Wzór Grassmanna

Wzór Grassmann - Pozwolić $F$ and $G$ dwa podprzestrzeni tego samego miejsca wektora $E$ . Więc

\ dim (F) + \ dim (G) = \ dim (F + G) + \ dim (F \ cap G).

Jeśli $F$ i $G$ mają skończone odpowiednie wymiary, wynika z tego, że $F + G$ również i to

\ dim (F + G) = \ dim (F) + \ dim (G) - \ dim (F \ cap G).

Dwie demonstracje

Na następujące aplikacje liniowe : $0 \ to F \ cap G \ to F \ times G \ to F + G \ to 0,$ gdzie jest druga mapa, a trzecia , utwórz krótką dokładną sekwencję . Dlatego zgodnie z twierdzeniem rangowym (nawet w wymiarze nieskończonym) : $x \ mapsto (x, x)$ $(x, y) \ mapsto xy$ $\ dim (F \ cap G) + \ dim (F + G) = \ dim (F \ times G).$ Formuła Grassmanna wynika z tego, że wym ( F × G ) = wym ( F ) + wym ( G ) .
Innym pomysłem jest dostrzeżenie analogii tego wzoru z następującym (obowiązującym nawet dla zbiorów nieskończonych) i wyciągnięcie z niego wniosków: ${\ text {karta}} (A) + {\ text {karta}} (B) = {\ text {karta}} (A \ filiżanka B) + {\ text {karta}} (A \ czapka B).$ Aby zidentyfikować termin po terminie, to równanie z $\ dim (F) + \ dim (G) = \ dim (F + G) + \ dim (F \ cap G),$ wybrać bazę z i do ukończenia go w bazie z jednej strony oraz w bazie od drugiej strony: będzie wówczas podstawa i będzie równa podstawy z $VS$ $F \ cap G$ $W$ $fa$ $b$ $sol$ $A \ miseczka B$ $F + G$ $A \ cap B$ $VS$ $F \ cap G.$

Bibliografia