Redukcja endomorfizmu

W matematyce , a zwłaszcza w algebrze liniowej , redukcja endomorfizmu ma na celu wyrażenie macierzy i endomorfizmów w prostszej formie, na przykład w celu ułatwienia obliczeń. To w istocie polega na znalezieniu rozkład przestrzeni wektorowej do bezpośredniego sumie o stabilnych podprzestrzeni , w którym indukowana endomorfizm jest prostsze. Mniej geometrycznie odpowiada to znalezieniu podstawy przestrzeni, w której po prostu wyraża się endomorfizm.

Pierwsze spojrzenie

Pierwsze dwie podsekcje poniżej dotyczą podstawowych pojęć, które zostaną omówione poniżej. Następne dwa odnoszą się do konkretnych przypadków.

Endomorfizm i wektor własny

Przestrzeń wektorowa, w której zastosowano endomorfizm, ma różne właściwości w zależności od przypadku. Gdy przestrzeń ma skończone wymiary , to budowa korpusu decyduje o większości właściwości redukcyjnych. Takie podejście, które wiąże się z pierścienia z wielomianów związanych z ciałem, jest analizowany w artykule wielomianu endomorfizm . Najprostszym przypadkiem jest ten, w którym pole jest algebraicznie zamknięte , tzn. Każdy zmienny wielomian zmienny ma co najmniej jeden pierwiastek. Tak jest w przypadku liczb zespolonych . Tak więc redukcja jest szczególnie skuteczna. Pojęcie wartości własnej staje się w tym kontekście właściwym narzędziem. Gdy istnieje podstawa z wektorów własnych , jeden mówi o diagonalizacji .

Dwie przeszkody na drodze do diagonalizacji

Istnieją dwie przeszkody, które uniemożliwiają diagonalizację endomorfizmu skończonego wymiaru.

Pierwsza pojawia się, jeśli pole nie jest algebraicznie zamknięte (na przykład, jeśli jest ciałem liczb rzeczywistych ). W tym przypadku czynniki pierwsze z charakterystycznym wielomianu (lub minimalną wielomianu ) z endomorfizm U może być w stopniu większym od lub równym 2. W tym przypadku poddaje się obróbce w § „dla trigonalisable przypadku” poniżej najbardziej metoda powszechna: prostsze jest wyeliminowanie tej pierwszej przeszkody polegającej na rozdzieleniu wielomianów poprzez rozszerzenie skalarów .

Kiedy jego charakterystyczny wielomian (lub jego minimalny wielomian) jest podzielony, u rozkłada się na charakterystyczne podprzestrzenie, w których endomorfizm jest sumą homotecy i zerowego endomorfizmu . Drugą, bardziej wewnętrzną przeszkodą są niezerowe endomorfizmy zerowe. Ich rozkład na podprzestrzeni cyklicznych, jednak, zapewnia zmniejszenie Jordan , który stanowi trigonalization z U w najprostszej postaci.

Normalny endomorfizm

Każdy normalny endomorfizm z hermitowskiego przestrzeni jest diagonalizable w oparciu ortonormalnych lub ponownie: każdy normalny matryca jest diagonalizable (na ℂ) o o jednolitej matrycy przejścia : jest to konsekwencją rozkładu SCHUR w tw (w przestrzeni euklidesowej , lub do diagonalizacji na ℝ prawdziwej normalnej macierzy daje ten sam wynik pod warunkiem, że wszystkie wartości własne są rzeczywiste).

W tym kontekście wyjątek zerowy jest zatem nieobecny. Redukcja jest prostsza, a powiązane techniki algorytmiczne szybsze.

Każda macierz hermitowska - w szczególności każda rzeczywista macierz symetryczna (która reprezentuje symetryczną postać dwuliniową ) - będąc normalną, jest więc diagonalizowalna w podstawie ortonormalnej.

Analiza funkcjonalna i operator liniowy

Mówiąc bardziej ogólnie, w złożonej przestrzeni Hilberta każdy normalny operator zwarty ma właściwą podstawę Hilberta .

Operatory różniczkowe , takie jak Laplacian czy d'Alembertian , są kluczem do ważnych problemów w fizyce, które można traktować jako równanie liniowe, ale w przestrzeni o nieskończonym wymiarze. W tym kontekście ogólne podejście Jordana jest skazane na niepowodzenie, ponieważ wielomiany nie mają zastosowania. Innowacyjne podejście Hilberta , które nie ogranicza już analizy do określonego punktu (funkcji rozwiązania równania), otwiera nową gałąź matematyki, która stała się niezbędna w ostatnim stuleciu: analizę funkcjonalną . Współczesna fizyka, zarówno w formie kwantowej, jak i relatywistycznej , szeroko wykorzystuje ten pogląd.

Ogólny przypadek wymiaru skończonego

W całej tej sekcji E oznacza przestrzeń wektorową nad ciałem K , a jego wymiar, uznany za skończony, jest oznaczony przez n .

