Igła Buffon
Igła Buffona jest doświadczenie z prawdopodobieństwem zaproponowany w 1733 roku przez Georges-Louis Leclerc , naukowiec francuski z XVIII -tego wieku . Ten eksperyment dostarcza przybliżenia liczby π . Jego analiza implementuje prosty przypadek dwuwymiarowej i ciągłej przestrzeni prawdopodobieństwa .
Wygodny proces
Wymaga to wielokrotnego rzucania igłą w podłogę . Parkiet składa się z równoległych desek o tej samej szerokości. Liczymy, ile razy igła spada okrakiem [przynajmniej] jeden rowek w podłodze (przypadek „korzystny”) w porównaniu z całkowitą liczbą rzutów. Wraz ze wzrostem liczby rzutów iloraz zbliża się do pewnej liczby pozwalającej znaleźć π (na przykład, jeśli długość igły jest równa szerokości deski, ta liczba będzie wynosić 2 ⁄ π ).
Warunki i założenia
Aby eksperyment zadziałał poprawnie:
- kolejne rzuty muszą być liczne, niezależne i należy brać pod uwagę sytuację równoważności (położenie igły jest obojętne w pozycji i pod kątem w stosunku do podłogi);
- wszystkie rzuty muszą być odtwarzane w identycznych warunkach;
- długość igły musi być mniejsza lub równa szerokości deski parkietu.
Studium matematyczne
Są:
-
l{\ displaystyle l}dodatni realny odpowiadający szerokości listwy parkietowe;
-
a dodatnia rzeczywista odpowiadająca długości igły;
-
θ rzeczywista między 0 a π ⁄ 2, odpowiadająca kątowi geometrycznemu utworzonemu przez rowki parkietu;
-
r{\ displaystyle r} dodatnia rzeczywista odpowiadająca odległości od środka igły do najbliższego rowka.
Zgodnie z założeniami i korzystając ze wszystkich symetrii możemy rozważyć, że:
-
θ następuje ciągłe jednolite prawo o[0;π2]{\ Displaystyle [0; {\ Frac {\ pi} {2}}]}
-
r{\ displaystyle r} przestrzega ciągłej jednolitej ustawy o [0;w2grzechθ]{\ Displaystyle [0; {\ Frac {a} {2}} \ sin \ theta]}
Prosta perspektywa geometryczna
Rozważ n rzutów ( n wystarczająco dużych) tą igłą. Możemy wtedy wziąć pod uwagę, że wszystkie różne pozycje igły umieszczone od końca do końca tworzą wielokąt z bokami. Im większe n , tym bardziej wielokąt będzie zbliżał się do koła. Obwód P tego koła jest wtedy wart . Średnica tego koła będzie ważna . Problem sprowadza się do wiedzy: ile równoległych rowków jest wycinanych przez wielokąt lub ile rowków znajduje się wewnątrz koła?
nie{\ displaystyle n}P.=nie×w{\ displaystyle P = n \ razy a}re=P./π=nie×w/π{\ Displaystyle D = P / \ pi = n \ razy a / \ pi}
Liczba przecięć koła z rowkami jest podana przez ( ponieważ okrąg jest wycinany z prawej i lewej strony); tak jak jest duży, średnica koła jest duża w porównaniu do . Wreszcie, prawdopodobieństwo, że igła wbije rowek, wyraża się wzorem:
ja{\ displaystyle i}ja/2×l=re{\ Displaystyle i / 2 \ razy l = D}ja/2{\ displaystyle i / 2}nie{\ displaystyle n}re{\ displaystyle D}l{\ displaystyle l}p=janie=2×rel1nie=2×niewπ×l×nie{\ Displaystyle p = {\ Frac {i} {n}} = 2 \ razy {\ Frac {D} {l}} {\ Frac {1} {n}} = 2 \ razy {\ Frac {na} { \ pi \ times l \ times n}}}
i upraszczając:
p=2wπ×l{\ displaystyle p = {\ frac {2a} {\ pi \ razy l}}}
Przypadek graniczny
Rozważ pojedynczy rzut. Jeśli igła porusza się punkt rowka z punktu bez zachodzenia na niego, to mamy do prawego trójkąta , którego przeciwprostokątna jest połową igły, z jednej strony jest długość R , z drugiej strony część igły. Rowka. Mamy wtedy:
grzechθ=rw2⇔w2grzechθ=r{\ Displaystyle \ sin \ theta = {\ Frac {r} {\ Frac {a} {2}}} \ Leftrightarrow {\ Frac {a} {2}} \ sin \ theta = r}
Niekorzystny przypadek
Dlatego jeśli igła jest całkowicie na desce, będziemy mieli:
w2grzechθ<r{\ Displaystyle {\ Frac {a} {2}} \ sin \ theta <r}
Korzystny przypadek
Jeśli nachodzi na co najmniej jeden rowek (najbliższy), będziemy mieli:
w2grzechθ>r{\ displaystyle {\ frac {a} {2}} \ sin \ theta> r}
Analiza
Dla równa lub mniejsza niż l
Mamy tutaj do czynienia z przypadkiem, w którym igła jest tej samej długości lub krótsza niż szczelina między deskami parkietu.
