Równanie Darcy-Klinkenberga

Równanie Darcy-Klinkenberg opisuje przenikanie gazu w porowatym podłożu w rozrzedzonym systemu, to znaczy, kiedy średnia droga swobodna w gazie jest tego samego rzędu wielkości, charakterystycznej wielkości porów. Po raz pierwszy został ustanowiony przez LJ Klinkenberga w ograniczonym otoczeniu, w którym efekty rozrzedzenia są słabe, przy użyciu fenomenologicznego podejścia opartego na doświadczeniu. Efekty zostały następnie ustalone przez teorię, najpierw metodą " pylistego gazu" opartą na metodzie Chapmana-Enskoga zastosowanej do jednorodnego ośrodka, w którym jeden z gatunków (ciało stałe) ma dużą masę, co powoduje, że stoi w miejscu. Współczesne metody homogenizacji równań kinetycznych pozwalają na uzyskanie rygorystycznych wyników, ograniczonych jedynie znajomością interakcji gaz-ciało stałe na poziomie mikroskopowym. Prawo wynikające z tej analizy nazywane jest prawem Darcy-Klinkenberga przez rozszerzenie domeny.

Ogólny problem rozrzedzonego środowiska

Postawimy się w przypadku prostego gazu: pojedynczego gatunku bez wewnętrznego stopnia swobody, jak gazy rzadkie. Liczbę Knudsena porów definiujemy przez:

{\ displaystyle Kn = {\ frac {l} {d}}}

lub

l jest średnią swobodną ścieżką w gazie,
$re$ charakterystyczny rozmiar porów.

Prawo przepływu prostego gazu w ośrodku porowatym w warunkach rozrzedzonych uzyskuje się poprzez zmianę skali z opisu kinetycznego (poziom mikroskopowy w porach) na opis makroskopowy. Analiza ujawnia prawo typu Darcy'ego dające przepływ:

{\ displaystyle \ mathbf {q} = \ rho \ mathbf {V} = - {\ mathcal {D}} \ nabla \ rho - {\ mathcal {D}} ^ {T} {\ frac {\ nabla T} { T}}}

lub

${\ mathbf {q}}$ jest przepływem masowym,
$\ rho$ gęstość gazu,
${\ displaystyle \ mathbf {V}}$ jego średnia prędkość w porowatym,
$T$ temperatura,
${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} \, (\ rho, T)}$ współczynnik dyfuzji według gradientu stężenia,
${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {T} (\ rho, T)}$ współczynnik dyfuzji gradientu termicznego (wbrew swojej nazwie nie jest to współczynnik dyfuzji).

Możemy przepisać to równanie w innej postaci, korzystając z prawa gazu doskonałego :

{\ Displaystyle \ mathbf {q} = - \ rho {\ mathcal {D}} \ lewo [{\ Frac {\ nabla p} {p}} + \ lewo ({\ Frac {{\ mathcal {D}} ^ {T}} {\ rho {\ mathcal {D}}}} - 1 \ right) {\ frac {\ nabla T} {T}} \ right]}

{\ Displaystyle {\ Frac {{\ mathcal {D}} ^ {T}} {\ rho {\ mathcal {D}}}}}

nazywany jest współczynnikiem transpiracji termicznej. Waha się od 0,5 w reżimie balistycznym (brak zderzeń między cząstkami) do 1 w reżimie ciągłym (patrz krzywa). Równanie otrzymane w tym drugim przypadku to równanie Darcy'ego z przepuszczalnością, gdzie jest lepkością dynamiczną .

{\ Displaystyle K = {\ Frac {\ mu {\ mathcal {D}}} {p}}}

\ mu

Równanie Klinkenberga

Gdy ośrodek można uznać za ciągły, z wyjątkiem obszaru w pobliżu ściany zwanego warstwą Knudsena, można zastosować prostą korektę przepuszczalności, aby uwzględnić „ślizganie się” gazu po ścianie. Klinkenberg podał poprawkę przepuszczalności ustalonej na zespole równoległych cylindrycznych rur:

{\ Displaystyle K = K_ {0} \, \ lewo (1+ \ alfa Kn \ prawej)}

Z pewnej liczby eksperymentów pokazał, że możemy podejść do terminu korygującego poprzez relację typu:

{\ displaystyle \ alpha Kn \ simeq {\ frac {\ beta} {p}}}

Co ciekawe, przepuszczalność pod wysokim ciśnieniem jest porównywana do przepuszczalności cieczy obojętnej używanej w tych eksperymentach. Nie ma teoretycznego uzasadnienia dla tej identyfikacji, która jednak wydaje się dość dobrze zweryfikowana. $K_ {0}$

Bibliografia

(w) Klinkenberg, LJ, The permeability of Porous Media to Liquids and Gases , Drilling and Production Practice, American Petroleum Institute, 1941, s. 200–213
(w) EA Mason, AP Malinauskas, Gas Transport in Porous Media: the Dusty-Gas Model , Chemical Engineering Monographs, Elsevier, 1983 ( ISBN 0-444-42190-4 )
(w) GL Vignoles, P. Charrier, Ch Preux, B. Dubroca, Rarefied Pure Gas Transport in Non-Isothermal Porous Media: Effective Transport Properties from Homogenization of the Kinetic Equation , Transport in Porous Media, Vol. 73, Nr 2, czerwiec 2008, s. 211-232 [1]