Redukcja i czyste podprzestrzenie

Jest pierwszy naturalny kandydat do redukcji, odpowiada to rozkładowi na odpowiednie podprzestrzenie.

Wektor własny to niezerowy wektor, którego obraz u jest współliniowy z oryginalnym wektorem. Współczynnik współliniowości nazywany jest wartością własną. Zbiór utworzony z wektorów własnych wartości własnej λ i wektora zerowego nazywany jest wartością własną u związaną z wartością własną λ.

Rozkład na odpowiednie podprzestrzenie ma dobre właściwości:

Odpowiednie podprzestrzenie są w skrócie bezpośrednie.
Ograniczenie endomorfizmu do właściwej podprzestrzeni związanej z wartością własną λ jest homotencją stosunku λ.

Właściwości poszukiwane dla optymalnej redukcji są „prawie” połączone.

Diagonalizacja

W rzeczywistości wystarczyłaby jedna dodatkowa właściwość: bezpośrednia suma podprzestrzeni własnych jest całą przestrzenią wektorową. Następnie mówimy, że u można diagonalizować. Poniższych pięć propozycji jest równoważnych:

u jest diagonalizowalne.
Suma odpowiednich podprzestrzeni to cała przestrzeń.
Istnieje baza wektorów własnych.
Suma wymiarów odpowiednich podprzestrzeni jest równa wymiarowi całej przestrzeni.
Macierz U w dowolnej podstawie jest diagonalizable .

Diagonalizacja i wielomian charakterystyczny

Z tą definicją związane są inne ważne właściwości. Zasadniczo wywodzą się z wielomianowego podejścia do endomorfizmu . Wielomian charakterystyczny od u jest w ograniczonym wymiarze, potężne narzędzie do analizy endomorfizm. Jest ona zdefiniowana jako wyznacznik z X $Id$ - u . Ponieważ wyznacznik znika wtedy i tylko wtedy, gdy jądro powiązanej mapy liniowej nie jest zredukowane do wektora zerowego, wielomian ma za korzenie wartości własne endomorfizmu. Pierwsza prosta właściwość łączy diagonalizowalność i charakterystyczny wielomian:

Jeśli charakterystyczny wielomian u ma n różnych pierwiastków, to u jest diagonalizowalny.

Jest to warunek wystarczający (zgodnie z § Redukcja i podprzestrzenie właściwe lub jako następstwo warunku koniecznego i wystarczającego poniżej), ale niekonieczny (w wymiarze> 1 homoteka ma unikalną wartość własną, podczas gdy jest wyraźnie diagonalizowalna).

Aby sformułować warunek konieczny i wystarczający z charakterystycznego wielomianu, potrzebne są dwie dodatkowe definicje:

algebraiczna wielość m λ z wartością własną λ jest jego kolejność wielości jako główny charakterystycznej wielomianu;
geometryczny wielość d λ l jest wymiar związanego właściwego podprzestrzeni.

Zawsze to robiliśmy

d _ {\ lambda} \ leq m _ {\ lambda} \ quad {{\ rm {and}}} \ quad \ sum _ {\ lambda} m _ {\ lambda} \ leq n

(druga nierówność jest natychmiastowa, a pierwszą uzyskuje się uzupełniając podstawę odpowiedniej podprzestrzeni i obliczając charakterystyczny wielomian za pomocą bloków ). Jednak zgodnie z § Diagonalizacja powyżej, u jest diagonalizowalne wtedy i tylko wtedy, gdy suma d λ jest równa n . Wyprowadzamy warunek konieczny i wystarczający:

u jest diagonalizowalne wtedy i tylko wtedy, gdy krotność geometryczna każdej wartości własnej jest równa jej krotności algebraicznej i jeśli wielomian charakterystyczny P ( X ) jest podzielony , tj. w postaci

P (X) = \ prod _ {\ lambda} (X- \ lambda) ^ {{m _ {\ lambda}}}.

Diagonalizowalny endomorfizm i minimalny wielomian

Podejście przez charakterystyczny wielomian daje pierwsze wyniki, ale obliczenie tego wielomianu, jak również wymiaru podprzestrzeni własnych, jest często uciążliwe.

Minimalny wielomian ma takie same czynniki pierwsze jak charakterystyczny wielomian. Jego specyfika wyraża się w następującym warunku koniecznym i wystarczającym:

u jest diagonalizowalne wtedy i tylko wtedy, gdy jego minimalny wielomian jest podzielony na K i ma proste pierwiastki .

Optymalna trygonalizacja

W przypadku braku możliwości diagonalizacji, endomorfizm (lub macierz) można trygonalizować na K wtedy i tylko wtedy, gdy jego charakterystyczny wielomian jest podzielony na K (lub, co jest równoważne, jeśli jego minimalny wielomian jest). W takim przypadku możemy je nawet bardziej precyzyjnie „zredukować”.

