Produkt kartezjański

Ten artykuł odnosi się do matematycznej koncepcji zbiorów. W przypadku wykresów zobacz iloczyn kartezjański wykresów .

W matematyce The iloczyn dwóch zestawów X i Y , znany również jako całego produktu jest zbiorem wszystkich par których pierwszy element należący do X i drugiej Y . Pojęcie to, ważne dla dwóch zbiorów, można łatwo uogólnić na pojęcie skończonego iloczynu kartezjańskiego , który jest zbiorem n-krotek, których składowe należą do n zbiorów. Uogólnienie na nieskończony iloczyn kartezjański wymaga pojęcia funkcji .

Produkty kartezjańskie zawdzięczają swoją nazwę René Descartesowi , który tworząc geometrię analityczną po raz pierwszy użył tego, co teraz nazywamy ℝ 2 = ℝ × ℝ do przedstawienia płaszczyzny euklidesowej , a ℝ 3 = ℝ × ℝ × ℝ do przedstawienia trójwymiarowej euklidesowej spacja (ℝ oznacza linię rzeczywistą ).

Iloczyn kartezjański dwóch zestawów

Definicje

• Dla dowolnego zbioru A i dowolnego zbioru B istnieje zbiór P, którego elementami są wszystkie pary, z których pierwsza część należy do A, a druga do B  : ∀W∀b∃P∀z(z∈P⇔∃x∃tak(x∈W∧tak∈b∧z=(x,tak))){\ displaystyle \ forall A \; \ forall B \; \ istnieje P \ quad \ forall z \; {\ bigl (} z \ in P \ Leftrightarrow \ istnieje x \; \ istnieje y \; \ left (x \ in A \; \ grunt \; y \ w B \; \ grunt \; z = (x, y) \ po prawej))}.Ten zbiór oznaczamy A × B (czytaj „  krzyż B  ”) i nazywamy iloczyn kartezjański z A przez B .
• Przypadek szczególny: × A oznaczamy A 2 i nazywany kartezjański kwadrat z A  : W2={(x,tak)|x∈W∧tak∈W}{\ displaystyle A ^ {2} = \ {(x, y) \ mid x \ in A \; \ land \; y \ in A \}}.

Przykład

Niech A będzie zbiorem {A, R, D, V, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2}. Niech B będzie setem {pik, kier, karo, trefl}. Wtedy iloczyn kartezjański A × B tych dwóch zestawów jest klasyczną talią 52 kart, czyli zestawem:

{(A, piki) ... (2, piki), (A, kiery) ... (2, kiery), (A, karo) ... (2, karo), (A, trefle) ... (2, koniczyna)}.

Nieruchomości

• Iloczyn kartezjański A × B jest pusty wtedy i tylko wtedy, gdy A lub B jest pusty. W szczególności: na dowolny zestaw ,W{\ styl wyświetlania A} ∅×W=W×∅=∅{\ displaystyle \ varnothing \ razy A = A \ razy \ varnothing = \ varnothing}.
• Te dwa czynniki produktu są całkowicie określone przez ten produkt, jeśli nie jest pusty. Dokładniej: jeśli to i podobnie, jeśli to .W≠∅{\ displaystyle A \ neq \ varnothing}tak∈b⇔∃x(x,tak)∈W×b{\ displaystyle y \ in B \ Leftrightarrow \ istnieje x \ quad (x, y) \ in A \ razy B}b≠∅{\ displaystyle B \ neq \ varnothing}x∈W⇔∃tak(x,tak)∈W×b{\ displaystyle x \ in A \ Leftrightarrow \ istnieje y \ quad (x, y) \ in A \ razy B}
• Jeśli i B są skończone , wówczas Cardinal z A x B jest równa iloczynowi Cardinals z A i B .
• Iloczyn kartezjański dwóch zbiorów jest unikalny zgodnie z aksjomatem rozszerzalności . Jeśli uznamy pary i produkty kartezjańskie za pojęcia pierwotne, za aksjomat będziemy mieli tę właściwość istnienia i jedyności. Wykazano w ZFC zadanej wydajności teoretycznej , w odniesieniu do reprezentacji pary wybranych.

Reprezentacja w teorii mnogości

W teorii mnogości , jeśli wybierzemy, jak zwykle, reprezentacje par Kuratowskiego , pary , których pierwsza składowa jest w A a druga w B są elementami P [ P ( A ∪ B )] (gdzie P ( E ) oznacza zestaw części na E ). Istnienie tego zbioru wynika z aksjomatu zjednoczenia i aksjomatu zbioru części .

