Sfera homologii

W algebraicznej topologii , A kuli homologii (lub ponownie cała kula homologii ) jest kolektor wymiaru , który ma te same grupy homologii jak standardowe -sphere , tj X{\ displaystyle X}nie≥1{\ displaystyle n \ geq 1}nie{\ displaystyle n} Snie{\ Displaystyle S ^ {n}}

H.k(X;Z)={Zsjak∈{0,nie},0sjanieonie.{\ Displaystyle H_ {k} (X; \ mathbb {Z}) = \ lewo \ lbrace {\ początek {tablica} {rl} \ mathbb {Z} \ qquad & {\ rm {{si} \; k \ in \ {0, n \},}} \\ 0 \ qquad & {\ rm {w przeciwnym razie.}} \\\ end {array}} \ right.}

Taka odmiana jest podobne zamkniętych (tj zwarta bez krawędzi ), orientowany i (oprócz ) pojedynczej liczby bettiego niezerowego: . X{\ displaystyle X}b0=1{\ displaystyle b_ {0} = 1}bnie{\ displaystyle b_ {n}}

Sfery racjonalnej homologii definiuje się analogicznie, z homologią o racjonalnych współczynnikach . Każda cała sfera homologii jest sferą racjonalnej homologii, ale sytuacja odwrotna nie jest prawdą.

Grupa podstawowa

Na nieważność nie oznacza, że to jest po prostu podłączyć , lecz jedynie, że jego podstawową grupa jest idealny (patrz twierdzenie Hurewicz za ). nie>1{\ displaystyle n> 1}b1{\ displaystyle b_ {1}}X{\ displaystyle X}

Jedyną 3 sferą homologii, która jest po prostu połączona, jest zwykła 3 sfera (patrz hipoteza Poincarégo ). Oprócz sfery homologii Poincarégo (por. Poniżej), wszystkie inne mają nieskończoną grupę podstawową. S3{\ Displaystyle S ^ {3}}

Istnienie 3 sfer homologii, które nie są po prostu połączone, pokazuje, że hipotezy Poincarégo nie można sformułować w kategoriach czysto homologicznych.

Sfera homologii Poincarégo

Sfera homologii Poincarégo (nie mylić ze sferą Poincarégo ) jest szczególną 3-sferą homologii. Jej podstawową grupą jest dwudziestościenna grupa binarna  (en) . Ta grupa dopuszcza prezentację , jest rzędu 120 i jest izomorficzna z grupą SL (2, Z / 5Z ). Dwudziestościenna grupa binarna to grupa izometrii pozostawiająca niezmienny elementarny dwudziestościan . Jest to również doskonały podwójne pokrycie z tej dwudzieściennym grupy . ja∗{\ Displaystyle I ^ {*}} ⟨w,b|w2=b3=(b-1w)5⟩{\ Displaystyle \ langle a, b | a ^ {2} = b ^ {3} = (b ^ {- 1} a) ^ {5} \ rangle}ja∗{\ Displaystyle I ^ {*}} ja=W5{\ displaystyle I = A_ {5}}

Sfera homologii Poincarégo jest konstruowana na różne sposoby.

• Pierwszy pochodzi z dwunastościanu przez identyfikację każdej ściany z przeciwległą ścianą, wybierając minimalny kąt obrotu, który nakłada się na te dwie ściany (patrz artykuł: przestrzeń dwunastościanu Poincarégo ). Otrzymujemy w ten sposób zamkniętą trójdzielność . (Pozostałe dwa możliwe wybory rotacji dają albo hiperboliczną 3-rozmaitość  (w) - przestrzeń Seiferta-Webera  (w) - albo przestrzeń rzutową ).RP.3{\ displaystyle \ mathbb {R} P ^ {3}}

• Drugim jest iloraz SO (3) (który jest homeomorficzny do ) przez grupę ikozaedryczną . Intuicyjnie oznacza to, że sfera homologii Poincarégo jest przestrzenią wszystkich wizualnie odrębnych pozycji, jakie może zająć regularny dwudziestościan o stałym środku w euklidesowej przestrzeni wymiaru 3.RP.3{\ displaystyle \ mathbb {R} P ^ {3}}ja=W5{\ displaystyle I = A_ {5}}

• Trzecią, analogiczną do poprzedniej, jest iloraz SU (2) (który jest homeomorficzny do uniwersalnego pokrycia ) przez dwudziestościerną grupę binarną opisaną powyżej.S3{\ Displaystyle S ^ {3}}SO(3){\ Displaystyle SO (3)}ja∗{\ Displaystyle I ^ {*}}

• Czwarta to operacja Dehna  (w)  : sfera homologii Poincarégo to operacja wzdłuż węzła koniczyny w prawo z obramowaniem (w) jednym.S3{\ Displaystyle S ^ {3}} 

• Piąty polega na ponownym przyklejeniu dwóch korpusów z uchwytami tego samego rodzaju wzdłuż ich krawędzi w odpowiedni sposób (patrz podział Heegaard  (en) ).

