Równania Cauchy'ego-Riemanna
W Cauchy- Riemanna równania w złożonej analizy , tak nazwane na cześć Augustin Cauchy i Bernhard Riemann , dwa równań różniczkowych wyrażające warunek konieczny i wystarczający do funkcji (złożonego zmiennego o wartościach zespolonych) różniczkowalnych w sensie w punkt lub różniczkowalny w złożonym sensie w tym momencie.
Innymi słowy, są to warunki, które należy dodać do różniczkowalności w rzeczywistym sensie, aby uzyskać różniczkowalność w złożonym sensie.
Gdy funkcja jest różniczkowalna w rzeczywistym sensie w dowolnym punkcie otwarcia, równania te wyrażają konieczny i wystarczający warunek, aby była ona holomorficzna w tym otworze.
Uważamy funkcji zmiennej zespolonej, zdefiniowanej na otwartym U w płaszczyźnie zespolonej ℂ. Używane są tutaj następujące oznaczenia:
fa:U→VS{\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}
- zmienna zespolona jest oznaczona , gdzie x , y są rzeczywiste;z{\ displaystyle z} x+jay{\ displaystyle \ x + i \, y}
- rzeczywistych i urojonych części oznaczono odpowiednio a , to znaczy :, gdzie , dwa rzeczywistymi funkcjami dwóch zmiennych rzeczywistym.fa(z)=fa(x+jay){\ Displaystyle f (z) = f (x + i \, y)} P.(x,y){\ Displaystyle \ P (x, y)} Q(x,y){\ Displaystyle \ Q (x, y)}fa(z)=P.(x,y)+jaQ(x,y){\ Displaystyle f (z) = P (x, y) + i \, Q (x, y)}P.{\ displaystyle P}Q{\ displaystyle Q}
ℂ-różniczkowalne funkcje zmiennej zespolonej
Definicja
Funkcja nazywa się różniczkowalna w złożonym sensie , ℂ-różniczkowalna lub nawet różniczkowalna , w punkcie, jeśli istnieje sąsiedztwo z takich, że i takie, że funkcja:
fa:U→VS{\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}z0∈U{\ displaystyle z_ {0} \ in U} V{\ displaystyle V}z0{\ displaystyle z_ {0}}V⊂U{\ Displaystyle V \ podzbiór U}
V→VSz↦fa(z)-fa(z0)z-z0{\ displaystyle {\ begin {tablica} {lcl} V & \ rightarrow & \ mathbb {C} \\ zi \ mapsto & {\ Frac {f (z) -f (z_ {0})} {z-z_ {0}}} \ end {tablica}}}
przyznaje granice do rzeczy . Granica ta jest następnie zauważyć, i jest nazywana pochodną z pl .z0{\ displaystyle z_ {0}}fa′(z0){\ displaystyle f '(z_ {0})}fa{\ displaystyle f}z0{\ displaystyle z_ {0}}
Należy zauważyć, że warunek różniczkowalności dla złożonych funkcji zmiennych jest znacznie bardziej ograniczający niż analogiczny warunek dla rzeczywistych funkcji zmiennych. Różnica jest następująca:
- w ℝ istnieją zasadniczo dwa sposoby zbliżania się do punktu: w prawo lub w lewo. Funkcja zmiennej rzeczywistej jest różniczkowalna w pewnym momencie wtedy i tylko wtedy, gdy „tempo wzrostu” dopuszcza w tym miejscu granicę po prawej i po lewej o tej samej (skończonej) wartości;
- w ℂ istnieje nieskończona liczba sposobów zbliżania się do punktu; każdy z nich musi dać początek (skończonej) granicy „tempa wzrostu”, a ponadto wszystkie te granice są równe .
Ważna sprawa
Mówimy, że funkcja jest holomorficzna na otwarciu ℂ, jeśli jest ℂ-różniczkowalna w dowolnym punkcie tego otwarcia.