Tak jak dla dyskretnych prawdopodobieństw, oblicza się iloraz przypadków „korzystnych” do przypadków „całkowitych”, tak w przypadku x prawdopodobieństwo upadku igły na rowek wyrażenie:
[0;π2]{\ Displaystyle [0; {\ Frac {\ pi} {2}}]}[0;w2grzechθ]{\ Displaystyle [0; {\ Frac {a} {2}} \ sin \ theta]}
WjarmifawvorwblmiWjarmitotwlmi{\ displaystyle {\ frac {Aire_ {sprzyjające}} {Aire_ {total}}}}
Albo (narysuj spację i granicę):
(r,θ){\ displaystyle (r, \ theta)}
P.(fawvorwblmi)=1π2l2∫0π2(∫0w2grzechθrer)reθ=4πl∫0π2w2grzechθreθ=2wπl{\ Displaystyle P \ lewo (korzystne \ prawo) = {\ Frac {1} {{\ Frac {\ pi} {2}} {\ Frac {l} {2}}}} \ int _ {0} ^ { \ frac {\ pi} {2}} \ left (\ int _ {0} ^ {{\ frac {a} {2}} \ sin \ theta} \, \ mathrm {d} r \ right) \ mathrm { d} \ theta = {\ frac {4} {\ pi l}} \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {a} {2}} \ sin \ theta \ , \ mathrm {d} \ theta = {\ frac {2a} {\ pi l}}}
Po wielu rzutach, zgodnie z prawem wielkich liczb , wartość praktyczna będzie zbliżać się do wartości teoretycznej . Możemy wtedy łatwo znaleźć π , znając dane eksperymentu ( l i a ).
2wπl{\ displaystyle {\ frac {2a} {\ pi l}}}
Rzeczywiście, niech p będzie proporcją szacującą P : wtedy mamy estymator dlaπ≃2wlp.{\ displaystyle \ pi \ simeq {\ frac {2a} {lp}}.}
Dla a większy niż l
Mamy tutaj do czynienia z przypadkiem, w którym igła jest dłuższa niż szczelina między deskami. „Korzystnym” przypadkiem jest nadal: „igła przecina [przynajmniej] pasek parkietu”.
Przypadek „niekorzystny”, łatwiejszy do wyrażenia matematycznie, mamy (narysuj spację i granicę):
(r,θ){\ displaystyle (r, \ theta)}
P.=1-1πl4∫0arcsin(lw)(∫w2grzechθl2rex)reθ{\ Displaystyle P = 1 - {\ Frac {1} {\ dfrac {\ pi l} {4}}} \ int _ {0} ^ {\ arcsin ({\ Frac {l} {a}})} \ left (\ int _ {{\ frac {a} {2}} \ sin \ theta} ^ {\ frac {l} {2}} \ mathrm {d} x \ right) \ mathrm {d} \ theta}
P.=2wπl(1-1-l2w2)+(1-2arcsinlwπ){\ Displaystyle P = {\ Frac {2a} {\ pi l}} \ lewo (1 - {\ sqrt {1 - {\ Frac {l ^ {2}} {a ^ {2}}}}} \ prawo ) + \ left (1 - {\ frac {2 \ arcsin {\ frac {l} {a}}} {\ pi}} \ right)}
Potwierdza się, że dla , znajdujemy poprzedni wzór (ustalony dla : krótkiej igły).
l=w{\ displaystyle l = a}l⩾w{\ displaystyle l \ geqslant a}
Formuła umożliwia również oszacowanie w zależności od tego, gdzie jest proporcja, która szacuje od a jako czynnik.
π{\ displaystyle \ pi}(1-p){\ displaystyle (1-p)}p{\ displaystyle p}P.{\ displaystyle P}(1-P.){\ displaystyle (1-P)}π{\ displaystyle \ pi}
Pozując i rozszerzając się w sąsiedztwie , znajdujemy wyrażenie prawdopodobieństwa dla bardzo długiej igły (wzór przybliżony):
lw=u{\ displaystyle {\ frac {l} {a}} = u}u=0{\ displaystyle u = 0}
P.w>>l=1-lπw{\ Displaystyle P_ {a >> l} = 1 - {\ Frac {l} {\ pi a}}}
który ma tendencję do 1 dla bardzo duży, tak jak oczekiwano.
Ocena i odniesienie
-
Wspomnienie o grze Franc Carreau, przedstawione Académie des Sciences (kwiecień 1733)
Zobacz też
Powiązane artykuły
Bibliografia
Martin Aigner i Günter M. Ziegler (tłum Nicolas Puech.), Divine rozumowanie : niektóre szczególnie eleganckie pokazy matematyczne , Springer Verlag , 2 nd ed., 2006, 270 str. ( ISBN 978-2-287-33845-8 )
Linki zewnętrzne
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">