W rzeczywistym analizy The Riemann integralną jest sposobem definiowania całkę , nad segmentem , o ograniczonym i prawie wszędzie ciągłego rzeczywistym funkcji . W kategoriach geometrycznych całka ta jest interpretowana jako powierzchnia domeny pod krzywą reprezentatywną dla funkcji, liczona algebraicznie.
Ogólną metodą definiowania całki Riemanna jest aproksymacja za pomocą funkcji klatki schodowej , dla której określenie obszaru pod krzywą jest łatwe. Funkcje (zdefiniowane na segmencie), dla których ta definicja jest możliwa, nazywane są integrowalnymi w sensie Riemanna. Dzieje się tak w szczególności w przypadku funkcji ciągłych , ciągłych odcinkowo lub nawet tylko regulowanych .
Dla dowolnej funkcji charakterystycznej χ [ c , d ] przedziału [ c , d ] (przy a ≤ c ≤ d ≤ b ) ustalamy
Pole pod krzywą tej funkcji jest równe powierzchni prostokąta o podstawie [ c , d ] i wysokości 1.
Możemy rozszerzyć tę definicję o liniowości do funkcji schody, to znaczy do kombinacji liniowych o wskaźnikach f k przedziałów (niekoniecznie rozłącznych):
(jeśli niektóre a k są ujemne, oznacza to, że obszary poniżej osi x są liczone ze znakiem minus ).
Udowodnimy, że definicja ta jest spójna, to znaczy, że wszystkie dekompozycje funkcji klatki schodowej w liniowej kombinacji wskaźników przedziałów dają tę samą wartość jej całki.
Tak, że warunek wzrostu
jest wykonywana dla dowolnej funkcji φ w klatce schodowej, konieczne jest przypisanie całce f o wartości większej lub równej wszystkim „dolnym sumom f ” (całkom funkcji w klatce schodowej, które są mniejsze f ), to znaczy powiedz większe lub równe ich górnej granicy , czasami nazywane „dolną całką f ”:
Tak samo
jest prawdziwe dla każdej funkcji schodów esc , jest to konieczne i wystarczające
a ta dolna granica (przyjmowana na ψ klatce schodowej, która zwiększa się f ) z „są większe niż f ” jest nazywana „górną całką f ”.
Całka dolna f jest zawsze ograniczona przez całkę górną, ale mogą być różne. Na przykład są one odpowiednio równe –∞ i + ∞, jeśli f nie jest ani obniżane, ani zwiększane, a do 0 i b - a jeśli f jest funkcją wskaźnika zbioru wymiernych odcinka [ a , b ] przy a < b .
Definicja - Funkcja f zdefiniowana na segmencie jest całkalna (w sensie Riemanna) lub integrowalna Riemanna, gdy jej całka dolna i całka górna są równe, a ta wspólna wartość jest wtedy nazywana całką Riemanna z f .
Oryginalna definicja całki Riemanna wykorzystywała sumy Riemanna , ale tutaj przedstawiamy kolejne, równoważne podejście sum Darboux .
Niech f będzie ograniczoną funkcją na [ a , b ] . Do dowolnego podpodziału σ = ( a = x 0 < x 1 < x 2 <… < x n = b ) przypisujemy jego „krok” δ ( σ ) = max { x i - x i - 1 | i = 1,…, n } , który mierzy jego „gładkość”, a także 2 rzeczywiste n
następnie dolna i górna suma Darboux
W ten sposób możemy (ponownie) zdefiniować całkę dolną i górną f przez
i (ponownie) udowodnij, że I - ( f ) ≤ I + ( f ) i znowu mówimy, że f jest całkowalna Riemanna, gdy te dwie liczby są równe. Udowadniamy, że ten warunek jest równoważny
Aby funkcja była integrowalna, musi być przede wszystkim ograniczona. Jeśli f jest ograniczone do [ a , b ] i daje się całkowalne na dowolnym segmencie [ c , d ] tak, że a < c < d < b , to jest całkowalne na [ a , b ] .
Jeśli f , zdefiniowane na [ a , b ] , jest całkowalne, oznaczymy przez ∫b
af jego całka i mamy:
Twierdzenie o 1 - Do zabudowy funkcje w [ , b ] tworzą ℝ- algebraiczne Banach (do normy z zbieżności ), w którym mapa jest pozytywny postać liniową, a więc w sposób ciągły.
Innymi słowy (na [ a , b ] ):
Wniosek - Każda funkcja ustawiona na [ a , b ] jest integrowalna Riemanna.
W szczególności każda funkcja ciągła na [ a , b ] (lub nawet tylko ograniczona i ciągła, z wyjątkiem skończonej liczby punktów) jest integrowalna, jak również każda funkcja monotoniczna (lub nawet tylko odcinkowo monotoniczna).
Kryterium Lebesgue'a dla całkowalności Riemanna - Ograniczona funkcja na [ a , b ] jest całkowalna Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy miara Lebesgue'a zbioru jej nieciągłości wynosi zero.
Ten pomijalny zbiór może być jednak niepoliczalny , jak w przypadku funkcji charakterystycznej zbioru Cantora , która w związku z tym nie jest regulowana.
Założenia powyższego twierdzenia, dotyczące granicy jednorodności ciągu funkcji całkowitoliczbowych, są osłabione w poniższym twierdzeniu, ale aby dojść do tego samego wniosku, należy założyć, że f jest całkowalne (podczas gdy w zdominowanym twierdzeniu o zbieżności dla Całka Lebesgue'a , to dodatkowe założenie nie jest konieczne).
Twierdzenie 2 - Jeśli ( f k ) jest ciągiem funkcji całkowitoliczbowych na [ a , b ] , po prostu zbieżnym do funkcji f i jeśli wszystkie | f k | są ograniczone tą samą stałą, to sekwencja całek jest zbieżna. Jeśli ponadto f jest całkowalne, to jego całka jest granicą tych z f k .
Innym aspektem całki Riemanna jest to, że początkowo dotyczy ona tylko ograniczonych funkcji w ograniczonym przedziale. Druga definicja jest potrzebna, jeśli jeden z tych warunków nie jest zweryfikowany: patrz Całka niewłaściwa . W ramach całkowania w sensie Lebesgue'a istnieje tylko jedna definicja i na przykład jest to całka Lebesgue'a sensu ścisłego, podczas gdy jako całka Riemanna jest to całka niewłaściwa. To samo dla . Jednak całki w sensie Lebesgue'a są zawsze automatycznie absolutnie zbieżne. Zatem całka nie jest ani całką Riemanna we właściwym sensie, ani całką Lebesgue'a, ale jest całką uogólnioną Riemanna (lub Lebesgue'a), a jej wartość wynosi π / 2 . Oznaczając dodatnie wymierne przez sumę i funkcji wskaźnika, widzimy, że daje to przykład uogólnionej całki Lebesgue'a, która nie istnieje jako całka Riemanna. Jego wartość nadal wynosi π / 2 . Bardziej ogólny i bardziej satysfakcjonujący proces integracji uzyskuje się, w szczególności w odniesieniu do przejścia do granicy, wprowadzając całkę Lebesgue'a lub całkę Kurzweila-Henstocka .
Ważną różnicą między całką Riemanna a całką Lebesgue'a jest to, że w tej ostatniej zastępujemy funkcje krokowe funkcjami krokowymi, które są skończonymi liniowymi kombinacjami funkcji wskazujących zbiory, które niekoniecznie są przedziałami. Długość przedziału zostaje zastąpiona miarą całości.