System różnicowy
Układu różnicowego jest zbiorem połączonych różniczkowych równań, czyli równań różniczkowych, które nie mogą zostać rozwiązane oddzielnie.
Są to zwykle zwykłe równania różniczkowe , ale zestaw równań różniczkowych cząstkowych można również nazwać układem różniczkowym.
Przykłady
Równania różniczkowe sprzężone
System Lorenza :
{rexret=σ[(y(t)-x(t)]reyret=ρx(t)-y(t)-x(t)z(t)rezret=x(t)y(t)-βz(t){\ Displaystyle \ lewo \ {{\ zaczynać {wyrównane} {\ Frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} & = \ sigma \, [(y (t) -x (t) ] \\ {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} & = \ rho \, x (t) -y (t) -x (t) \, z (t) \ \ {\ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d} t}} & = x (t) \, y (t) - \ beta \, z (t) \ end {wyrównane}} \ right .}![{\ Displaystyle \ lewo \ {{\ zaczynać {wyrównane} {\ Frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} & = \ sigma \, [(y (t) -x (t) ] \\ {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} & = \ rho \, x (t) -y (t) -x (t) \, z (t) \ \ {\ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d} t}} & = x (t) \, y (t) - \ beta \, z (t) \ end {wyrównane}} \ right .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fef77716c0512f84e19fe3ec81298c82989b6ee7)
Ten system tylko z trzema stopniami swobody jest uproszczeniem równań Naviera-Stokesa (patrz poniżej), mających zastosowanie do Rayleigha-Bénarda dla liczb Rayleigha powyżej wartości krytycznej ( ). Jest to jeden z najprostszych systemów różnicowych prowadzących do chaotycznego zachowania (a także okresowych trajektorii).
ρ=Rw/Rwvs{\ displaystyle \ rho = \ mathrm {Ra / Ra_ {c}}}![{\ displaystyle \ rho = \ mathrm {Ra / Ra_ {c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/964776e25e2393f1658715a965914e62ed5a462f)
Równania różniczkowe cząstkowe sprzężone
Równania Naviera-Stokesa :
{∂∂t(ρu)+∇⋅(ρu⊗u)=-∇⋅pja+∇⋅τ+ρsolρ(∂u∂t+u⋅∇u)=-∇p¯+μ∇2u+13mu∇(∇⋅u)+ρsol{\ Displaystyle \ lewo \ {{\ zaczynać {wyrównane} {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe t}} (\ rho \, \ mathbf {u}) + \ nabla \ cdot (\ rho \, \ mathbf { u} \ otimes \ mathbf {u}) & = - \ nabla \ cdot p \, \ mathbf {I} + \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ tau}} + \ rho \, \ mathbf {g} \\ \ rho \ left ({\ frac {\ części \ mathbf {u}} {\ częściowe t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} \ right) & = - \ nabla {\ bar { p}} + \ mu \, \ nabla ^ {2} \ mathbf {u} + {\ tfrac {1} {3}} mu \, \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {u}) + \ rho \ mathbf {g} \ end {aligned}} \ right.}![{\ Displaystyle \ lewo \ {{\ zaczynać {wyrównane} {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe t}} (\ rho \, \ mathbf {u}) + \ nabla \ cdot (\ rho \, \ mathbf { u} \ otimes \ mathbf {u}) & = - \ nabla \ cdot p \, \ mathbf {I} + \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ tau}} + \ rho \, \ mathbf {g} \\ \ rho \ left ({\ frac {\ części \ mathbf {u}} {\ częściowe t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} \ right) & = - \ nabla {\ bar { p}} + \ mu \, \ nabla ^ {2} \ mathbf {u} + {\ tfrac {1} {3}} mu \, \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {u}) + \ rho \ mathbf {g} \ end {aligned}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7d27645e6b5510235f768fda6a47b958fefeb26)
gdzie ilości i są powiązane relacjami nieróżniczkowymi.
p{\ displaystyle p}
τ{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}}}
u{\ displaystyle \ mathbf {u}}![\ mathbf {u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/261e20fe101de02a771021d9d4466c0ad3e352d7)
Równania Naviera-Stokesa opisują ruch płynów Newtona i tworzą serce dynamiki płynów .
