Teoria przesączania

Teorii perkolacji jest gałęzią fizyki statystycznej i matematyki , która koncentruje się na cechach przypadkowych mediów, w szczególności zbiór wierzchołków połączonych w przypadkowej wykresie . Teoria ta jest szczególnie przydatna w materiałoznawstwie do formalizowania właściwości przepływu w ośrodkach porowatych i do modelowania zjawisk naturalnych, takich jak pożary.

Matematyczny model perkolacji został wprowadzony przez Johna Hammersleya (w) w 1957 roku i próbuje odpowiedzieć na nieformalne pytanie: wyobraź sobie, że umieszczamy wodę w zagłębieniu na wierzchu porowatego materiału. Jakie są szanse, że jest wystarczająco dużo kanałów komunikujących się ze sobą, aby woda dotarła do podstawy kamienia?

Podstawowy opis modelu

Niech będzie parametrem między a . Dwa punkty (lub wierzchołki ) w odległości euklidesowej od sieci -wymiarowej (o dwóch takich punktach mówi się, że są sąsiadami ) są następnie połączone z prawdopodobieństwem krawędzią. Rezultatem jest nieskończony losowy wykres . $p$ ${\ displaystyle 0}$ $1$ $1$ $re$ $Z ^ {d}$ $p$

Prawdopodobieństwo perkolacji z tego wykresu, znany jest prawdopodobieństwo, że podłączone urządzenie zawierające źródło jest nieskończonej wielkości. ${\ Displaystyle \ theta (p)}$

Łącząc argumenty, pokazujemy, że jest to rosnąca funkcja . Pokazujemy również, że istnieje punkt krytyczny taki, że wynosi zero jeśli i ściśle dodatni jeśli . Harry Kesten wykazały, że wymiar , . $\ theta$ $p$ $p_ {c}$ ${\ Displaystyle \ theta (p)}$ ${\ displaystyle p <p_ {c}}$ ${\ displaystyle p> p_ {c}}$ $2$ ${\ displaystyle p_ {c} = 1/2}$

Różne reżimy

Reżim podkrytyczny

{\ displaystyle p <p_ {c}}

W tym systemie nie ma nieskończonej ścieżki na wykresie. Skończone połączone komponenty (zwane również klastrami) są na ogół małe. Dokładniej, prawdopodobieństwo, że klaster zawierający punkt ma rozmiar przekraczający, maleje wykładniczo szybko z . W szczególności średnia wielkość klastra jest ograniczona. $x$ $nie$ $nie$

Dieta krytyczna

{\ displaystyle p = p_ {c}}

Reżim jest nadal słabo poznany (z godnym uwagi wyjątkiem wymiaru 2). Można przypuszczać , że to znaczy, że w punkcie krytycznym nie ma przesiąkania, ale na razie jest to widoczne tylko w wymiarze drugim lub w wymiarze dużym . W szczególności przypadek wymiaru trzeciego, którego fizyczne znaczenie jest oczywiste, pozostaje nieudowodniony. ${\ displaystyle \ theta (p_ {c}) = 0}$ ${\ displaystyle d> 18}$

Zbyt krytyczna dieta

{\ displaystyle p> p_ {c}}

W fazie nadkrytycznej występuje jeden nieskończony składnik punktów połączonych. Ponadto gotowe klastry są na ogół małe. Nieskończona gromada spotyka się z całą przestrzenią; dokładniej część punktów pola rozmiaru należące do klastra dąży do nieskończoności , gdy dąży do nieskończoności. Wiemy również, że nieskończona gromada jest bardzo szorstka: proporcja punktów w pudełku rozmiarów, które znajdują się na granicy nieskończonej gromady, wśród ogółu punktów nieskończonej gromady, które znajdują się w tym pudełku, zmierza do, gdy zmierza w kierunku nieskończoności . $nie$ ${\ Displaystyle \ theta (p)> 0}$ $nie$ $nie$ $1-p$ $nie$

Inne modele

Model ciągły: teoria perkolacji rozciąga się na media ciągłe, takie jak diagramy Boole'a sfer. Jeśli progi przesączania różnią się od tych obserwowanych w sieciach, krytyczne wykładniki należą do tej samej klasy uniwersalności, co w sieciach.
Zorientowane przesączania , który ma powiązania z procesu kontaktowego
FK przesączania , który łączy perkolacji model isinga i modelu Potts .
Przesączania pierwszy przebieg
Uogólniona perkolacja ostatniego przejścia, która jest modelem wzrostu w dyskretnej ćwiartce płaszczyzny z szeregiem praw prawdopodobieństwa jako parametrem . ${\ Displaystyle (\ mu _ {\ Delta}) _ {\ Delta \ in \ mathbb {N}} \ in {\ mathcal {P}} (\ mathbb {N} ^ {*}) ^ {\ mathbb {N }}}$

Praktyczne zastosowania teorii perkolacji

W fizyce

Ogólnie rzecz biorąc, krytyczne wykładniki obserwowane dla pól (eksperymentalnie lub za pomocą modeli, na przykład w zagadnieniach przewodnictwa, mechaniki i przenikalności) różnią się od wykładników geometrycznych. Zjawiska te odzwierciedlają wpływ korelacji pola w wyniku oddziaływań fizycznych (lub z matematycznego punktu widzenia na skojarzone z nimi równania różniczkowe). W szczególności wykładniki różnią się w sieciach i mediach ciągłych dzięki istnieniu nieskończenie małych odległości między interfejsami, których nie można ograniczyć rozmiarem łączy.