• Szósta to sfera Brieskorna (patrz poniżej).Σ(2,3,5){\ Displaystyle \ Sigma (2, 3, 5)}

• Siódmy jest pakietem Seiferta (patrz poniżej).

• Inne sposoby opisano w.

Konstrukcje i przykłady

Podobnie jak u Poincarégo, sfery homologii można konstruować na różne sposoby.

• Każda operacja wzdłuż węzła z obramowaniem ± 1 daje 3 sfery homologii.S3{\ Displaystyle S ^ {3}}
• Mówiąc bardziej ogólnie, operacja również wzdłuż przeplotu , pod warunkiem, że macierz utworzona z liczb przecięcia (poza przekątną) i obramowań (na przekątnej) ma jako wyznacznik ± 1.
• Jeśli , i są po dwie dodatnie liczby całkowite od każdej drugiej następnie przeplatanie osobliwości (to jest iloczyn tego 2- złożonej kolektora o małej 5-kuli o środku w 0) jest 3 -Sphere homologii z Brieskorn . Jest homeomorficzny standardowej 3-kuli jeśli , lub jest równy 1. Poincaré sfera homologię .p{\ displaystyle p}q{\ displaystyle q}r{\ displaystyle r}xp+yq+zr=0{\ Displaystyle x ^ {p} + y ^ {q} + z ^ {r} = 0}Σ(p,q,r){\ Displaystyle \ Sigma (p, q, r)}S3{\ Displaystyle S ^ {3}}p{\ displaystyle p}q{\ displaystyle q}r{\ displaystyle r}Σ(2,3,5){\ Displaystyle \ Sigma (2, 3, 5)}
• Połączona suma dwóch zorientowanych homologii 3-kul jest homologii 3-sfera. Odwrotnie, w ( zasadniczo unikalnym ) rozkładzie Milnora 3-sfery połączonej sumarycznej homologii nierozkładalnych 3-rozmaitości, składniki są sferami homologii.
• Jeśli między nimi są dwie lub dwie liczby pierwsze, to rozmaitość Seiferta znajdująca się na odpowiadającej liście jest sferą homologii, jeśli i są one wybrane w taki sposób, że są one weryfikowane. (Taki wybór i of jest zawsze możliwy, a wszystkie wybory dają tę samą sferę homologii.) Tak , jest to po prostu zwykła 3-sfera. Tak , są to nietrywialne i odrębne 3-sfery homologii. Przypadek, gdzie i gdzie daje kulę Poincaré. We wszystkich innych przypadkach, otrzymuje się 3-kula homologii jest Eilenberg-MacLane przestrzeni (to jest asferyczna przestrzeń ), a jego geometria Thurston jest wzorowana na uniwersalnym pokryciem z SL 2 ( R ) .w1,...,wr∈NIE≥2{\ displaystyle a_ {1}, ..., a_ {r} \ in \ mathbb {N} _ {\ geq 2}}S2{\ Displaystyle S ^ {2}}(b,(o1,0);(w1,b1),...,(wr,br)){\ Displaystyle (b, (o_ {1}, 0); (a_ {1}, b_ {1}), ..., (a_ {r}, b_ {r}))}b{\ displaystyle b}bk{\ displaystyle b_ {k}}b+b1/w1+...+br/wr=1/(w1...wr){\ Displaystyle b + b_ {1} / a_ {1} + ... + b_ {r} / a_ {r} = 1 / (a_ {1} ... a_ {r})}b{\ displaystyle b}bk{\ displaystyle b_ {k}}r≤2{\ displaystyle r \ leq 2}r>2{\ displaystyle r> 2}r=3{\ displaystyle r = 3}{w1,w2,w3}={2,3,5}{\ displaystyle \ {a_ {1}, a_ {2}, a_ {3} \} = \ {2,3,5 \}} K.(π,1){\ Displaystyle K (\ pi, 1)}