Charakterystyka funkcji różniczkowalnych ℂ w punkcie
Twierdzenie -
- Aby funkcja f była ℂ-różniczkowalna w punkcie (gdzie są rzeczywiste), jest konieczne i wystarczające:
z0=x0+jay0∈U{\ displaystyle \ z_ {0} = x_ {0} + i \, y_ {0} \ in U} x0,y0{\ displaystyle \ x_ {0}, \, y_ {0}}
- że jest rozróżnialny w prawdziwym sensie w ; z0{\ displaystyle \ z_ {0}}
- a ponadto weryfikuje w tym miejscu równania Cauchy'ego-Riemanna . Te równania można zapisać w następujących równoważnych formach:
- ∂fa∂y(z0)=ja∂fa∂x(z0){\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe y}} (z_ {0}) = ja \, {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe x}} (z_ {0})}
-
∂P.∂x(x0,y0)=∂Q∂y(x0,y0){\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe P} {\ częściowe x}} (x_ {0}, y_ {0}) = {\ Frac {\ częściowe Q} {\ częściowe y}} (x_ {0}, y_ {0})} i ∂P.∂y(x0,y0)=-∂Q∂x(x0,y0){\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe P} {\ częściowe y}} (x_ {0}, y_ {0}) = - {\ Frac {\ częściowe Q} {\ częściowe x}} (x_ {0}, y_ {0})}
-
∂¯fa(z0)=0{\ Displaystyle {\ overline {\ częściowy}} f (z_ {0}) = 0}, gdzie operator różniczkowy jest z definicji równy .∂¯{\ displaystyle {\ overline {\ części}}}12(∂∂x+ja∂∂y){\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} \ lewo ({\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe x}} + ja {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe y}} \ prawej)}
- W tym wypadku :
- różnica w punkcie jest aplikacją ; fa{\ displaystyle \ f} z0{\ displaystyle \ z_ {0}} refa(z0):VS→VS,godz↦fa′(z0)godz{\ Displaystyle \ df (z_ {0}): \ mathbb {C} \ do \ mathbb {C}, h \ mapsto f '(z_ {0}) \, h}
-
fa′(z0)=∂fa∂x(z0)=-ja∂fa∂y(z0)=∂fa(z0){\ Displaystyle \ f '(z_ {0}) = {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe x}} (z_ {0}) = - ja \, {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe y }} (z_ {0}) = \ częściowe f (z_ {0})}gdzie operator różniczkowy jest z definicji równy .∂{\ Displaystyle \ częściowe}12(∂∂x-ja∂∂y){\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} \ lewo ({\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe x}} - ja {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe y}} \ prawej)}
Dowód twierdzenia
Zachowujemy poprzednie oznaczenia; w szczególności przez r oznaczamy liczbę rzeczywistą taką, że i , a h liczbę zespoloną taką, że .
r>0{\ displaystyle \ r> 0} b(z0,r)⊂U{\ Displaystyle \ B (z_ {0}, \, r) \ podzbiór U} |godz|<r{\ Displaystyle \ | h | <r}- Przypuszczamy, że jest ℂ-różniczkowalna w : wtedy kiedy (oznaczymy pochodną ).
fa{\ displaystyle \ f}z0∈U{\ displaystyle z_ {0} \ in U}fa(z0+godz)-fa(z0)godz→W{\ Displaystyle {\ Frac {f (z_ {0} + h) -f (z_ {0})} {h}} \ do A}godz→0{\ displaystyle h \ do 0} W{\ displaystyle \ A} fa′(z0){\ displaystyle \ f '(z_ {0})}
- Definiujemy (funkcję zmiennej złożonej):
ϵ: b(0,r)→VS{\ Displaystyle \ \ epsilon: \ B (0, \, r) \ do \ mathbb {C}}
- ϵ(0)=0{\ Displaystyle \ \ epsilon (0) = 0}
-
ϵ(godz)=fa(z0+godz)-fa(z0)godz-W{\ Displaystyle \ epsilon (h) = {\ Frac {f (z_ {0} + h) -f (z_ {0})} {h}} - A}jeśli (*). Wtedy (z definicji A ): kiedygodz≠0{\ displaystyle h \ neq 0}ϵ(godz)→0{\ Displaystyle \ epsilon (h) \ do 0}godz→0{\ displaystyle h \ do 0}
- (*) można zapisać: (dla , a także dla ),fa(z0+godz)=fa(z0)+Wgodz+godzϵ(godz){\ Displaystyle f (z_ {0} + h) = f (z_ {0}) + A \, h + h \, \ epsilon (h)} godz≠0{\ displaystyle \ h \ neq 0} godz=0{\ displaystyle \ h = 0}
- lub jeszcze raz:, gdzie (**)fa(z0+godz)=fa(z0)+L(godz)+godzϵ(godz){\ Displaystyle f (z_ {0} + h) = f (z_ {0}) + L (h) + h \, \ epsilon (h)} L(godz)=Wgodz{\ Displaystyle \ L (h) = A \, h}
- Oczywiste jest, że mapa jest ℝ-liniowa (a nawet ℂ-liniowa, silniejsza właściwość). W związku z tym :
L:VS→VS,godz↦Wgodz{\ Displaystyle L: \ mathbb {C} \ do \ mathbb {C}, h \ mapsto A \, h}
-
fa{\ displaystyle \ f} jest ℝ-różniczkowalna w z0{\ displaystyle \ z_ {0}}
-
∂fa∂x(z0)=L(1)=W{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe x}} (z_ {0}) = L (1) = A}, Lub: .∂fa∂y(z0)=L(ja)=Wja{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe y}} (z_ {0}) = L (i) = A \, i}∂fa∂y(z0)=ja∂fa∂x(z0){\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe y}} (z_ {0}) = ja \, {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe x}} (z_ {0})}
- Wzajemny: przypuszczamy, że jest różniczkowalna w ℝ- a , innymi słowy :, gdzie (wbrew temu, co często assert, nie używać tutaj żadnej hipotezy ciągłości pochodnych cząstkowych: wcześniejsze obawy hipoteza jeden punkt, to może być ℝ-różniczkowalne tylko w tym momencie).
