Księga V Elementów Euklidesa

Piąta książka Elementy Euklidesa opiera się na pracach Eudoksos z Knidos . Wyróżnia się abstrakcją i siłą opracowywanych przez siebie narzędzi. Umożliwia radzenie sobie ze stosunkami wielkości niewymiernych , sprowadzając się do porównań stosunków wielkości wymiernych . Na przykład w księdze VI umożliwi porównanie obszarów figur, mimo że figury te nie mają racjonalnie porównywalnych boków. Pod pewnymi względami przywołuje definicję liczb rzeczywistych, którą Dedekind poda 2000 lat później za pomocą racjonalnych przerw .

Zawiera :

20 definicji
25 propozycji

Definicje

Księga V umożliwia porównanie ze sobą dwóch wielkości o tej samej naturze (dwie długości, dwie płaszczyzny, ...). W każdym razie nie wolno tworzyć stosunku dwóch rozmiarów o różnym charakterze (długość podzielona przez powierzchnię). Def.3 określa, co jest racją dwóch takich wielkości: racją jest pewien sposób bycia dwóch wielkości jednorodnych między nimi, zgodnie z wielkością. We współczesnej formie algebraicznej mielibyśmy tendencję do postrzegania rozumu jako liczby rzeczywistej równej ilorazowi tych dwóch wielkości, ale jest to tutaj pogląd całkowicie anachroniczny. W czasach Euklidesa rozum nie był rozumiany jako liczba, ale jako pewna relacja pozwalająca na porównanie dwóch wielkości. Gdybyśmy powiedzieli , typowy przykład sformułowania u Euklidesa polega na stwierdzeniu: kwadrat a ma się do kwadratu b, a 5 ma się do 1. Stąd definicja 4: proporcja jest identycznością racji. Znajdujemy takie preparaty, aż XVII p lub XVIII th wieku. Tak więc Pascal pisze w swoim Traktacie o grawitacji powietrza : „ Założyłem, że średnica jest na obwodzie, jak 7 do 22 ”. ${\ displaystyle a = {\ sqrt {5}} b}$

Aby zdefiniować przyczynę między dwiema wielkościami, muszą one być w stanie prześcigać się, innymi słowy, zakładamy, że stosuje się do nich aksjomat Archimedesa (def. 5).

Powody są następnie porównywane ze sobą w następujący sposób (def. 6): mówi się, że ilości są w tej samej przyczynie, od pierwszego do drugiego, a od trzeciego do czwartego, gdy jakiekolwiek równowielokrotności pierwszego i trzeciego , i wszelkie inne równowielokrotności drugiego i czwartego są takie, że każda z pierwszych równowielokrotności przewyższa drugie równowielokrotności lub jest im równa w tym samym czasie lub jednocześnie mniejsza. Zatem porównajmy powód a / b z powodem c / d . n i m są dowolnymi liczbami całkowitymi, powiemy, że te dwa powody są takie same, jeśli na> mb jest równoważne nc> md . Chcemy powiedzieć, że obecnie / b = c / d , wtedy i tylko wtedy, gdy z jakiejkolwiek racjonalnej m / n , z / b > m / n jest równoważna c / d > m / n . Ale Euklides osiąga analogiczny rodzaj porównania, bez odwoływania się do pojęć liczbowych, które wówczas nie istniały.

Podobnie Euclid mówi (def. 8), że powód a / b jest większy niż powód c / d, jeśli istnieją dwie liczby całkowite n i m takie, że na> mb , podczas gdy nc < md . Powiedzielibyśmy a / b > m / n > c / d , ale znowu ten nowoczesny pogląd jest anachroniczny.

Ostatnie definicje odnoszą się do manipulacji przyczynami (powód alternatywny (def. 14), powód odwrotny (def. 15) itp.)

Propozycje

Chociaż rozumowanie Euklidesa jest czysto geometryczne, będziemy odwoływać się do notacji algebraicznych pozwalających skrócić sformułowania zdań. Litery a , b , c ... będą oznaczać rozmiary, litery n , m liczby całkowite. Pamiętaj, że ten zapis algebraiczny jest tylko akomodacją, którą przyjmujemy, a której nie używa Euclid. Propozycje dotyczą następujących kwestii:

dystrybucja produktu w odniesieniu do sumy. Propozycja 1 zasadniczo stwierdza, że . Można ją interpretować jako zasadę rozdzielności iloczynu względem sumy, którą należy porównać z tą samą zasadą we wniosku 1 Księgi II Elementów Euklidesa , ale zasady te mają inny charakter, chociaż są podobne algebraicznie. . W księdze II iloczyn jest wyrażony w postaci pola prostokątów, innymi słowy mamy do czynienia tylko z długościami, podczas gdy tutaj jest to kwestia wielokrotności całkowitych dowolnej wielkości (długości, pola powierzchni, objętości). ...). Propozycja 2 dotyczy przypadku sumy liczb całkowitych pomnożonych przez ilości. Prop. 5 i 6 przedstawiają porównywalne wyniki w odniesieniu do różnicy. Propozycja 3 zasadniczo stwierdza, że m ( na ) = ( mn ) a . ${\ displaystyle ka_ {1} + ka_ {2} + ... + ka_ {n} = k (a_ {1} + ... + a_ {n})}$

Własności równości racji. Udowodniono szereg reguł odnoszących się do porównania przyczyn: jeśli a / b jest tym samym powodem co c / d , to dla wszystkich liczb całkowitych n i m , na / mb ma tę samą przyczynę co nc / md (prop. 4 i 15). a / b ma ten sam powód co c / b wtedy i tylko wtedy, gdy a = c i podobnie a / b = a / c wtedy i tylko wtedy, gdy b = c (Prop. 7, 9). Jeżeli a jest większe niż b , to a / c jest większe niż b / c (pros. 8 i 10) i odwrotnie, co moglibyśmy nazwać zgodnością nierówności przyczyn z nierównością wielkości. Proporcje 11, 13, 14, 20, 21, 22, 23 przedstawiają różne własności przechodniości odnoszące się do równości lub nierówności racji. Prop.12 stwierdza, że jeśli , ..., są równymi racjami , to dlaczego jest równe rozumowi , warianty podaje prop.24. ${\ styl wyświetlania a_ {1} / b_ {1}}$ ${\ styl wyświetlania a_ {2} / b_ {2}}$ ${\ styl wyświetlania a_ {n} / b_ {n}}$ ${\ displaystyle {\ frac {a_ {1} + \ cdots + a_ {n}} {b_ {1} + \ cdots + b_ {n}}}}$

Manipulacja na terenie. Jeśli a / b = c / d , to a / c = b / d (prop. 16). Jeśli a / b = c / d , wtedy ( a - b ) / b = ( c - d ) / d ( prop. 17 ) i to samo z sumą ( prop. 18 i 19 ). Jeśli / b = c / d , a największe ilości, a d jest najmniejsze, następnie + d jest większa od b + c (prop. 25).

Bibliografia

Dzieła Euklidesa, przekład F. Peyrard , Paryż (1819), nowy druk Jean Itard, Éditions Albert Blanchard (1993)
Euclide ( tłumacz Bernard Vitrac), The Elements [ szczegóły wydań ]

Link zewnętrzny

Dokument online na stronie Gallica BNF

Piętnaście ksiąg o elementach geometrycznych przekładu Euklidesa D. Henriona, 1632

Bibliografia

Morris Kline, Myśl matematyczna od starożytności do czasów współczesnych , 1980 (wydanie szóste), s. 68