Możemy zatem zdefiniować iloczyn kartezjański przez zrozumienie. Będziemy wtedy potrzebować par, a zatem, oprócz poprzednich aksjomatów, w Z aksjomatu pary i schematu aksjomatów rozumienia lub w ZF znowu zbioru części i schematu aksjomatów zastępowania (z którego łącznie wywnioskowano istnienie par):

W×b={(w,b)|(w∈W)∧(b∈b)}={z∈P(P(W∪b))|∃w∈W∃b∈b z=(w,b)}{\ displaystyle A \ razy B = \ lewy \ {(a, b) | (a \ w A) \ klin (b \ w B) \ prawy \} = \ lewy \ {z \ w P (P (A \ kubek B)) | \ istnieje a \ w A \; \ istnieje b \ w B \ z = (a, b) \ prawo \}}

Możemy nawet obejść się bez zbioru części, używając  dwukrotnie zastępczego schematu aksjomatu : raz dla A × { b } i ponownie dla:

W×b=⋃b∈bW×{b}.{\ displaystyle A \ razy B = \ bigcup _ {b \ w B} A \ razy \ {b \}.}

Reprezentacja w teorii kategorii

Podanie zastosowania zbioru X w iloczynie kartezjańskim A × B dwóch zbiorów A i B daje dwa zastosowania: jedno z X w A i drugie z X w B . Bardziej formalnie: zbiór A × B , zaopatrzony w dwa rzuty i , charakteryzuje się aż do kanonicznego izomorfizmu przez następującą uniwersalną własność : dla dowolnego zbioru X i wszystkich odwzorowań oraz , istnieje jednoznaczne odwzorowanie takie, że i . Podsumowujemy tę właściwość powszechną , mówiąc, że jest to produkt z A i B w kategorii zbiorów . p1:W×b→W,(w,b)↦w{\ displaystyle p_ {1}: A \ razy B \ do A, (a, b) \ mapsto a}p2:W×b→b,(w,b)↦b{\ displaystyle p_ {2}: A \ razy B \ do B, (a, b) \ mapsto b}fa1:X→W{\ displaystyle f_ {1}: X \ do A}fa2:X→b{\ displaystyle f_ {2}: X \ do B}fa:X→W×b{\ displaystyle f: X \ do A \ razy B}fa1=p1∘fa{\ displaystyle f_ {1} = p_ {1} \ circ f}fa2=p2∘fa{\ displaystyle f_ {2} = p_ {2} \ circ f}(W×b,p1,p2){\ styl wyświetlania (A \ razy B, p_ {1}, p_ {2})}

Teoria kategoria określa systematycznie bardziej ogólne produkty lub rozważają dodatkowe struktury ( grupy produktów , produkty przestrzeni topologicznych ) lub dodanie ograniczeń ( produktem rodziny zbiorów , pakiet produktów , itd.).

Uogólnienie na więcej niż dwa zestawy

Trojaczki

Podobnie jak w przypadku par, docelową cechą jest to, że dwie trojaczki są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich pierwsze składowe są sobie równe, następnie drugie i wreszcie trzecie:

∀w∀b∀vs,∀re∀mi∀fa[(w,b,vs)=(re,mi,fa)]⇔[(w=re)∧(b=mi)∧(vs=fa)]{\ displaystyle \ forall a \, \ forall b \, \ forall c, \ forall d \, \ forall e \, \ forall f \, [\, (a, b, c) = (d, e, f) \,] \ Leftrightarrow [\, (a = d) \ klin (b = e) \ klin (c = f) \,]}

Możliwych jest kilka definicji trypletu (a, b, c), na przykład:

• (a, b, c) = ((a, b), c)
• (a, b, c) = (a, (b, c))
• rodzina , której zestaw wskaźników jest zestaw 3 elementów

Definicje te nie są równoważne, ale wszystkie podają oczywiście poprzednią właściwość.

Iloczyn kartezjański trzech zestawów

Definiuje go:

W×b×VS={(w,b,vs)|(w∈W)∧(b∈b)∧(vs∈VS)}{\ displaystyle A \ razy B \ razy C = \ lewy \ {(a, b, c) | (a \ w A) \ klin (b \ w B) \ klin (c \ w C) \ prawy \}}

(z pierwszą definicją zaproponowaną w poprzednim akapicie, A × B × C = ( A × B ) × C , z drugą A × B × C = A × (B × C ), trzecia jest szczególnym przypadkiem tego podane w akapicie # Iloczyn kartezjański rodziny zbiorów ).

