Produkt bezpośredni

Większość struktur algebraicznych pozwala na bardzo prostą konstrukcję struktury utworzonej na iloczynu kartezjańskim zbiorów bazowych. Mówiąc bardziej ogólnie, produkt bezpośredni możemy nazwać iloczynem dojeżdżającym z funktorem zapominającym . Tak jest w przypadku topologii tworzonej w kategorii przestrzeni topologicznych .

Bezpośredni iloczyn dwóch magm

Niech E będzie zbiorem wyposażonym w wewnętrzne prawo składu T, a F zbiorem wyposażonym w wewnętrzne prawo składu . Możemy zdefiniować wewnętrzne prawo składu na iloczynu kartezjańskim E × F w następujący sposób: ⋆{\ displaystyle \ star}∗{\ displaystyle *}

(x,y)∗(x′,y′)=(x T x′,y⋆y′).{\ Displaystyle (x, y) * (x ', y') = (x \ T \ x ', y \ star y').}

Nieruchomości

• Jeśli T i są łączne, to prawo jest łączne.⋆{\ displaystyle \ star}∗{\ displaystyle *}
• Jeśli T i są przemienne, to prawo jest przemienne.⋆{\ displaystyle \ star}∗{\ displaystyle *}
• Jeśli T dopuszcza element neutralny e, a jeśli dopuszcza element neutralny f , to jest neutralny dla . ⋆{\ displaystyle \ star}(mi,fa){\ displaystyle (e, f)}∗{\ displaystyle *}
  • Jeśli ponadto x dopuszcza symetryczne x ' dla T i jeśli y przyjmuje symetryczne y' dla , to (
  x , y ) przyznaje ( x ' , y' ) jako symetryczne.⋆{\ displaystyle \ star}

Bezpośredni produkt magm

Niech ( E í ) í ∈ będę z rodziną zbiorów , każdy E i jest obdarzony wewnętrznym prawem składu . Możemy zdefiniować wewnętrzne prawo składu iloczynu kartezjańskiego ∏ i ∈ I E i w następujący sposób: ⋆ja{\ displaystyle \ star _ {i}}∗{\ displaystyle *}

(xja)ja∈ja∗(xja′)ja∈ja=(xja⋆jaxja′)ja∈ja{\ Displaystyle (x_ {i}) _ {ja \ w ja} * (x '_ {i}) _ {ja \ w ja} = (x_ {i} \ gwiazda _ {i} x' _ {i} ) _ {i \ in I}}

Konstrukcja ta jest ważna, czy ja jest skończony lub nieskończony zbiór .

Nieruchomości

• Jeśli każde prawo jest łączne, to prawo jest łączne.⋆ja{\ displaystyle \ star _ {i}}∗{\ displaystyle *}
• Jeśli każde prawo jest przemienne, prawo jest przemienne.⋆ja{\ displaystyle \ star _ {i}}∗{\ displaystyle *}
• Jeśli każde prawo ma element neutralny e i (odpowiednio neutralny po prawej stronie, odpowiednio neutralny po lewej stronie), rodzina ( e i ) i ∈ I jest neutralna (odpowiednio neutralna po prawej stronie, odpowiednio neutralna po lewej) dla .⋆ja{\ displaystyle \ star _ {i}}∗{\ displaystyle *}
• Jeżeli każde prawo ma neutralny element i jeśli w każdym E I , każdy element x i ma symetryczny (odpowiednio w prawo symetryczne odpowiednio lewej symetryczne) r I , to rodzina ( x I ) i ∈ że przyznaje rodziny ( r i ) i ∈ I jako symetryczny (odpowiednio prawy symetryczny, odpowiednio lewy symetryczny).⋆ja{\ displaystyle \ star _ {i}}

W szczególności bezpośrednim wytworem rodziny grup jest grupa.

Produkt bezpośredni pierścieni

Niech ( E i ) i ∈ będę rodziną zbiorów, z których każdy E i jest wyposażony w dwa prawa i . Jak poprzednio, możemy zdefiniować prawo będące bezpośrednim wytworem praw i prawem , bezpośrednim wytworem praw . +ja{\ displaystyle + _ {i}}∗ja{\ displaystyle * _ {i}}+{\ displaystyle +}+ja{\ displaystyle + _ {i}}∗{\ displaystyle *}∗ja{\ displaystyle * _ {i}}

Jeśli każde prawo jest rozdzielcze w stosunku do prawa , to prawo jest rozdzielcze w stosunku do prawa . ∗ja{\ displaystyle * _ {i}}+ja{\ displaystyle + _ {i}}∗{\ displaystyle *}+{\ displaystyle +}

W szczególności, jeśli każdy e i jest wyposażona w strukturze pierścienia, a pierścień bezpośredni produkt jest więc wykonana.

Iloczyn bezpośredni przestrzeni wektorowych

Jest to rodzina ( E I ) i ∈ I z przestrzeni wektorowej na tym samym ciała K . Z następujących praw wynika, że ​​iloczyn kartezjański ∏ i ∈ I E i jest przestrzenią wektorową K , zwaną iloczynem rodziny ( E i ) i ∈ I  :

(uja)ja∈ja+(vja)ja∈ja=(uja+vja)ja∈ja,λ(uja)ja∈ja=(λuja)ja∈ja.{\ displaystyle (u_ {i}) _ {ja \ in I} + (v_ {i}) _ {ja \ in I} = (u_ {i} + v_ {i}) _ {i \ in I}, \ quad \ lambda (u_ {i}) _ {i \ in I} = (\ lambda u_ {i}) _ {i \ in I}.}

Zerowy wektor jest rodzina (0) i ∈ że tworzą wektorów zerowych w przestrzeni E i .

Kiedy cały E i są równe samo K wektora przestrzeni E (np K , postrzegane jako K - Zdjęcie prawo ) Π i ∈ I e I jest przestrzenią wektorową E I z aplikacjami I w E .

Uwagi i odniesienia

1. N. Bourbaki , Algebra , rozdz.  II, sekcja 5 dla nieskończonych produktów i s. A-II-10 dla bezpośrednich produktów modułowych .
2. Roger Godement , Cours d'Algebre , 1966, Przykład 4, str. 166-167.

Powiązany artykuł

Suma bezpośrednia

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">