗Yop){\ Displaystyle (Y ^ {\ mathrm {op}}, * _ {Y ^ {\ mathrm {op}}})}Yop: =Y{\ Displaystyle Y ^ {\ mathrm {op}}: = Y}
∀(y1,y2)∈Yop,y1∗Yopy2: =y2∗Yy1{\ displaystyle \ forall (r_ {1}, r_ {2}) \ in Y ^ {\ mathrm {op}}, \ quad y_ {1} * _ {Y ^ {\ mathrm {op}}} y_ {2 }: = y_ {2} * _ {Y} y_ {1}}następnie jest antimorphism od w wtedy i tylko wtedy, gdy jest morfizmem od w .
ϕ{\ displaystyle \ phi}(X,∗X){\ Displaystyle (X, * _ {X})}(Y,∗Y){\ displaystyle (Y, * _ {Y})}ϕ{\ displaystyle \ phi}(X,∗X){\ Displaystyle (X, * _ {X})}(Yop,∗Yop){\ Displaystyle (Y ^ {\ mathrm {op}}, * _ {Y ^ {\ mathrm {op}}})}
- W przypadku, gdy i jest bijektywne, mówimy, że jest to anty-automorfizm .Y=X{\ displaystyle Y = X}ϕ{\ displaystyle \ phi}
- W przypadku, gdy prawo jest przemienne , pojęcia antymorfizmu i morfizmu są takie same, jak automorfizmu i antyautomorfizmu.∗Y{\ displaystyle * _ {Y}}
- Skład dwóch antimorphisms jest morfizmem, ponieważ odwrócenie kolejności operacji dwukrotnie chroni kolejność czynności. Z drugiej strony kompozycja antymorfizmu z morfizmem jest antymorfizmem (niezależnie od kierunku kompozycji).
Przypadek grup
Dla dwóch grup i (oznaczonych mnożeniem) mówimy, że mapa jest antymorfizmem grup w jeśli
sol{\ displaystyle G}H.{\ displaystyle H}ϕ:sol→H.{\ Displaystyle \ phi \ colon G \ do H}sol{\ displaystyle G}H.{\ displaystyle H}
ϕ(xy)=ϕ(y)ϕ(x){\ Displaystyle \ phi (xy) = \ phi (y) \ phi (x)}za wszystko .
x,y∈sol{\ Displaystyle x, y \ w G}
Innymi słowy, jest antimorphism grupa w wtedy i tylko wtedy, gdy jest to grupa morfizmem od w , z grupy przeciwnej o .
ϕ{\ displaystyle \ phi}sol{\ displaystyle G}H.{\ displaystyle H}ϕ{\ displaystyle \ phi}sol{\ displaystyle G}H.op{\ Displaystyle H ^ {\ mathrm {op}}}H.{\ displaystyle H}
Na przykład odwrócona mapa jest antymorfizmem grup w sobie, co więcej jest bijektywna . Zatem grupa jest zawsze izomorficzna ze swoją przeciwną grupą.
sol∈sol↦sol-1∈sol{\ displaystyle g \ in G \ mapsto g ^ {- 1} \ in G}sol{\ displaystyle G}
Etui na pierścionki
Dla dwóch (jednolitych) pierścieni i mówimy, że mapa jest antymorfizmem pierścieni w, jeśli jest morfizmem w stosunku do prawa addytywnego, ale antymorfizmem dla prawa multiplikatywnego, tj.
W{\ displaystyle A}b{\ displaystyle B}ϕ:W→b{\ Displaystyle \ phi \ colon A \ do B}W{\ displaystyle A}b{\ displaystyle B}
ϕ(1W)=1b{\ Displaystyle \ phi (1_ {A}) = 1_ {B}}(oznaczając odpowiednio i jednostki i );
1W{\ displaystyle 1_ {A}}1b{\ displaystyle 1_ {B}}W{\ displaystyle A}b{\ displaystyle B}
ϕ(x+y)=ϕ(x)+ϕ(y){\ Displaystyle \ phi (x + y) = \ phi (x) + \ phi (y)}
ϕ(xy)=ϕ(y)ϕ(x){\ Displaystyle \ phi (xy) = \ phi (y) \ phi (x)}
za wszystko .
x,y∈W{\ Displaystyle x, y \ w A}
Innymi słowy, jest antimorphism pierścień się wtedy i tylko wtedy, gdy jest morfizmem pierścień z w , na pierścieniu przeciwnym do .
ϕ{\ displaystyle \ phi}sol{\ displaystyle G}H.{\ displaystyle H}ϕ{\ displaystyle \ phi}sol{\ displaystyle G}H.op{\ Displaystyle H ^ {\ mathrm {op}}}H.{\ displaystyle H}
Na przykład mapa transponowana między dwoma pierścieniami macierzy jest antymorfizmem pierścieni.
Przypadek algebr
Dla dwóch algebr i na polu , mówimy, że mapa jest antimorphism z algebr w jeśli jest liniowy względem prawa dodatków ale antimorphism dla prawa, to znaczy niż multiplikatywnego
W{\ displaystyle A}b{\ displaystyle B} K.{\ displaystyle K}ϕ:W→b{\ Displaystyle \ phi \ colon A \ do B}W{\ displaystyle A}b{\ displaystyle B}
ϕ(1)=1{\ Displaystyle \ phi (1) = 1}
ϕ(λx+y)=λϕ(x)+ϕ(y){\ Displaystyle \ phi (\ lambda x + r) = \ lambda \ phi (x) + \ phi (y)}
ϕ(xy)=ϕ(y)ϕ(x){\ Displaystyle \ phi (xy) = \ phi (y) \ phi (x)}
za wszystko i .
x,y∈W{\ Displaystyle x, y \ w A}λ∈K.{\ Displaystyle \ lambda \ w K}
Innymi słowy, jest antimorphism z algebr się wtedy i tylko wtedy, gdy jest morfizmem algebr z w , w przeciwnym algebry z .
ϕ{\ displaystyle \ phi}sol{\ displaystyle G}H.{\ displaystyle H}ϕ{\ displaystyle \ phi}sol{\ displaystyle G}H.op{\ Displaystyle H ^ {\ mathrm {op}}}H.{\ displaystyle H}
Na przykład koniugacja na prawdziwej algebrze kwaternionów jest antymorfizmem algebr.
Algebra niewolnicza
Ważnym przypadkiem szczególnym jest przypadek, w którym rozważymy antyiautomorfizm algebry (tj. Bijektywnego antymorfizmu samej w sobie), który jest niekolektywny , tj. Taki, który jest l tożsamością . Jeśli taki anty-automorfizm istnieje, mówimy, że jest to algebra niewolna . Czwartorzędy, traktując koniugację jako inwolutywny antyautomorfizm, tworzą algebrę inwolucyjną na ciele liczb rzeczywistych. W algebrach macierzowych transpozycja daje inwolutywny anty-automorfizm.
ϕ{\ displaystyle \ phi}W{\ displaystyle A}W{\ displaystyle A}ϕ∘ϕ{\ Displaystyle \ phi \ circ \ phi}W{\ displaystyle A}W{\ displaystyle A}
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">