Produkt × A × A nazywa się kartezjański kostka z A i oznaczamy przez A 3 (czytaj „To cubed”):

W3={(x,tak,z)|(x∈W)∧(tak∈W)∧(z∈W)}.{\ displaystyle A ^ {3} = \ {(x, y, z) | (x \ w A) \ klin (y \ w A) \ klin (z \ w A) \}.}

n -dwójki

Powyższe definicje uogólniają do n dowolnej krotki. Ich zamierzona właściwość jest następująca.

• Podstawowa własność n -krotki  :

∀(w1,w2,⋯,wnie),∀(b1,b2,⋯,bnie),[(w1,w2,⋯,wnie)=(b1,b2,⋯,bnie)]⇔[(w1=b1)∧(w2=b2)∧⋯∧(wnie=bnie)]{\ displaystyle \ forall \ left (a_ {1}, a_ {2}, \ cdots, a_ {n} \ right), \ forall \ left (b_ {1}, b_ {2}, \ cdots, b_ {n } \ po prawej), \ quad [\, (a_ {1}, a_ {2}, \ cdots, a_ {n}) = (b_ {1}, b_ {2}, \ cdots, b_ {n}) \ ,] \ Leftrightarrow [\, (a_ {1} = b_ {1}) \ klin (a_ {2} = b_ {2}) \ klin \ cdots \ klin (a_ {n} = b_ {n}) \, ]}

Dwie pierwsze definicje są uogólniane przez recurrency , na przykład dla pierwszej:

(a 1 , a 2 ,…, a n ) = ((a 1 , a 2 ,…, a n -1 ), a n ).

W przypadku tych ostatnich wystarczy mieć rodzinę indeksowaną przez zbiór n elementów.

Iloczyn zestawów n jest następnie określona przez:

W1×W2×⋯×Wnie=∏ja=1nieWja={(w1,w2,...,wnie)|w1∈W1,...,wnie∈Wnie}{\ displaystyle A_ {1} \ razy A_ {2} \ razy \ cdots \ razy A_ {n} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} = \ po lewej \ {\ po lewej (a_ { 1}, a_ {2}, \ kropki, a_ {n} \ po prawej) | a_ {1} \ po A_ {1}, \ kropki, a_ {n} \ po A_ {n} \ po prawej \}}

• a zatem n-ta potęga kartezjańska zbioru przez:

Wnie=∏ja=1nieW={(x1,x2,⋯xnie)|∀ja,xja∈W}{\ displaystyle A ^ {n} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} A = \ {(x_ {1}, x_ {2}, \ cdots x_ {n}) | \, \ forall i, x_ {i} \ w A \, \}}

Nieskończone produkty

Możemy uogólnić pojęcie iloczynu kartezjańskiego na pojęcie iloczynu rodziny zbiorów indeksowanych dowolnym zbiorem , skończonym lub nieskończonym.

Chociaż bardziej ogólne, to pojęcie nie może być wprowadzone do teorii mnogości przed pojęciem binarnego iloczynu kartezjańskiego , przynajmniej naturalnie, ponieważ odwołuje się ono do pojęcia funkcji, które z kolei używa właśnie pojęcia pary , a zatem iloczynu kartezjańskiego .

Rodzina zestawów

Rodzina zbiorów indeksowanych przez zestaw I to funkcja określona na I . Obraz i przez A jest oznaczony jako A i . Jest to tylko zapis (dostosowany do określonego zastosowania) dla znanej konstrukcji. Rodzina A indeksowana przez I będzie zamiast tego zaznaczona ( A i ) i ∈ I .

Iloczyn kartezjański rodziny zbiorów

Możemy teraz zdefiniować iloczyn kartezjański rodziny zbiorów ( A i ) i ∈ I , który zwykle lub czasami oznaczamy . ∏ja∈jaWja{\ displaystyle \ prod _ {i \ w I} A_ {i}}×ja∈jaWja{\ styl wyświetlania \ razy _ {i \ w I} A_ {i}}

Jest to zbiór funkcji f od I w zjednoczeniu rodziny , taki , że dla wszystkich i w I , f ( i ) należy do A i  :

∏ja∈jaWja={fa:ja→⋃ja∈jaWja | ∀ ja,fa(ja)∈Wja}{\ displaystyle \ prod _ {i \ w I} A_ {i} = \ lewo \ {\ lewo.f: I \ do \ bigcup _ {i \ w I} A_ {i} \ \ prawo | \ \ forall \ i, \, f (i) \ w A_ {i} \ prawy \}}.

