Mierzony system dynamiczny

Mierzony układ dynamiczny jest matematycznym obiektu, co stanowi przestrzeń fazową wyposażony w prawa ewolucji, szczególnie studiował w teorii ergodycznej .

Definicja

Zmierzona dynamicznego systemu otrzymuje przestrzeń prawdopodobieństwa i mierzalny odwzorowania f : X → X . Wymagamy f zachować miary, co oznacza, że: ${\ Displaystyle (X, {\ mathfrak {B}}, \ mu)}$

{\ Displaystyle \ forall B \ in {\ mathfrak {B}} \ quad \ mu (f ^ {- 1} (B)) = \ mu (B).}

Ta bardzo bogata własność umożliwia uzyskanie potężnych twierdzeń. Ponadto twierdzenie twierdzi, że nie przetwarza tylko ciągła X → X o zwartej przestrzeni topologicznej X , a miary prawdopodobieństwa , Borel , zachowując tę przemianę. (Jest to zastosowanie twierdzenia o reprezentacji Riesza-Markowa ).

Przykłady

Możemy zbadać funkcję logistyczną : bierzemy X = [0, 1] if ( x ) = 4 x (1 - x ). Wyposażamy X w jego plemię Borelian i bierzemy za miarę . ${\ Displaystyle {\ Frac {{\ rm {d}} x} {\ pi {\ sqrt {x (1-x)}}}}}$
W obroty koła najbardziej oczywistych przykładów od miary kąta znormalizowane dθ / 2π to miara prawdopodobieństwa niezmienny przez obrót.
Możemy uogólnić poprzednią transformację, wprowadzając dla dowolnej zwartej grupy topologicznej miarę boreliańską zwaną miarą Haara, która jest niezmienna przez dowolny obrót ( tj. Przez dowolne zastosowanie postaci x ↦ ax )
Zobacz także przesunięcia Bernoulliego .

Zobacz też

Do każdego mierzonego układu dynamicznego możemy przypisać liczbę zwaną entropią metryczną, mierząc ilościowo jego dynamiczną złożoność. Jest ponadto niezmiennikiem koniugacji.