Twierdzenie Poincarégo o indukcji

Twierdzenie Poincare'a o rekurencji mówi, że dla prawie wszystkich „warunków początkowych”, system dynamiczny zachowawczy, którego przestrzeń fazowa jest „objętością”, będzie z czasem tak blisko, jak chcemy, jej stan początkowy i powtarzalny.

Kontekst

System dynamiczny

Niech będzie mierzonym układem dynamicznym , to znaczy trypletem, gdzie: $(X, \ mu, \ phi)$

$X$ jest mierzalną przestrzenią, która reprezentuje przestrzeń fazową układu.
$\ mu$ jest skończona miara na , $X$
$\ phi: X \ do X$ jest mierzalną funkcją zachowującą miarę , to znaczy taką, że: $\ mu$

\ forall \ A \ subset X \, \ quad (\ mu \ circ \ phi ^ {- 1}) (A) \ = \ \ mu \ left [\ phi ^ {- 1} (A) \ right] \ = \ \ mu (A)

Powtarzanie się punktu

Rozważ wymierny podzbiór. Mówi się, że punkt powtarza się w odniesieniu do warunku „ jeśli” $A \ podzbiór X$ ${\ Displaystyle x \ w X}$ $W$

{\ Displaystyle \ phi ^ {k} (x) \ w A}

dla nieskończoności liczb całkowitych .

k

Innymi słowy: ma charakter powtarzający względem , jeśli dla każdej liczby całkowitej naturalnego , istnieje całkowita takie, że , to znaczy jeśli . $x$ $W$ $p$ ${\ displaystyle k \ geq p}$ ${\ Displaystyle \ phi ^ {k} (x) \ w A}$ ${\ Displaystyle x \ in \ cap _ {p \ in \ mathbb {N}} \ cup _ {k \ geq p} \ phi ^ {- k} (A)}$

Twierdzenie Poincarégo o indukcji

Niech będzie mierzalnym podzbiorem dla miary . Więc prawie wszystkie punkty powtarzają się w odniesieniu do . $A \ podzbiór X$ $\ mu$ $W$ $W$

Demonstracja

Niech (dla wszystkich liczb naturalnych ) i . ${\ Displaystyle U_ {p} = \ kubek _ {k \ geq p} \ phi ^ {- k} (A)}$ $p$ ${\ displaystyle U = \ cap _ {p \ in \ mathbb {N}} U_ {p}}$

Chodzi o udowodnienie, że zbiór punktów jednorazowych względem ma miarę zerową, to znaczy (ponieważ jest to suma policzalna), że każdy ma miarę zerową. ${\ Displaystyle A \ setminus U = \ kubek _ {p \ w \ mathbb {N}} \ lewo (A \ setminus U_ {p} \ po prawej)}$ $W$ $W$ ${\ Displaystyle A \ setminus U_ {p}}$

Na podstawie i wnioskujemy, że wszystkie mają tę samą miarę. ${\ Displaystyle U_ {p + 1} = \ phi ^ {- 1} (U_ {p})}$ ${\ Displaystyle \ mu \ lewo [\ phi ^ {- 1} (U_ {p}) \ prawo] = \ mu (U_ {p})}$ $U_ {p}$

Kończymy na tym i jesteśmy uwzględnieni w : $W$ $U_ {p}$ $U_0$

{\ Displaystyle \ mu \ lewo (A \ setminus U_ {p} \ prawej) \ równoważnik \ mu \ lewo (U_ {0} \ setminus U_ {p} \ prawo) = \ mu \ lewo (U_ {0} \ prawo) ) - \ mu \ left (U_ {p} \ right) = 0}

Historia

Twierdzenie to zostało opublikowane przez Poincarégo w 1890 r. W artykule O problemie trzech ciał i równaniach dynamiki . Praca ta będzie warta autora nagrody króla Oscara, króla Norwegii i Szwecji, pasjonata matematyki. Jury składało się z Weierstrass , Mittag-Leffler i Hermite . Historia tego pamiętnika jest znana.

Uwagi i odniesienia

W teorii pomiaru mówimy, że właściwość P jest prawdziwa dla „prawie wszystkich punktów” (zbioru mierzalnego), jeśli zbiór x, dla którego P ( x ) jest fałszem, ma miarę zerową .
Yves Coudène, Teoria ergodyczna i systemy dynamiczne , EDP Sciences ( czytaj online ) , str. 11-12.
Luís Barreira i Claudia Valls, Theory of Dynamical Systems: An Introduction , EDP Sciences ( czytaj online ) , str. 183-184.
Jeśli A ma miarę zerową, może się nawet zdarzyć, że żaden punkt A nie jest powtarzalny (w odniesieniu do A ), co nie jest sprzeczne z twierdzeniem, ale nie odpowiada temu, czego można by oczekiwać intuicyjnie.
Henri Poincaré , „ O problemie trzech ciał i równań dynamiki ”, Acta Mathematica , vol. 13,1890, s. 1-270
Przeczytaj na przykład (w) June Barrow-Green , Poincaré and the Three Body Problem , AMS & LMS , wyd. "Historia matematyki" ( N O 11)1997( czytaj online ).

Zobacz też

Powiązane artykuły

Link zewnętrzny

François Béguin, " Poincaré's theorem of recurrence " , on Images des maths ,20 kwietnia 2012