Wzór Leibniza

W matematyce kilka tożsamości nosi nazwę wzoru Leibniza , nazwanego na cześć matematyka Gottfrieda Wilhelma Leibniza :

w rzeczywistej analizie :
- Formuła Leibniza to wzór dający kolejne pochodne iloczynu funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej lub, w bardziej ogólnym ujęciu, różniczkę iloczynu dwóch funkcji różniczkowalnych o wartościach w algebrze norm ,
- może również oznaczać wzór na wyprowadzanie całek z parametrami (lub całek parametrycznych );
co za tym idzie, formuła Leibniza, zwana także tożsamością Leibniza , wyznacza tożsamość, która definiuje pojęcie derywacji , a mianowicie: $d ( ab ) = (d a ) b + a (d b )$ ;
w algebrze liniowej wzór Leibniza podaje definicję wyznacznika macierzy jako zmienną sumę na jej „wężach”;
wreszcie wzór Leibniza wyznacza również sumę naprzemiennych serii odwrotności nieparzystych liczb całkowitych.

Pochodzi z produktu

Niech $n będzie$ dodatnia . Produkt dwóch funkcji zmiennej rzeczywistej $f$ i $g$ określonym i różniczkowej aż do rzędu $n$ ponad przedział jest różniczkowalną do rzędu $n$ . Wzór Leibniza dostarcza pochodną rzędu $n$ podanego przez:

(fg) ^ {{(n)}} = \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} {\ binom nk} \ f ^ {{{(k)}} \ g ^ {{(nk) }}

gdzie liczby całkowite są dwumianowymi współczynnikami i gdzie zgadzamy się, że „zerowa pochodna” $f$ , oznaczona przez $f$ $(0)$ , jest samą funkcją $f$ . ${\ tbinom nk}$

Ta formuła jest udowodniona przez indukcję na liczbie całkowitej $n$ . Dowód jest porównywalny z dwumianowym wzorem Newtona . Co więcej, można na tej podstawie wydedukować.

Demonstrację można znaleźć w szczegółowym artykule „ Reguła produktu ”.

Alternatywne serie

„Kwadratura arytmetyczna” dla π, znaleziona przez Leibniza w 1674 r., Jest przykładem naprzemiennego szeregu :

{\ Displaystyle {\ Frac {\ pi} {4}} = {\ Frac {1} {1}} - {\ Frac {1} {3}} + {\ Frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {9}} - \ cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} { 2n + 1}}.}

Odpowiada to rozwinięciu szeregu Taylora funkcji arctan , oszacowanej w punkcie 1.

Został odkryty na Zachodzie w XVII wieku , ale już około 1400 roku pojawia się u Madhavy , indyjskiego matematyka z prowincji Kerala. Używa go do obliczenia przybliżenia liczby $π$ . Najczęstszym teoria jest taka, że indyjskie prace matematyczne z tego okresu będzie znana na Zachodzie pod koniec XIX th wieku podczas kolonizacji Indii przez Wielką Brytanię .

Wyznacznik macierzy kwadratowej

Determinantę z macierzy kwadratowej o uporządkowaniu $n$ jest liczbą: $A = (a _ {{ij}})$

{\ Displaystyle \ det (A): = \ suma _ {\ sigma \ w S_ {n}} \ varepsilon (\ sigma) \ prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {i \ sigma (i) }}

gdzie $S n$ oznacza grupę o permutacje w ${1, 2, ..., N }$ i przez Ď permutacji $S n$ , ε (o) oznacza jego podpis , który jest równy 1, jeżeli permutację nawet i -1 inaczej.

Uwagi i odniesienia

List Christiana Huygensa do Leibniza z 7 listopada 1674 r. ( Czytaj online ) .
(La) Leibniz, „De vera proportione circuli ad quadratum circumscriptum in numeris rationalibus expressa”, Acta Eruditorum , luty 1682.
Leibniz, „List do M. de La Roque, dyrektora Journal des sçavans ”, 1678, Leibnizens mathematische Schriften , t. 5, s. 88-92 .
Marc Parmentier, Narodziny rachunku różniczkowego , Vrin , 1989, s. 61-81 .
(w) L. Berggren, J. Borwein i P. Borwein , P, A Source Book , Springer , 1997 "Madhava, the power series for arctan and ft (~ 1400)" s. 45-50 .