fa{\ displaystyle \ f}z0∈U{\ displaystyle z_ {0} \ in U}∂fa∂y(z0)=ja∂fa∂x(z0){\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe y}} (z_ {0}) = ja \, {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe x}} (z_ {0})}∂fa∂y(z0)=jaW{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe y}} (z_ {0}) = ja \, a}W=∂fa∂x(z0){\ Displaystyle A = {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe x}} (Z_ {0})} fa{\ displaystyle \ f}
- Przyjmując hipotezę, odnotowując L -różniczkę z en , możemy napisać:
fa{\ displaystyle \ f} z0{\ displaystyle \ z_ {0}}
-
fa(z0+godz)=fa(z0)+L(godz)+godzϵ(godz){\ Displaystyle f (z_ {0} + h) = f (z_ {0}) + L (h) + h \, \ epsilon (h)}, gdzie kiedyϵ(godz)→0{\ Displaystyle \ epsilon (h) \ do 0}godz→0{\ displaystyle h \ do 0}
- Jeśli (
u , v rzeczywiste), to przez ℝ-liniowość L , godz=u+jav{\ Displaystyle \ h = u + i \, v}L(godz)=uL(1)+vL(ja)=u∂fa∂x(z0)+v∂fa∂y(z0)=uW+vjaW=W(u+jav)=Wgodz{\ Displaystyle \, L (h) = u \, L (1) + v \, L (i) = u \, {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe x}} (z_ {0}) + v \, {\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe y}} (z_ {0}) = u \, A + v \, i \, A = A \, (u + i \, v) = A \, h}
- A więc: i kiedy fa(z0+godz)=fa(z0)+Wgodz+godzϵ(godz){\ Displaystyle f (z_ {0} + h) = f (z_ {0}) + A \, h + h \, \ epsilon (h)}ϵ(godz)→0{\ Displaystyle \ epsilon (h) \ do 0}godz→0{\ displaystyle h \ do 0}
- Jeśli wydedukujemy: kiedy . Istnienie tej granicy ustala, że jest ℂ-różniczkowalne w (tj .: istnieje ) i tamto .godz≠0{\ displaystyle h \ neq 0}fa(z0+godz)-fa(z0)godz=W+ϵ(godz)→W{\ Displaystyle {\ Frac {f (z_ {0} + h) -f (z_ {0})} {h}} = A + \ epsilon (h) \ do A}godz→0{\ displaystyle h \ do 0} fa{\ displaystyle \ f} z0{\ displaystyle \ z_ {0}} fa′(z0){\ displaystyle \ f '(z_ {0})} fa′(z0)=W(=∂fa∂x(z0)){\ Displaystyle \ f '(Z_ {0}) = A \ lewo (= {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe x}} (z_ {0}) \ prawej)}
- Dowodzi to również, że kiedy jest ℂ-różniczkowalne w :
fa{\ displaystyle \ f} z0{\ displaystyle \ z_ {0}}
- jego różnicą jest zastosowanie . L:VS→VS,godz↦Wgodz=fa′(z0)godz{\ Displaystyle \ L: \ mathbb {C} \ do \ mathbb {C}, \, h \ mapsto A \, h = f '(z_ {0}) \, h}
-
fa′(z0)=∂fa∂x(z0)=-ja∂fa∂y(z0)=∂fa(z0){\ Displaystyle \ f '(z_ {0}) = {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe x}} (z_ {0}) = - ja \, {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe y }} (z_ {0}) = \ częściowe f (z_ {0})}.
Ważna sprawa
Poniższa charakterystyka funkcji holomorficznych jest bezpośrednią konsekwencją poprzedniego twierdzenia, zastosowanego w każdym punkcie.