Ogólnie istnieją dwa rodzaje przesączania, pierwszy i drugi. Pierwszy przypadek skupia przejścia ciągłych pól, które spotykają się w szczególności w przypadkach, gdy potencjał energii ma tylko jedno minimum. Wręcz przeciwnie, gdy pojawi się kilka lokalnych minimów, może pojawić się nieciągłe przejście. Te zjawiska nie mogą mieć miejsca w standardowej teorii perkolacji.

Modelowanie zjawisk przyrodniczych

Pożary

Jednym z zastosowań teorii perkolacji jest badanie pożarów lasów (a ściślej szerzenia się epidemii).

W tym modelu drzewa są wierzchołkami wykresu, a krawędź reprezentuje fakt, że dwa drzewa mają ten sam stan: jeśli jedno zostało trafione (lub zainfekowane), to drugie też. Pozostaje zatem pytanie, czy pożar pozostaje zlokalizowany, czy też rozciąga się na dużą część lasu. To modelowanie nie wymaga czasu i zakłada, że wszystkie drzewa są identyczne.

Migracje

Krajobraz ekologia jest zainteresowana możliwością gatunków i osobników poruszać się w przestrzeni, która wymaga pomiaru łączności ekologicznej odzwierciedlającej funkcjonalną łączność między siedlisk naturalnych lub półnaturalnych i migracji stóp (lub dyspersji), związanego ze złożonymi zachowaniami i zagrożeń klimatycznych . duża część migracji odbywa się dodatkowo w nocy . Wymaga to często bardzo drogich i delikatnych metod, takich jak śledzenie radiowe, automatyczne wykrywanie i / lub fotografowanie, pułapki śladowe lub metody przechwytywania i przechwytywania znaku.

Teoria przesiąkania jest więc jednym z narzędzi teoretycznych przetestowanych w badaniach i modelowaniu zdolności osobników i populacji do migracji (w strumieniu) między ziarnami lub plamami krajobrazu, przy czym te ostatnie są w pewnym sensie porównywane z porowatym środowisko, w którym każdy gatunek krąży mniej lub bardziej łatwo. Innymi słowy, perkolacja pozwala ocenić związek między odruchem migracyjnym gatunków a mniej lub bardziej liberalnym usposobieniem dowolnego środowiska naturalnego.

Gospodarka

Teoria perkolacji, która bada systemy heterogeniczne i nieuporządkowane, stanowi uzupełniające podejście w ekonomii. Umożliwia badanie rozprzestrzeniania się informacji (technologii, ceny, zachowania, opinii itp.) Na losowej i niejednorodnej strukturze, w której zbiór elementów (agenci, firmy itp.) Tworzy sieć.

Wśród tematów zastosowań perkolacji w ekonomii można wymienić sieci organizacji, giełdy, terytoria, integrację rynkową, dominację technologii czy konwencji itp.

Inne zjawiska przesiąkania

Istnieją przykłady zmian stanu lub fazy od określonego progu w wielu obszarach, zarówno ludzkich, jak i społecznych ( biegun rozwoju ) i fizycznych ( rozszczepienie jądrowe ).

Uwagi i odniesienia

Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu zatytułowanego „ Percolation ” (zobacz listę autorów ) .

(w) SR Broadbent i JM Hammersley , „ procesy perkolacji I. Kryształy i labirynty ” , Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , tom. 53, n o 3 1957 1907-xx s. 629–641 ( ISSN 0305-0041 i 1469-8064 , DOI 10.1017 / S0305004100032680 , czytaj online , dostęp 9 kwietnia 2021 )
Zastosowanie teorii perkolacji , Taylor i Francis, Muhammad Sahimi.
Artykuł Percolation, gra losowych tilinów autorstwa Hugo Duminila-Copina dla Images des Maths i Pour la science .
Ta część jest inspirowana Théret 2013
„ Percolation and economy ” , on percolation.free.fr (dostęp 18 października 2020 r. )

Zobacz też

Leksykony

(en) Geoffrey Grimmett , Percolation , Springer
(en) Harry Kesten , Teoria perkolacji dla matematyków , Birkhaüser
(en) Dietrich Stauffer (de) i Amnon Aharony, Wprowadzenie do teorii perkolacji , Londyn, Taylor i Francis , 1985

Popularyzacja

Marie Théret , „Internet, pożary lasów i porowatość: znajdowanie wspólnego punktu” , w matematyce eksplozja trwa , FSMP, SFS, SMF, SMAI,2013, s. 57-62

Powiązane artykuły

Przesiąkanie
Losowy wykres
Powiązany wykres
Algorytm Hoshena-Kopelmana , algorytm związany z perkolacją

Linki zewnętrzne

Artykuł Percolation, gra losowych tilinów autorstwa Pour la science , Hugo Duminil-Copin.
http://www.jeudhex.com Niezwykłe właściwości sześciokątnej nawierzchni zawsze 2-drożnej autorstwa Edouarda Rodriguesa.