Stabilność filtrów liniowych

W elektronice , o liniowy filtr elektryczny jest wzajemnych połączeń liniowych dipoli elektrycznych ( kondensator , odporności , ...), tak aby modyfikować sygnał. Otrzymujemy w ten sposób filtr liniowy .

Sygnał na wyjściu takiego zespołu jest zatem przekształcany. W rzeczywistości filtry te służą do wybierania określonych częstotliwości sygnału, to znaczy do osłabiania amplitudy pewnych częstotliwości i ewentualnie wzmacniania innych. W celu poprawy selektywności filtrów, oprócz pasywnych dipoli, zastosowano elementy aktywne, takie jak wzmacniacze operacyjne .

Jeśli pasywny filtr elektryczny jest nadal stabilny, dodanie aktywnych składników może zmienić to zachowanie. Rzeczywiście, wprowadzają moc do obwodu, co może przeciwdziałać stratom energii i powodować niestabilność zespołu.

Prosty przykład

Sygnał elektryczny e (t) jest podawany na oba końce obwodu składającego się z rezystora i kondensatora połączonych szeregowo.

Rezystor R i kondensator C są poddawane działaniu zależnego od czasu napięcia e.

Przefiltrowany sygnał jest odzyskiwany na zaciskach jednego z dipoli. Na przykład możemy oznaczyć s (t) napięcie na kondensatorze. Możemy ustalić równanie różniczkowe łączące s z sygnałem wejściowym:

{\ Displaystyle {\ Frac {ds} {dt}} + {\ Frac {1} {RC}} s = {\ Frac {1} {RC}} e}

Przy wysokiej częstotliwości . Wtedy s jest wcześniej pomijalne i możemy jako pierwsze przybliżenie uznać, że sygnał wyjściowy jest prymitywem sygnału wejściowego: mówimy o „integratorze”. Ten sygnał ma jednak bardzo małą amplitudę: ${\ displaystyle f \ gg {\ frac {1} {RC}}}$ ${\ displaystyle RC {\ frac {ds} {dt}}}$

{\ Displaystyle s (t) = {\ Frac {1} {RC}} \ int _ {0} ^ {t} e (t) dt}

Natomiast przy niskich częstotliwościach jest to pochodna s, która jest pomijalna. Znajdujemy się w przypadku quasi-stacjonarnym, a sygnał przechodzi całkowicie: s = e .

Nazywa się to filtrem „dolnoprzepustowym”, który pozbawia sygnał jego najwyższych częstotliwości.

Uogólnienie

Wyniki te możemy rozszerzyć na kilka zespołów tego typu połączonych ze sobą, mówimy o montażu „2 RC”, a następnie „3 RC”. Następnie pokazujemy w pierwszym przypadku:

{\ Displaystyle (RC) ^ {2} \ cdot {\ Frac {d ^ {2} s (t)} {dt ^ {2}}} + 3RC {\ Frac {ds (t)} {dt}} + s (t) = e (t)}

aw drugim

{\ Displaystyle (RC) ^ {3} \ cdot {\ Frac {d ^ {3} s (t)} {dt ^ {3}}} + 6 (RC) ^ {2} \ cdot {\ Frac {d ^ {2} s (t)} {dt ^ {2}}} + 5RC {\ frac {ds (t)} {dt}} + s (t) = e (t)}

W obu przypadkach jest to filtr „dolnoprzepustowy”, ale odpowiednio rzędu 2 i 3.

W przypadku obwodu „3 RC” możemy utworzyć oscylator , zapętlając układ tak, że e = -29. s , chodzi o oscylator „quasi sinusoidalny”:

{\ Displaystyle s (t) = A \ cdot cos (2 \ pi ft + \ varphi)}

Częstotliwość oscylacji wynosi

{\ displaystyle f = {\ frac {\ sqrt {5}} {RC}}}

Amplituda sygnału jest w rzeczywistości ograniczona efektami nieliniowymi, które nie są brane pod uwagę w tym uproszczonym badaniu.

Stabilność filtra

Stabilność liniowego filtra elektrycznego rzędu n w rzeczywistości sprowadza się do badania pierwiastków wielomianu o dodatnich współczynnikach rzeczywistych stopnia n, zwanego „wielomianem charakterystycznym” równania różniczkowego.

Mówimy, że filtr jest stabilny, jeśli przy stałym sygnale wejściowym sygnał wyjściowy osiąga - być może po czasie indukcji - stałą wartość.

Aby filtr był stabilny, konieczne i wystarczające jest, aby n złożonych pierwiastków tego wielomianu miało ujemną część rzeczywistą, a więc jest to wielomian Hurwitza .

W rezultacie badanie pierwiastków wielomianu o rzeczywistych współczynnikach było przedmiotem pogłębionych badań od Kartezjusza, a następnie zwłaszcza Charlesa Sturma , Routha i Hurwitza, następnie Jury i Fujiwary dla filtrów cyfrowych (tj. Nie analogowych), które są te z nowoczesnej elektroniki.

Przypadek równania rzędu 2

Charakterystyczny wielomian można zapisać:

{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c}

Jest to wielomian Hurwitza, jeśli a , b i c są dodatnie. Zgodnie z konwencją wybieramy pozytywne c , bez ograniczenia ogólności.

Możemy to zinterpretować jako bilans energetyczny: dla obwodu RLC znajdujemy:

a = L;
b = R;
c = 1 / C.

Terminy te nie są niezwiązane z energią magnetyczną wywołaną indukcją, 1/2 L I², energią elektryczną kondensatora 1/2 q² / C oraz energią cieplną rozproszoną przez efekt Joule'a poprzez rezystancję: R I².

Przypadek równania rzędu 3

Przypadek równania trzeciego rzędu wymaga bardziej subtelnego warunku: ten wielomian pochodzi od Hurwitza iff: ${\ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d}$

a , b , c , d są dodatnie;
( bc - ad )> 0.

Współczynnik d> 0 można interpretować jako zależną od częstotliwości rezystancję ujemną (FDNR), która wprowadza moc do obwodu . Następnie, jeśli , że nie jest już ograniczony, filtr jest niestabilny. ${\ Displaystyle -D \ omega ^ {2} ja ^ {2}}$ ${\ displaystyle bc \ geq ad}$

To wyjaśnia współczynnik 29 quasi-sinusoidalnego oscylatora podanego jako przykład, który gwarantuje jego stabilność.

Bibliografia

Wai-Kai Chen, Podręcznik obwodów i filtrów , CRC Press, 2003, ( ISBN 0-8493-0912-3 ) .
Benidir i Barrett, Stability of Filters and Linear Systems , Dunod, 1999, ( ISBN 2 10 004432 X ) .
M. Barret, Historia od Cauchy'ego do Fujiwary rozwiązań problemu lokalizacji zer wielomianu w płaszczyźnie zespolonej , Publikacja Instytutu Zaawansowanych Badań Matematycznych, t. 22, Strasburg 1996.
Jim Williams, Projektowanie obwodów analogowych (sztuka, nauka i osobowości) , Butterworth-Heinemann, 1991, ( ISBN 0-7506-9166-2 ) .

Uwagi

Zobacz też

Powiązane artykuły

Filtruj komórkę
Filtr liniowy
Wielomian Hurwitza