Równanie równowagi pędu

W mechanice płynów , równanie bilansu pędu wynika z podstawowej zasady dynamiki stosowanych do płynu. Wraz z równaniem zachowania masy i równaniem ciepła jest częścią równań Naviera-Stokesa .

Ogólne sformułowanie

Ogólnie rzecz biorąc, równowaga pędu jest wyrażona w postaci:

∂(ρv→)∂t+∇→⋅(ρv→⊗v→)=-∇→p+∇→⋅τ¯¯+ρfa→{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ lewo (\ rho {\ vec {v}} \ prawej)} {\ częściowe t}} + {\ vec {\ nabla}} \ cdot \ lewo (\ rho {\ vec {v}} \ otimes {\ vec {v}} \ right) = - {\ vec {\ nabla}} p + {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ overline {\ overline {\ tau}}} + \ rho {\ vec {f}}}

W tych równaniach:

• t{\ displaystyle t}reprezentuje czas (jednostki SI: s );
• ρ{\ displaystyle \ rho}oznacza gęstość płynu (jednostka SI: kg · m −3 );
• v→=(v1,v2,v3){\ displaystyle {\ vec {v}} = (v_ {1}, v_ {2}, v_ {3})}oznaczają prędkość Eulera cząstki płynu (jednostka SI: m s −1 );
• p{\ displaystyle p}oznacza ciśnienie (jednostka SI: Pa );
• τ¯¯=(τja,jot)ja,jot{\ Displaystyle {\ overline {\ overline {\ tau}}} = \ lewo (\ tau _ {i, j} \ prawo) _ {i, j}}jest tensorem naprężeń lepkich (jednostka SI: Pa );
• fa→{\ displaystyle {\ vec {f}}}wskazać wypadkową sił masowych wywieranych w płynie (jednostka SI: m s −2 );

Operator wyznacza iloczyn diadyczny⊗{\ displaystyle \ otimes}

u→⊗v→=u→×v→T{\ displaystyle {\ vec {u}} \ otimes {\ vec {v}} = {\ vec {u}} \ times {\ vec {v}} ^ {\ mathrm {T}}}

z tym klasycznym iloczyn macierzy . ×{\ displaystyle \ times}

W zależności od problemu, który ma zostać rozwiązany, można rozważyć uproszczone modele.

Przypadki specjalne

Doskonały płyn (równanie Eulera)

W przypadku doskonałego płynu (tj. Weź pod uwagę, że efekty lepkości są pomijalne), znajduje się równanie Eulera .

Nieściśliwy płyn rzeczywisty Newtona

W tym przypadku zapisuje się prawo konstytutywne: gdzie jest lepkość dynamiczna, a jest tensorem szybkości odkształcenia. Ponadto uważa się , że gęstość jest stała. τjajot=2μrejajot{\ displaystyle \ tau _ {ij} = 2 \ mu D_ {ij}}μ{\ displaystyle \ mu}rejajot=12(vja,jot+vjot,ja){\ Displaystyle D_ {ij} = {\ Frac {1} {2}} (v_ {i, j} + v_ {j, i})}ρ{\ displaystyle \ rho}

Zachowanie pędu jest następnie zapisane:

∂v→∂t+∇→⋅(v→⊗v→)=-1ρ∇→p+ν∇→2v+fa→{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe {\ vec {v}}} {\ częściowe t}} + {\ vec {\ nabla}} \ cdot \ lewo ({\ vec {v}} \ otimes {\ vec { v}} \ right) = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ vec {\ nabla}} p + \ nu {\ vec {\ nabla}} ^ {2} v + {\ vec {f }}}

gdzie jest lepkość kinematyczna. ν=μρ{\ displaystyle \ nu = {\ frac {\ mu} {\ rho}}}

Równanie to można wyrazić w postaci wektorowej:

∂v→∂t+∇→(v22)+beknięcie→v→∧v→=fa→-1ρ∇→p-νbeknięcie→(beknięcie→v→){\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe {\ vec {v}}} {\ częściowe t}} + {\ vec {\ nabla}} \ lewo ({\ Frac {v ^ {2}} {2}} \ right) + {\ vec {\ text {rot}}} {\ vec {v}} \ wedge {\ vec {v}} = {\ vec {f}} - {\ frac {1} {\ rho}} {\ vec {\ nabla}} p- \ nu {\ vec {\ text {rot}}} ({\ vec {\ text {rot}}} {\ vec {v}})}

Załączniki

Uwagi i odniesienia

1. CLMH Navier, Pamiętnik o prawach ruchu płynów , Mém. Acad. Roy. Sci., Tom 6, 1923

Bibliografia

• P. Chassaing, mechanika płynów, elementy pierwszego kursu 3 th edition , Tuluza, Cépaduès edycje 2010

Powiązane artykuły

• Równania Naviera-Stokesa
• Równania Eulera

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">