Twierdzenie Nagela

Istnieje kilka Nagel twierdzenia , wszystko związane z geometrii trójkąta .

Twierdzenie I

Niech ABC będzie trójkątem. Niech H będzie jego ortocentrum, a O będzie środkiem okręgu opisanego w tym trójkącie. Jeśli kąt jest ostry to ma taką samą dwusieczną jak kąt .

\ szeroki kapelusz {BAC}

{\ displaystyle {\ widehat {HAO}}}

Demonstracja

Trójkąt ABC nie ma kątów rozwartych

Środek opisanego okręgu O i ortocentrum H znajdują się wtedy wewnątrz trójkąta ABC .

Niech $β będzie$ kątem , który jest wpisany w opisane koło (patrz rysunek A). jest odpowiednim kątem środkowym o wartości $2$ $β$ . Trójkąt AOC jest równoramienny, ponieważ OA i OC są promieniami koła opisanego. Kąty i są sobie równe i wynoszą $α$ $= π / 2 -$ $β$ . $\ szeroki kapelusz {ABC}$ ${\ displaystyle {\ widehat {COA}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {OAC}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {ACO}}}$

Albo I stopa wysokości z A . Trójkąt ABI jest prostokątny, a kąt to $π/2 -$ $β$ $=$ $α$ . ${\ styl wyświetlania {\ szeroki kapelusz {BAI}}}$

Dwusieczna kąta jest zatem również dwusieczną kąta, który jest również kątem , ponieważ ortocentrum H znajduje się wewnątrz segmentu AI . Zauważ, że kąt wynosi zero, gdy kąty wierzchołków B i C trójkąta ABC są identyczne, co ma miejsce, gdy trójkąt jest równoboczny lub równoramienny w A . $\ szeroki kapelusz {BAC}$ ${\ displaystyle {\ widehat {IAO}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {HAO}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {HAO}}}$

Trójkąt ABC to prostokąt

Środek opisanego okręgu O jest środkiem przeciwprostokątnej, ortocentrum H jest wierzchołkiem kąta prostego.

Kąt nie jest zdefiniowany, jeśli A jest wierzchołkiem kąta prostego i twierdzenie Nagela nie ma zastosowania do tego wierzchołka. ${\ displaystyle {\ widehat {HAO}}}$

Dla innego szczytu kąty i są takie same jak AH i AO to dwa boki trójkąta łączącego A . Dlatego mają tę samą dwusieczną. $\ szeroki kapelusz {BAC}$ ${\ displaystyle {\ widehat {HAO}}}$

Trójkąt ABC ma kąt rozwarty

Środek opisanego okręgu O i ortocentrum H znajdują się wówczas na zewnątrz trójkąta ABC .

Jeśli A jest jednym z dwóch wierzchołków kąta ostrego (patrz rysunek B), dowód jest podobny do przypadku trójkąta bez kąta rozwartego. Wysokość AI i promień AO są tutaj segmentami poza trójkątem. Kąt i kąt są identyczne, ponieważ ortocentrum H znajduje się poza wysokością AI boku wysokości stopy. ${\ displaystyle {\ widehat {IAO}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {HAO}}}$

Jeśli kąt w A jest kątem rozwartym (patrz rysunek C), to nadal z tym samym rozumowaniem, kąty i mają tę samą dwusieczną. Ponieważ jednak ortocentrum H znajduje się tutaj poza trójkątem, ale po stronie wierzchołka wysokości, dwusieczną kąta jest prosta (D), która tworzy kąt $π/2$ z dwusieczną kąta i kąta Nagla. twierdzenie nie ma zastosowania. $\ szeroki kapelusz {BAC}$ ${\ displaystyle {\ widehat {IAO}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {HAO}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {IAO}}}$

Wniosek

Z wyjątkiem sytuacji, gdy kąt rozpatrywanego wierzchołka A jest prawidłowy, jeśli podstawimy ortocentrum H przez I stopę wysokości wynikającej z A , to kąty i zawsze mają tę samą dwusieczną. $\ szeroki kapelusz {BAC}$ ${\ displaystyle {\ widehat {OAI}}}$

Twierdzenie III

W trójkącie linie łączące stopy wysokości są odpowiednio prostopadłe do promieni łączących wierzchołki ze środkiem koła opisanego.

Bibliografia

Pan Housel " dowód twierdzenia III pana Nagel ," Annals of Mathematics Wiadomości , 1 st seria, vol. 19,1860, s. 438-440 ( przeczytaj online )

Powiązany artykuł

Punkt Nagel