Sprężyna (mechanika elementarna)

Te sprężyny są często wykorzystywane do podstawowego nauczania mechaniki . Szczególnie interesują nas sprężyny, których wydłużenie jest proporcjonalne do siły, której są poddawane. W ogólnym przypadku odkształcenie sprężyny nie jest proporcjonalne do naprężenia, ale ten konkretny przypadek ma znaczenie edukacyjne, ponieważ umożliwia proste badanie.

Model ten jest również wykorzystywany do modelowania dynamicznego zachowania się ciał stałych, aw szczególności odkształceń: w układach ze znacznymi przyspieszeniami nie można już zaniedbywać sprężystego odkształcenia części. Często modeluje się wówczas zespół sztywny ( klasa równoważności kinematycznej ) w postaci łańcucha masa-sprężyna.

Zwykle stosuje się sprężynę naciągową, a czasami sprężynę ściskaną lub skrętną .

Obudowa sprężyny naciągowej lub sprężyny naciskowej

Sprężyna ma pustą długość $l 0$ . Jeśli chcesz ją wydłużyć (sprężyna naciągowa) lub skrócić (sprężyna naciskowa) o długość $x$ zwaną wydłużeniem lub wydłużeniem , musisz przyłożyć dwie równe i przeciwstawne siły na jego końcach; siła na jednym końcu jest zorientowana w osi sprężyny, a jej natężenie jest równe , gdzie $k$ jest stałą proporcjonalności, zwaną „ stałą sztywności ” lub stałą powrotu sprężyny, wyrażoną w niutonach na metr ( N / m lub N m- 1 ). ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ mathrm {ext}}}$ ${\ displaystyle \ | {\ vec {F}} _ {\ mathrm {ext}} \ | = F_ {ext} = k \, | x |}$

Zgodnie z zasadą wzajemnych działań ( 3 e prawo Newtona ), siła wywierana przez sprężynę jest: ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ matematyka {res}}}$

{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ mathm {res}} = - {\ vec {F}} _ {\ mathrm {ext}}}

Wydłużenie $x$ jest długością algebraiczną ; umownie przyjmuje się ją dodatnią w przypadku wydłużenia i ujemną w przypadku ściskania: ostateczna długość sprężyny jest warta . ${\ styl wyświetlania l = l_ {0} + x}$

Umownie, natężenie siły wywieranej przez sprężynę jest również wartością algebraiczną , przyjmowaną dodatnią w przypadku ściskania i ujemną w przypadku trakcji. Mamy zatem ogólnie: ${\ styl wyświetlania F _ {\ matematyka {res}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ matematyka {res}}}$

{\ displaystyle F _ {\ mathrm {res}} = - k \, x}

W tym podstawowym opracowaniu nie rozróżniamy sprężyny naciągowej od sprężyny naciskowej, podczas gdy technologicznie są one dość różne. Dlatego pracujemy z następującymi hipotezami:

te zakręty nie są przyległe;
nie ma rozpraszania energii (siła jest zachowawcza );
pozostaje się w polu, gdzie odpowiedź jest zawsze liniowa (odkształcenie jest ograniczone).

Praca siły zewnętrznej na przejście od wydłużenia zerowego do wydłużenia $X$ to

{\ displaystyle W _ {{\ vec {F}} _ {\ mathm {ext}}} = \ int _ {0} ^ {X} -F _ {\ mathrm {ext}} \, \ mathrm {d} x = - \ int _ {0} ^ {X} k \, x \, \ mathrm {d} x}

Skąd :

{\ displaystyle W _ {{\ vec {F}} _ {\ mathrm {ext}}} = - {\ frac {1} {2}} \, k \, X ^ {2}}

Możemy zatem określić energię potencjalną sprężystości $E pe$ sprężyny naciągowej $X$ :

{\ displaystyle E_ {pe} = {\ frac {1} {2}} \, k \, X ^ {2}}

Studium wiosenno-balistyczne

Często mamy do czynienia z piłką napędzaną sprężyną; w tym przypadku jest to sprężyna naciskowa (o zwojach niesąsiadujących). W przypadku pominięcia tarcia układ ten umożliwia zapisanie zachowania energii mechanicznej , co pozwala określić prędkość kuli opuszczającej sprężynę, a następnie przeprowadzić klasyczne badanie swobodnego spadania .

Ciężkie wahadło

Ciężki wahadło jest sprężyna naciągowa, na końcu którego jest zamocowany masowa; gdy układ znajduje się w spoczynku (masa jest nieruchoma w laboratoryjnym układzie odniesienia ), sprężyna ma niezerowe wydłużenie, zwoje nie przylegają do siebie. W porównaniu z tą pozycją spoczynkową możemy zatem rozciągać lub ściskać system (ale sprężyna pozostanie napięta).

Jeśli ściągniemy masę w dół, a potem puścimy, układ będzie oscylował. Pozwala to zbliżyć się do oscylacji harmonicznych i równań różniczkowych pozwalających na to badanie.

Na górze sprężyny można umieścić okresowe naprężenie , na przykład obracający się układ korbowy, wywierający siłę, której intensywność zmienia się w czasie zgodnie z prawem sinusoidalnym . Możemy zatem badać oscylacje wymuszone .

Możemy zanurzyć masę w pojemniku z wodą w celu zwiększenia tarcia i tym samym zbadać drgania tłumione lub drgania wymuszone z rozpraszaniem.

Sprawa sprężyny skrętnej

Skręt drutu jest często badany ; bierzemy drut pionowy, aby nie trzeba było brać pod uwagę ciężaru . Dopóki naprężenie pozostaje niskie, przyłożony moment skręcający $Γ$ jest proporcjonalny do kąta skręcenia $θ$ :

{\ styl wyświetlania \ Gamma = -C \, \ theta}

gdzie $C$ jest sztywnością sprężyny.

Możemy użyć tego systemu do badania sił elektrostatycznych ( równowaga torsyjna ) lub oscylacji ( wahadło torsyjne ). Jest to również waga torsyjna, która umożliwiła wyznaczenie uniwersalnej stałej grawitacji ( eksperyment Cavendisha ).

Jest to również model dla wielu urządzeń, takich jak tzw . amperomierz „balistyczny” .

Dynamiczny model odkształcenia mechanizmu

Mechanizm jest montaż części, z których wiele znajdujących się w ruchu. Ruch ten powstaje dzięki wysiłkowi ( podstawowa zasada dynamiki ), a wysiłek ten jest zmienny (ponieważ ruch ma początek i koniec). Części będą zatem podlegać działaniom mechanicznym o różnej intensywności, a tym samym ich odkształcenie sprężyste będzie się zmieniać.

W celu zbadania wpływu tych odkształceń sprężystych, a w szczególności przesunięcia fazowego (opóźnienie między prawem wejściowym i wyjściowym) oraz drgań, każda część jest często zastępowana układem masa-sprężyna. Dlatego wybieramy równoważną sprężynę:

wybrany jest główny tryb deformacji części;
z tego wyprowadza się rodzaj sprężyny (rozciąganie/ściskanie, zginanie, skręcanie);
sztywność określa się za pomocą próby mechanicznej lub obliczeń za pomocą elementów skończonych .

Zobacz również