Dla metodą Monte-Carlo , A zmienna sterowania mogą być stosowane w celu uzyskania zmniejszenia zmienności , przez wykorzystanie korelację między statystyk.
Chcemy oszacować parametr ľ i ma szacunkową m niepolaryzowanych od ľ ; tj . Mamy inną statystykę t , taką, że i jej korelacja z m , ρ mt , jest znana. Zakładając, że wszystkie te stałe są znane, możemy skonstruować nowy estymator dla danej stałej c :
Pokazujemy, że ten estymator jest nieobciążonym estymatorem µ , niezależnie od wyboru stałej c . Ponadto można wykazać, że wybór
Pozwala to zminimalizować wariancję z . Dla tego wyboru c wariancja estymatora wynosi wtedy
;Z konstrukcji wariancja będzie mniejsza niż wariancja początkowego estymatora m , stąd termin redukcja wariancji . Im wyższa korelacja jest ważne, tym bardziej ważna będzie redukcja wariancji.
Gdy odchylenia standardowe σ m , σ t lub korelacja ρ mt są nieznane, można je zastąpić ich szacunkami empirycznymi.
Chcemy oceniać
którego prawdziwa wartość to . Ponieważ całka może być postrzegane jako oczekiwaniem f ( U ) , z U średnia ciągły rozkład jednolity w [0; 1] , oszacowanie Monte Carlo możliwe.
Klasyczne oszacowanie opiera się na próbie n losowań prawa jednolitego u 1 , ..., u n i jest równe
Wprowadza się jako wielkość sterująca T = 1 + U . Ta zmienna jest ciągła i jednorodna w [1; 2], jej oczekiwanie wynosi 3/2, a wariancja 1/12. Z założenia jego kowariancja z f ( U ) wynosi
.Korzystając z oprogramowania do algebry komputerowej, możemy nadal dokładnie oceniać wszystkie inne wielkości związane z metodą; ale najbardziej praktycznym pozostaje zastąpienie wszystkich momentów ich empirycznym odpowiednikiem. Przy próbie n = 1500 powtórzeń znajdujemy σ m = 0,14195 , ρ = –0,98430 i σ t = 0,29002 . Optymalna stała to -0,48175. Znajdujemy następujące wyniki:
Oszacowanie | Zmienność | |
Podstawowy Monte Carlo | 0.69631 | 0,02015 |
Monte Carlo - kontrola | 0,69356 | 0,00063 |
Dzięki masowo ujemnej korelacji ze zmienną kontrolną możliwe jest bardzo istotne zmniejszenie wariancji estymatora Monte-Carlo.