• Aby skorzystać z tej definicji, musimy wyodrębnić element indeksu składowego produktu j , pozycja I . W tym celu definiujemy dla wszystkich j w I , funkcję zwaną j -tą projekcją ,πjot:∏ja∈jaWja→Wjot,fa↦fa(jot).{\ displaystyle \ pi _ {j}: \ prod _ {i \ in I} A_ {i} \ do A_ {j}, \ quad f \ mapsto f (j).}
• Można określić bardziej ogólnie, przez cały J o I , w „występu indeksu J  ”, z wartościami w „produktu częściowego” indeksowana J  :πjot:∏ja∈jaWja→∏ja∈jotWja,fa↦(fa(ja))ja∈jot.{\ displaystyle \ pi _ {J}: \ prod _ {i \ in I} A_ {i} \ to \ prod _ {i \ in J} A_ {i}, \ quad f \ mapsto (f (i)) _ {i \ w J}.}(Jeśli J jest singletonem { j }, iloczyn częściowy indeksowany przez J jest w kanonicznej bijekcji z A j .)
• Aksjomat wyboru możemy sformułować następująco: iloczyn rodziny zbiorów niepustych jest niepusty .
• Iloczynem rodziny zbiorów indeksowanych przez zbiór pusty jest, zgodnie z powyższą definicją, singleton, którego jedynym elementem jest pusta funkcja ∅ w ∅.

Połącz z produktem dwóch zestawów

Niech A i B będą dwoma zbiorami. Dla dowolnej pary I = {α, β} (na przykład α = ∅ i β = {∅}), mamy kanoniczną bijekcję między iloczynem A × B tych dwóch zbiorów a iloczynem rodziny ( A i ) i ∈ I zdefiniowany przez A α = A i A β = B , przez powiązanie z dowolną parą ( x , y ) A × B elementu f określonego przez f (α) = x i f (β) = y .

Łączność

Niech ( A ı ) ı ∈ I rodziny zestawów i ( J K ) K ∈ K wynik z I . Aplikacja kanoniczna

∏ja∈jaWja→∏k∈K(∏ja∈jotkWja),fa↦(πjotk(fa))k∈K{\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} A_ {i} \ do \ prod _ {k \ in K} {\ Bigg (} \ prod _ {i \ in J_ {k}} A_ {i} {\ Bigg)}, \ quad f \ mapsto (\ pi _ {J_ {k}} (f)) _ {k \ in K}}

jest bijektywna.

Przez indukcję The produktem n zestawów jest w ten sposób określone z produktem z rodziny indeksowana {1, 2, ..., N }.

Uwagi i referencje

1. Harvey Friedman .
2. (w) John C. Baez , „  Rozdrabniacze kwantowe: perspektywa teoretyczna kategorii A - §4: Monoidalna kategoria przestrzeni Hilberta  ” ,2004( arXiv : kwant-ph/0404040 ).
3. (w) Colin McLarty  (w) , Podstawowe kategorie, Podstawowe tozy , Oxford, Clarendon Press ,1995.
4. (w) Thomas Jech , Teoria mnogości: wydanie trzecie tysiąclecie, poprawione i rozszerzone , Springer ,2006, 3 e  wyd. , 772  s. ( ISBN  978-3-540-44085-7 , czytaj online ).
5. Jean-Louis Krivine , teorii mnogości , Paryżu, Cassini, Coll.  "Nowa biblioteka matematyczna",1988, 1 st  ed. , s.  9.
6. Paul Halmos , Wprowadzenie do teorii mnogości [ szczegóły wydań ]str. 46.
7. funkcja od A do B jest często wprowadzane jako tryplet ( , B , C ), gdzie C jest podzbiorem produktu kartezjańskiego x B , zwany wykres funkcji i tak, że każdy element A pojawia się (w pierwszy składnik) dokładnie w jednym momencie C . W praktyce jednak, jeśli nie ma ryzyka niejednoznaczności, możemy przez nadużycie funkcji języka zasymilować się z jego grafem C . Co więcej, w teorii mnogości często definiujemy funkcję bezpośrednio jako zbiór par. Ta praktyka jest spójna - bycie funkcją od A do B staje się wtedy jej właściwością - ale nie jest zalecana na wprowadzających kursach matematyki.
8. N. Bourbaki , Elementy matematyki  : Teoria mnogości [ szczegóły wydań ], s. II.33 .
9. Lub nawet tylko pokrywają się z I przez dwa przez dwa podzbiory rozłączne , ale które mogą być puste.
10. Bourbaki , s.  II.35.

Powiązane artykuły

• Pusty produkt
• Relacja binarna
• Rozłączne spotkanie lub „suma kartezjańska”
• Kategoria monoidalna

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">