Układ różniczkowy a pojedyncze równanie różniczkowe
Rozwiązywanie układu równań różniczkowych można sprowadzić do rozwiązania pojedynczego równania różniczkowego wyższego rzędu. W systemie Lorenz , przykładowo (patrz wyżej), można użyć 1 st równanie wyrazić jako funkcję i , i podać wynik w dwóch równań. Następnie można wyodrębnić z 2 -go równaniem wyrazić jako funkcję , i , i podać wynik w 3 rd i ostatniego równania. Pojedynczy związek ten sposób otrzymuje się pomiędzy , , a , to znaczy jest kolejność równanie różniczkowe 3.
y(t){\ Displaystyle y (t)}
x(t){\ Displaystyle x (t)}
rexret{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}}}
z(t){\ displaystyle z (t)}
x(t){\ Displaystyle x (t)}
rexret{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}}}
re2xret2{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}}
x(t){\ Displaystyle x (t)}
rexret{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}}}
re2xret2{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}}
re3xret3{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} ^ {3} x} {\ mathrm {d} t ^ {3}}}}![{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} ^ {3} x} {\ mathrm {d} t ^ {3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11d8a1a1157060c9941353813bb39db8c41f6f6d)
I odwrotnie, możemy przekształcić równanie różniczkowe rzędu n w układ różniczkowy rzędu 1 i wymiaru n (tj. Zbiór n sprzężonych równań różniczkowych, każde z rzędu 1).
Przypadki specjalne
Liniowe układy różnicowe
Liniowy układ różniczkowy składa się z liniowych równań różniczkowych (liniowość dotyczy nieznanych funkcji i ich pochodnych).
Układ różniczkowy rzędu 1 i wymiaru jest równoważny unikalnemu równaniu różniczkowemu rzędu i odwrotnie. Mówiąc bardziej ogólnie, każdy układ (o dowolnym wymiarze) liniowych równań różniczkowych (dowolnego rzędu) można zapisać jako liniowy układ różniczkowy rzędu 1, który można przedstawić w postaci kanonicznej:
nie{\ displaystyle n}
nie{\ displaystyle n}![nie](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
rexret=L(t)⋅x(t){\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} \ mathbf {x}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {l} (t) \ cdot \ mathbf {x} (t)}![{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} \ mathbf {x}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {l} (t) \ cdot \ mathbf {x} (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d7633710e0dad3de6d4a69aff24b5ac03855313)
gdzie jest wektor kolumna zbierania brak funkcji a kwadratowych macierzy , której elementy są znane funkcje zmiennej . System ma unikalne rozwiązanie, jeśli dodamy dodatkowe warunki, najczęściej w postaci warunków początkowych :
x(t){\ displaystyle \ mathbf {x} (t)}
nie{\ displaystyle n}
x1(t),x2(t),...,xnie(t){\ Displaystyle x_ {1} (t), x_ {2} (t), \ ldots, x_ {n} (t)}
L(t){\ displaystyle \ mathbf {l} (t)}
t{\ displaystyle t}
nie{\ displaystyle n}![nie](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
x(t0)=x0{\ Displaystyle \ mathbf {x} (t_ {0}) = \ mathbf {x} _ {0}}![{\ Displaystyle \ mathbf {x} (t_ {0}) = \ mathbf {x} _ {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e9b78fd114617e57aff79fcd2713d7760fa660d)
gdzie jest określony moment („początkowy”) i kolumna stałych.
t0{\ displaystyle t_ {0}}
x0{\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}
nie{\ displaystyle n}![nie](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
Jak każdy system rzędu 1 z warunkami początkowymi, powyższy system ma unikalne rozwiązanie. Możemy to wyjaśnić, kiedy macierz współczynników dojeżdża ze swoją pochodną :
L(t){\ displaystyle \ mathbf {l} (t)}
reL/ret{\ Displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {L} / \ mathrm {d} t}![{\ Displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {L} / \ mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b92c2362231ab190b82d91d5f2a10ad1b251422)
x(t)=exp(∫t0tL(τ)reτ)⋅x0{\ Displaystyle \ mathbf {x} (t) = \ exp \ lewo (\ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ mathbf {L} (\ tau) \ \, \ mathrm {d} \ tau \ prawej ) \ cdot \ mathbf {x} _ {0}}![{\ Displaystyle \ mathbf {x} (t) = \ exp \ lewo (\ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ mathbf {L} (\ tau) \ \, \ mathrm {d} \ tau \ prawej ) \ cdot \ mathbf {x} _ {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2af4181f26595df342071fe0e654dee5391619ef)
gdzie wyznacza operator potęgowania macierzy . W ogólnym przypadku można wyrazić rozwiązanie tylko w postaci rozwinięcia szeregowego .
exp{\ displaystyle \ exp}![{\ displaystyle \ exp}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d1185b570f67b4221307626254f64f9e619e769)
Autonomiczne systemy różnicowe
Kiedy mówimy o systemach autonomicznych, zmienną jest na ogół czas t . Mówi się, że układ różniczkowy jest autonomiczny, jeśli jego równania nie zawierają żadnej funkcji t innej niż nieznane funkcje i ich pochodne ( autonomiczne równania różniczkowe ).