Twierdzenie : funkcja jest holomorficzna na otwartym U ℂ wtedy i tylko wtedy, gdy :
fa:U→VS{\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}
- jest ℝ-różniczkowalna w dowolnym punkcie U ;
- i jest ona zgodna z równania Cauchy- Riemanna w dowolnym punkcie U .
Uwaga na ciągłość pochodnych cząstkowych : możemy wykazać (jest to ważny wynik teorii Cauchy'ego), że każda funkcja holomorficzna na zbiorze otwartym ℂ y jest analityczna : oznacza to, że w sąsiedztwie każdego punktu można ją w całości rozwinąć seria; dlatego każda funkcja holomorficzna jest nieskończenie różniczkowalna, a tym bardziej dopuszcza ciągłe pochodne cząstkowe na otwartej przestrzeni.
Przykłady
- Funkcja jest klasy C 1 na ℂ, więc jest tam ℝ-różniczkowalna; ale nie jest ℂ-różniczkowalna w żadnym momencie, ponieważ nigdzie nie spełnia równań Cauchy'ego-Riemanna. Rzeczywiście, jak :
fa:VS→VS,z↦z¯{\ displaystyle f: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}, z \ mapsto {\ bar {z}}} fa(z)=x-jay{\ Displaystyle \ f (z) = x - \, ja \, y}
-
∂fa∂x(z)=1{\ Displaystyle \ {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe x}} (z) = 1} i ∂fa∂y(z)=-ja{\ Displaystyle \ {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe y}} (z) = - i}
- i dla wszystkich , .z∈VS{\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}} ∂fa∂y(z)≠ja ∂fa∂x(z){\ Displaystyle \ {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe y}} (z) \ neq i \ {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe x}} (z)}
- Funkcja jest klasy C 1 na ℂ, więc jest tam ℝ-różniczkowalna; jest ℂ-różniczkowalna w 0 i tylko w tym miejscu (nie jest holomorficzna na żadnym otwartym, jego zbiór ℂ-różniczkowalności jest pusty wnętrze).fa:VS→VS,z↦|z|2{\ displaystyle f: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}, z \ mapsto | z | ^ {2}} {0}{\ displaystyle \ \ {0 \}}
- Funkcja jest holomorficzna na ℂ i dla wszystkich , . Istotnie, jeśli a , kiedy . Mamy zatem:
fa:VS→VS,z↦z2{\ displaystyle f: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}, z \ mapsto z ^ {2}}z∈VS{\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}} fa′(z)=2z{\ Displaystyle \ f '(z) = 2 \, z}z0∈VS{\ displaystyle z_ {0} \ in \ mathbb {C}}godz∈VS∗{\ displaystyle h \ in \ mathbb {C} ^ {*}}fa(z0+godz)-fa(z0)godz=2 z0+godz→2z0{\ Displaystyle {\ Frac {f (z_ {0} + h) -f (z_ {0})} {h}} = 2 \ z_ {0} + h \ do 2 \, z_ {0}} godz→0{\ displaystyle \ h \ do 0} fa(z)=x2-y2+2jaxy{\ Displaystyle \ f (z) = x ^ {2} -y ^ {2} +2 \, i \, x \, y}
- ∂fa∂x(z)=2x+2jay=2z{\ Displaystyle \ {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe x}} (z) = 2 \, x + 2 \, i \, y = 2 \, z}
-
∂fa∂y(z)=-2y+2jax=2jaz=ja ∂fa∂x(z){\ Displaystyle \ {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe y}} (z) = - 2 \, y + 2 \, i \, x = 2 \, i \, z = i \ {\ Frac { \ częściowe f} {\ częściowe x}} (z)}(Równania Cauchy'ego-Riemanna w punkcie z )
- Ograniczający charakter warunku holomorficznego jest szczególnie uderzający, gdy zastosujemy warunki Cauchy'ego-Riemanna do funkcji o wartościach rzeczywistych zdefiniowanej na otworze ℂ: dwie pochodne cząstkowe względem x i do y muszą wtedy wynosić zero, a funkcja musi być lokalnie stały! Innymi słowy, funkcja holomorficzna z wartościami rzeczywistymi na połączonym zbiorze ℂ z konieczności redukuje się do stałej.
Na przykład funkcja argumentu z (rzeczywista i nie stała) nie jest holomorficzna. Łatwo jest zweryfikować, że równania Cauchy'ego-Riemanna nie są spełnione, ponieważ jego pochodnymi cząstkowymi są arctan ( y / x ). To samo dotyczy oczywiście funkcji modułu z (rzeczywistej, a nie stałej).
Uwagi i odniesienia
Zobacz też
Bibliografia
- Walter Rudin , Real and complex analysis [ szczegóły wydań ]
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">