Niezmienniki

• Rokhlin niezmiennik  (en) - Dowolna 3-sfera homologii ma unikalną strukturę spinu , a każdy spin M o 3 odmianach graniczy z spinem 4 odmian, którego sygnatura  (en) jest podzielna przez 8 i której wartość modulo 16 zależy tylko od M Umożliwia to skojarzenie z dowolną 3-sferą homologii niezmiennego elementu .μ{\ displaystyle \ mu}Z/2Z{\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}
• Niezmiennik Cassona  (en) - z dowolną 3-sferą zorientowanej homologii jest związana liczba całkowita , addytywna w stosunku do połączonej sumy i zmieniający się znak, gdy orientacja jest odwrócona. Jego redukcja modulo 2 jest niezmiennikiem Rokhlina. Niezmiennik Cassona standardowej 3-sfery wynosi 0; sfera homologii Poincarégo wynosi ± 1.λ{\ displaystyle \ lambda}
• Niezmiennik Taubesa - jest to analityczne przeformułowanie niezmiennika Cassona. Taubes się w tym pokazał .χ{\ displaystyle \ chi}λ{\ displaystyle \ lambda}χ=2λ{\ displaystyle \ chi = 2 \ lambda}
• Instanton Floer Homology - Instanton Floer Homology to nieskończenie wymiarowa homologia podobna do Morse'a oparta na teorii Cherna-Simonsa. Charakterystyka Eulera homologii Floera instantonów jest równa niezmiennikowi Taubesa (a zatem podwójnemu niezmiennikowi Cassona).χ{\ displaystyle \ chi}λ{\ displaystyle \ lambda}

Aplikacje

Zawiesinę mieszaniny 3-zakresie niestandardowym homologii jest homologiczna 4- kolektora (i) , która nie jest topologiczna kolektora . Podwójne zawieszenie jest homeomorficzne w stosunku do standardu 5-kulowego , ale jego triangulacja (indukowana przez triangulację ) nie jest liniową odmianą odcinkową (in) . X{\ displaystyle X} X{\ displaystyle X}S5{\ Displaystyle S ^ {5}}X{\ displaystyle X} 

Pytanie, czy jakakolwiek zamknięta rozmaitość o wymiarze większym lub równym 5 jest homeomorficzna do prostego kompleksu, wciąż pozostaje otwarta. Galewski i Stern wykazali, że jest to równoważne problemowi istnienia 3-sfery homologii , niezerowego niezmiennika Rokhlina, takiego, że suma połączona graniczy z acykliczną 4-rozmaitością (en) . Σ{\ displaystyle \ Sigma}Σ#Σ{\ displaystyle \ Sigma \ # \ Sigma} 

Zobacz też

Bibliografia

• (en) Emmanuel Dror , „  Homology spheres  ” , Israel J. Math. , vol.  15,1973, s.  115-129 ( DOI  10.1007 / BF02764597 )
• ( fr ) David Galewski i Ronald Stern , „  Klasyfikacja uproszczonych triangulacji rozmaitości topologicznych  ” , Ann. matematyki. , vol.  111 n o  1,1980, s.  1–34 ( czytaj online )
• (en) Robion Kirby i Martin Scharlemann , „Eight Faces of the Poincaré homology 3-sphere” , w Geometric topology (Proc. Georgia Topology Conf., Ateny, Ga., 1977) , Academic Press ,1979, s.  113-146
• (en) Michel Kervaire , „  Gładkie sfery homologii i ich podstawowe grupy  ” , przeł. Gorzki. Matematyka. Soc. , vol.  144,1969, s.  67-72, Link  Recenzje matematyczne
• (en) Nikolai Saveliev , „Niezmienniki homologii 3-sfery” , w Encyclopaedia of Mathematical Sciences , tom.  140, topologia niskowymiarowa, ja, Springer ,2002( ISBN  3-540-43796-7 )

Bibliografia

1. MA Kervaire, Gładkie sfery homologii i ich podstawowe grupy, 1969
2. RC Kirby, MG Scharlemann, Osiem twarzy 3-sferycznej homologii Poincaré, 1977
3. CH Taubes, niezmiennik Cassona i teoria cechowania, 1990

Link zewnętrzny

(en) A 16-wierzchołkowa triangulacja 3-sferycznej homologii Poincaré i sfer innych niż PL z kilkoma wierzchołkami , autorstwa Andersa Björnera ( KTH ) i Franka H. Lutza ( TUB )

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu w angielskiej Wikipedii zatytułowanego „  Sfera homologii  ” ( zobacz listę autorów ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">