Jest to zwłaszcza przypadek systemu Lorenz wyżej i równań Navier'a-Stokesa, jeśli parametry ( , , etc. ) i warunki brzegowe wyraźnie nie zależy od czasu.
ρ{\ displaystyle \ rho}
sol→{\ displaystyle {\ vec {g}}}![{\ vec g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aad928c73fda5199478a151663f0ce3a57a8027)
Osobliwością systemu autonomicznego jest to, że przez dowolny punkt w przestrzeni rozwiązań przechodzi jedną trajektorię i tylko jedną. Na przykład w przypadku systemu Lorenza przez dowolny punkt A (o współrzędnych ) przechodzi jedną trajektorię (do wyboru w pobliżu początku czasów).
xW,yW,zW{\ Displaystyle x _ {\ mathrm {A}}, y _ {\ mathrm {A}}, z _ {\ mathrm {A}}}
{x(t),y(t),z(t)}{\ Displaystyle \ {x (t), r (t), z (t) \}}![{\ Displaystyle \ {x (t), r (t), z (t) \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37360da3b7a52f6dcacaba313599ca3f49133df3)
Odwrotność
Do pewnego stopnia można prześledzić obserwowane szeregi czasowe z powrotem do systemu autonomicznego, który je wygenerował, jeśli jest on wielomianowy i wystarczająco zwięzły (do 9 członów ). Procedura, przetestowana na 28 teoretycznych przypadkach obejmujących do 5 zmiennych , jest stosunkowo odporna na hałas .
Uwagi i odniesienia
Uwagi
-
Dzieje się tak szczególnie w przypadku, gdy jest to stała macierz ( ) lub proporcjonalna do stałej macierzy ( ), a nawet jeśli jest przekątna .L(t){\ displaystyle \ mathbf {l} (t)}
L(t)=L0{\ displaystyle \ mathbf {l} (t) = \ mathbf {l} _ {0}}
L(t)=L0fa(t){\ displaystyle \ mathbf {l} (t) = \ mathbf {l} _ {0} f (t)}
-
Aby upewnić się, że to wyrażenie jest A () roztwór układu różnicowego i początkowe powyżej, wystarczy obliczyć stosując definicję tych macierzy wykładniczej : .rexret{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} \ mathbf {x}} {\ mathrm {d} t}}}
miW=ja+W+W22+⋯+Wnienie!+⋯{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {A} = ja + A + {\ Frac {A ^ {2}} {2}} + \ cdots + {\ Frac {A ^ {n}} {n!}} + \ cdots}
-
Znane jest zamknięte rozwiązanie analityczne w niektórych rzadkich przypadkach, w których nie dojeżdża się z jego pochodną, w szczególności z macierzą trójkątną .L(t){\ displaystyle \ mathbf {l} (t)}
Bibliografia
-
(w) Ariel Provost, Cecile Buisson i Olivier Merle, „ Od progresywnej do skończonej deformacji iz powrotem ” , Journal of Geophysical Research: Solid Earth , tom. 109 n O B2Luty 2004, s. 1-11, artykuł n o B02405 ( DOI 10,1029 / 2001JB001734 , czytać online , dostęp 10 czerwca 2018 ).
-
Daniel Pham, Techniques du Calcul Matriciel , Paryż, Dunod ,1962, 387 s. , s. 232-235.
-
" Czy można znaleźć równania rządzące dynamiką systemu środowiskowego wyłącznie na podstawie serii pomiarów?" » , Na INSU ,1 st marca 2019(dostęp 7 marca 2019 ) .
-
(w) Sylvain Mangiarotti i Mireille Huc, „ Czy można uzyskać oryginalne równania układu dynamicznego z obserwacyjnych szeregów czasowych? » , Chaos (in) , t. 29,25 lutego 2019 r, s. 1-13, pozycja N O 023 133 ( DOI 10.1063 / 1.5081448 ).
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">