Do rozdzielenia minimalnego wielomianu wystarczy algebraiczne zamknięcie pola, podobnie jak pole kompleksów. Jeżeli wielomian nie jest podzielona, jak pewnych wielomianów w dziedzinie liczb rzeczywistych, stosujemy § „Non-trigonalisable przypadek” poniżej .

Rozkład Dunforda

Kiedy wielomian jest podzielony, obowiązuje rozkład Dunforda :

Jeśli minimalny wielomian u jest podzielony, to u jest sumą diagonalizowalnego endomorfizmu i zerowego endomorfizmu, które dojeżdżają do pracy .

W tym kontekście minimalny wielomian $χ jest$ zapisywany w postaci

\ chi (X) = \ prod _ {\ lambda} (X- \ lambda) ^ {{n _ {\ lambda}}} \;

Jądra E λ = $Ker$ ( u - λ $Id$ ) n λ nazywane są podprzestrzeniami E charakterystycznymi dla u .

Poniższe cztery właściwości podsumowują większość właściwości związanych z rozkładem Dunforda:

Λ takie, że n λ ≠ 0 są wartościami własnymi u .
Przestrzeń E jest bezpośrednią sumą charakterystycznych podprzestrzeni.
Charakterystyczne podprzestrzenie są stabilne przez u . Ograniczenie u do E λ jest sumą jednorodności stosunku λ i zerowego endomorfizmu rzędu n λ .
W projektory na charakterystykę podprzestrzeni wyrażono w formie wielomianów endomorfizm o u .

Nilpotentna redukcja i endomorfizm

Aby kontynuować redukcję u , konieczne jest następnie, aby w każdej charakterystycznej podprzestrzeni E λ zredukować związany z nią endomorfizm zerowy.

W przypadku endomorfizmu zerowego unikalną wartością własną jest 0, więc unikalną podprzestrzenią własną jest jądro. W związku z tym jedynym endomorfizmem zerowym możliwym do diagonalizacji jest endomorfizm zerowy.

Endomorfizmy nilpotentne mają jednak redukcję: mówimy, że podprzestrzeń wektorowa E jest cykliczna dla endomorfizmu u, jeśli jest generowana przez rodzinę postaci ( x , u ( x ), u 2 ( x ), ...), i mamy:

Jeśli u jest nilpotentne, to E jest bezpośrednią sumą cyklicznych podprzestrzeni dla u .

Redukcja Jordana

Te podprzestrzenie (stabilne przez homotecję), których charakterystyczna podprzestrzeń E λ jest sumą bezpośrednią, nazywane są podprzestrzeniami Jordana.

Podprzestrzeń Jordana dla u jest podprzestrzenią wektorową E, której podstawa ( e 1 , e 2 ,…, e p ) jest taka, że: $\ istnieje \ lambda \ in K \; \ forall i \ in [2, p] \; u (e_ {i}) = \ lambda e_ {i} + e _ {{i-1}} \ quad {{\ rm {i}}} \ quad u (e_ {1}) = \ lambda e_ {1}.$ Ta definicja pozwala opisać redukcję Jordanii dla u :
Jeśli minimalny wielomian u jest podzielony, to E jest bezpośrednią sumą podprzestrzeni Jordana i nie ma dekompozycji E na bezpośrednią sumę podprzestrzeni, stabilną przez u i nie zredukowaną do wektora zerowego, zawierającą więcej niż składowe niż Jordan rozkład.

Przypadek bez trygonalizacji

Rozkładu Frobenius jest najbardziej odpowiednia, gdy wielomian nie jest podzielony, a nie chcemy zmodyfikować pole.

Kolejnym możliwym rozwiązaniem jest, aby przedłużyć skalarne : jedna wbija ciała K w ich algebraicznym zamknięcia K następnie K -kosmiczna E w produkcie napinacz E = K ⊗ K E . Endomorfizm z E rozszerza się następnie jednoznacznie E . Macierzowy punkt widzenia jest zatem korzystny, ponieważ zachowujemy tę samą macierz dla początkowego endomorfizmu lub jego rozszerzenia: jest on po prostu uważany za macierz M n ( K ). W przypadku, gdy K jest polem liczb rzeczywistych, ta operacja nazywa się złożonością .

Zastosowanie redukcji wymiarów skończonych

Diagonalizacja jest często najlepszym podejściem do konkretnych problemów. Macierze diagonalizowalne są gęste w przestrzeni macierzy o współczynnikach zespolonych, niedokładność danych początkowych oznacza, że macierz odpowiadająca rzeczywistemu problemowi jest zawsze diagonalizowalna.

W statystyce diagonalizacja umożliwia przeprowadzenie analizy składowych głównych .

Redukcja macierzy (diagonalizacja lub redukcja Jordana) pozwala obliczyć potęgi tej macierzy, jak również jej wykładniczą . Ponadto obliczenie $exp ( tA )$ jest szczególnie przydatne do rozwiązywania liniowych układów różniczkowych o stałych współczynnikach.